تصحيح التمرين رقم 1:

أولاً، تحليل الأسئلة واختيار الإجابات الصحيحة يتطلب تطبيق المفاهيم الرياضية لكل حالة.

بالنسبة للعدد العشري، يجب التحقق من أن رقم الأجزاء من الأعشار مضاعف لرقم الآحاد.

بالنسبة للنقاط A, B, C التي تمثل رؤوس مثلث، فإن العلاقة التي تحدد ما إذا كانت النقاط تشكل مثلثًا هي متباينة المثلث: مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث. إذا كانت النقاط على استقامة واحدة، فإن مجموع طول ضلعين يساوي طول الضلع الثالث. الخيار الصحيح هو الذي يمثل النقاط على استقامة واحدة، وهو $AC+BC=AB$ في حالة كون C تقع بين A و B، أو $AB+CB=AC$ في حالة كون B تقع بين A و C، أو $AC+AB=BC$ في حالة كون A تقع بين B و C. بناءً على الخيارات، الخيار (ب) هو الأنسب إذا كانت B بين A و C[cite: 22].

بالنسبة للمساواة $1,31752 \times ....... = 131,752$: [cite: 22]

$$131,752 \div 1,31752 = 100$$

إذن العدد الناقص هو $100$ الذي يمكن كتابته $10^{2}$. [cite: 22]

لحساب عدد قواسم الجذاء $9^{3}\times7^{2}$: [cite: 22]

$$9^{3} \times 7^{2} = (3^2)^3 \times 7^2 = 3^6 \times 7^2$$

عدد القواسم = $(6+1) \times (2+1) = 7 \times 3 = 21$. [cite: 22]

تصحيح التمرين رقم 2:

(1) العدد 8.1.0 قابل للقسمة على 3 و 4 و 25: [cite: 1]

لكي يكون العدد قابلاً للقسمة على 25، يجب أن ينتهي بـ 00، 25، 50، أو 75. بما أن الرقم الأخير هو 0، يجب أن يكون الرقم الذي يسبقه 0 أو 5. [cite: 1]

لكي يكون العدد قابلاً للقسمة على 4، يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 4. [cite: 1]

لكي يكون العدد قابلاً للقسمة على 3، يجب أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3. [cite: 1]

بما أن العدد ينتهي بـ .0، فإننا نبحث عن الأعداد التي تنتهي بـ 00 أو 50. [cite: 1]

إذا انتهى بـ 00: العدد هو 8.100. مجموع الأرقام = $8+1+0+0 = 9$. 9 قابل للقسمة على 3 و 9. 00 قابل للقسمة على 4 و 25. إذن، 8100 هو حل ممكن. [cite: 1]

إذا انتهى بـ 50: العدد هو 8.150. مجموع الأرقام = $8+1+5+0 = 14$. 14 غير قابل للقسمة على 3. إذن، 8150 ليس حلاً. [cite: 1]

لذا، الحلول الممكنة هي التي يكون فيها آخر رقمين 00. [cite: 1]

(2) إثبات أن $16^{3}+2^{10}$ يقبل القسمة على 5: [cite: 1]

$$16^3 + 2^{10} = (2^4)^3 + 2^{10} = 2^{12} + 2^{10}$$

$$= 2^{10}(2^2 + 1) = 2^{10}(4 + 1) = 2^{10} \times 5$$

بما أن التعبير يحتوي على العامل 5، فهو يقبل القسمة على 5. [cite: 1]

تصحيح التمرين رقم 3:

(1) تحليل العددين a و b: [cite: 1]

أ- تفكيك العددين a و b إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 1]

$$a = 2^3 \times 9 = 2^3 \times 3^2$$

$$b = 162 = 2 \times 81 = 2 \times 3^4$$

ب- إثبات أن الجذاء axb هو مربع كامل: [cite: 1]

$$a \times b = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 3^4) = 2^{3+1} \times 3^{2+4} = 2^4 \times 3^6$$

بما أن جميع أسس العوامل الأولية (4 و 6) هي أعداد زوجية، فإن axb هو مربع كامل. [cite: 1]

ج- حساب ق.م.أ (a,b) و م.م.أ (a,b): [cite: 1]

$$\text{ق.م.أ}(a,b) = 2^{\min(3,1)} \times 3^{\min(2,4)} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$$

$$\text{م.م.أ}(a,b) = 2^{\max(3,1)} \times 3^{\max(2,4)} = 2^3 \times 3^4 = 8 \times 81 = 648$$

(2) طول ضلع المربع: [cite: 3]

لكي يتمكن التلميذ من تقسيم الورقة إلى قطع مربعة الشكل ومتطابقة دون إتلاف أي جزء، يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسماً مشتركاً لـ a و b. وللحصول على أكبر مربع ممكن، يجب أن يكون طول الضلع هو القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) لـ a و b. [cite: 3]

من (1) جـ، ق.م.أ (a,b) = 18. [cite: 1]

لكن المطلوب هو أن يكون طول الضلع محصوراً بين 8 و 12 صنتمتراً. قواسم 18 هي: 1, 2, 3, 6, 9, 18. [cite: 1]

القاسم الوحيد الذي يقع بين 8 و 12 هو 9. إذن، طول ضلع المربع هو 9 سم. [cite: 3]

(3) العدد الجملي لتلاميذ السنوات التاسعة: [cite: 3]

عدد تلاميذ السنة التاسعة (N) هو عدد يزيد بـ 37 عن عدد قابل للقسمة على 72، وعدد قابل للقسمة على 162 بعد استبعاد 37 طالبًا. [cite: 3]

N % 72 = 37، و N % 162 = 0. (أي N من مضاعفات 162). [cite: 3]

بما أن N يقبل القسمة على 162، فإن N هو مضاعف لـ 162. [cite: 3]

مجموعة مضاعفات 162 هي: 162, 324, 486, ..., 162k. [cite: 3]

الشرط الأول: N - 37 يكون من مضاعفات 72. [cite: 3]

نبحث عن N بين 3000 و 3500. [cite: 4]

المضاعفات المحصورة بين 3000 و 3500 لـ 162 هي: [cite: 4]

$162 \times 19 = 3078$

$162 \times 20 = 3240$

$162 \times 21 = 3402$

نختبر كل قيمة: [cite: 4]

إذا N = 3078: $3078 - 37 = 3041$. $3041 \div 72 \approx 42.23$ (ليس قابلاً للقسمة على 72) [cite: 4]

إذا N = 3240: $3240 - 37 = 3203$. $3203 \div 72 \approx 44.48$ (ليس قابلاً للقسمة على 72) [cite: 4]

إذا N = 3402: $3402 - 37 = 3365$. $3365 \div 72 \approx 46.73$ (ليس قابلاً للقسمة على 72) [cite: 4]

يبدو أن هناك تناقضًا في نص السؤال أو الحل، حيث لا توجد قيمة لـ N تحقق الشرطين في النطاق المحدد. سأراجع السؤال. "وكانوا من الذين يتأهبون لاجتياز مناظرة الدخول إلى المعاهد النموذجية لذلك قامت وزارة التربية بتقسيم كل تلاميذ السنوات التاسعة الذين عبروا عن رغبتهم في اجتياز المناظرة إلى مجموعات ذات 162 تلميذا". هذا يعني أن عدد الطلاب الذين يرغبون في اجتياز المناظرة هو مضاعف لـ 162. [cite: 3]

العدد الكلي لتلاميذ السنة التاسعة (X). [cite: 4]

المجموعة الأخيرة من طلاب الكورونا تضم 37 تلميذا. [cite: 3]

عدد الحالات الإيجابية كان 162 تلميذا. [cite: 3]

عدد الطلاب الذين عبروا عن رغبتهم في اجتياز المناظرة (Y) هو مضاعف لـ 162. [cite: 3]

X محصور بين 3000 و 3500. [cite: 4]

37 تلميذا عبروا عن عدم رغبتهم في اجتياز المناظرة. [cite: 4]

إذن $Y = X - 37$. [cite: 4]

إذن $X - 37$ هو مضاعف لـ 162. [cite: 4]

فلنعد البحث: [cite: 4]

نبحث عن X حيث $3000 \le X \le 3500$. [cite: 4]

إذن $3000 - 37 \le X - 37 \le 3500 - 37$. [cite: 4]

$2963 \le X - 37 \le 3463$. [cite: 4]

نبحث عن مضاعفات 162 في هذا النطاق: [cite: 4]

$162 \times 19 = 3078$. $X - 37 = 3078 \Rightarrow X = 3078 + 37 = 3115$. [cite: 4]

$162 \times 20 = 3240$. $X - 37 = 3240 \Rightarrow X = 3240 + 37 = 3277$. [cite: 4]

$162 \times 21 = 3402$. $X - 37 = 3402 \Rightarrow X = 3402 + 37 = 3439$. [cite: 4]

بالنسبة للشرط "تقسيمهم كليا إلى مجموعات متكونة من a تلميذا أو إلى مجموعات متكونة من 6 تلميذا" في مثال رقم 6، هذا الجزء غير موجود في التمرين رقم 3 من هذا الملف[cite: 35]. سأعتبر الشروط المقدمة في التمرين 3. [cite: 3]

ولكن السؤال في التمرين 3 (3) يشير إلى "مجموعات ذات 72 تلميذا لتقصي الحالات الحاملة لفيروس الكورونا فكانت المجموعة الأخيرة تضم 37 تلميذا"[cite: 3]. هذا يعني أن عدد التلاميذ الكلي N، عند قسمته على 72، يعطي باقي 37. [cite: 3]

فإذا كان $N = 3115$: $3115 \div 72 = 43$ والباقي 19. (لا يتوافق مع 37) [cite: 3]

إذا كان $N = 3277$: $3277 \div 72 = 45$ والباقي 37. (يتوافق مع 37) [cite: 3]

إذا كان $N = 3439$: $3439 \div 72 = 47$ والباقي 55. (لا يتوافق مع 37) [cite: 3]

إذن، العدد الجملي لتلاميذ السنوات التاسعة هو 3277. [cite: 3]

تصحيح التمرين رقم 4:

(1) الزاوية المتممة لـ $\hat{IDJ}$: [cite: 4]

في المثلث القائم الزاوية DIJ في I، مجموع الزاويتين الحادتين يساوي 90 درجة. [cite: 4]

$$\hat{IDJ} + \hat{IJD} = 90^{\circ}$$

$$\hat{IDJ} + 40^{\circ} = 90^{\circ}$$

$$\hat{IDJ} = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$$

الزاوية المتممة لـ $\hat{IDJ}$ هي 40 درجة. [cite: 4]

(2) حساب $\hat{BAD}$: [cite: 4]

نحتاج إلى معلومات إضافية عن الشكل لتحديد $\hat{BAD}$. بناءً على المعلومات المقدمة في التمرين 4، لا يمكن حساب $\hat{BAD}$ بشكل مباشر. [cite: 4]

(3) أ - إنشاء المماس و ب - إثبات أن (FB] منصف الزاوية $\hat{AFE}$: [cite: 4, 5]

يتطلب هذا الجزء رسمًا دقيقًا وتطبيقًا لخصائص الدوائر والمماسات والزوايا. نظرًا لطبيعة هذه البيئة، لا يمكنني إجراء الإنشاءات الرسومية. [cite: 4, 5]

تصحيح التمرين رقم 5:

يتطلب هذا التمرين إنشاءات هندسية وإثباتات بناءً على خصائص التناظر والمثلثات والدوائر. لا يمكنني تنفيذ الإنشاءات الرسومية في هذه البيئة، ولكن يمكنني تقديم الخطوات المنطقية للتصحيح.

(1) أ - إنشاء النقطة I المسقط العمودي لـ A على (BC): [cite: 6]

يتم إسقاط عمود من النقطة A على الخط المستقيم BC لتحديد النقطة I.

(1) ب - تعيين النقطة E بحيث تكون I منتصف [BE]: [cite: 7]

تمديد القطعة BI بنفس الطول من I إلى E. هذا يعني أن I هي نقطة المنتصف.

(1) ج - مناظرة B بالنسبة إلى (AI): [cite: 7, 8]

بما أن (AI) هو المسقط العمودي من A على (BC)، فإن (AI) هو ارتفاع المثلث. إذا كان المثلث ABC متساوي الساقين بقاعدة BC، فإن (AI) سيكون أيضًا منصف الزاوية A ومنصف الضلع BC. ولكن المعطيات لا تشير إلى أنه مثلث متساوي الساقين. [cite: 5]

ومع ذلك، التناظر المحوري حول خط مستقيم يعني أن النقطة المناظرة تبعد نفس المسافة عن الخط وتكون على الخط العمودي عليه. بما أن I هي مسقط A على (BC) و E هي مناظرة B بالنسبة لـ I، فإن B لا تملك مناظرة مباشرة بالنسبة لـ (AI) ما لم تكن (AI) محور تماثل.

لكن إذا كانت I منتصف [BE] و (AI) هو خط، فإن مناظرة B بالنسبة لـ (AI) هي النقطة على الجهة الأخرى من (AI) وتبعد نفس المسافة. تحتاج إلى معلومات إضافية أو رسم لتحديد ذلك بدقة. [cite: 7, 8]

(2) حساب قيس الزاوية $\hat{AEB}$: [cite: 8]

لدينا مثلث ABC، ومعطى $\hat{ABC}=40^{\circ}$. إذا كانت I منتصف [BE]، فإن المثلث AIB والمثلث AIE ليسا بالضرورة متطابقين بدون معلومات إضافية. [cite: 5, 7]

إذا كانت I منتصف [BE]، فإن AI هو متوسط في المثلث ABE. [cite: 7]

(3) إثبات أن G هي منتصف [AE]: [cite: 9]

F منتصف [AB] [cite: 8]

G مناظرة F بالنسبة لـ (AI). [cite: 8]

بما أن (AI) يمر بمنتصف [BE] (I)، وبما أن F منتصف [AB]، و G هي مناظرة F بالنسبة لـ (AI)، فإن G ستكون على الخط AE. [cite: 7, 8, 9]

هذا يتطلب استخدام خصائص التناظر المحوري: التناظر يحافظ على المسافات، لذا AF = AG. وبما أن F منتصف AB، فإن AF = FB. [cite: 8]

(4) إثبات أن O نقطة من [AE]: [cite: 9]

(AI) و (EF) يتقاطعان في O. يجب إثبات أن O تقع على [AE]. هذا يتطلب استخدام خصائص المستقيمات المتطابقة في المثلث.

(5) إثبات أن (C) و (C) متناظرتان بالنسبة لـ (D): [cite: 29]

هناك خطأ في نص التمرين، حيث ذكر "الدائرة التي مركزها C و تمر من N" ثم ذكر "بالنسبة لـ (D)" بدون تعريف (D) في هذا السياق[cite: 29]. نفترض أن (D) هو محور التناظر (AI) من الجزء السابق من التمرين. [cite: 29]

إذا كانت الدائرتان متناظرتين بالنسبة لخط، فإن مركز إحداهما هو مناظر مركز الأخرى بالنسبة لذلك الخط، ونصف القطر يبقى نفسه. [cite: 29]

مركز الدائرة (C) هو B ونصف قطرها 2 سم. [cite: 29]

مركز الدائرة (C) هو C. تمر من N. [cite: 29]

يجب إثبات أن (AI) هو محور التناظر بين الدائرتين، وهذا يتطلب أن يكون B مناظرة C بالنسبة لـ (AI) وأن نصف قطر الدائرة التي مركزها C (CN) يساوي 2 سم. [cite: 29]

تصحيح التمرين رقم 1 - فرض مراقبة عدد 3 - مثال رقم 2:

عدد قواسم الجذاء $9^{3}\times7^{2}$: [cite: 10]

$$9^3 \times 7^2 = (3^2)^3 \times 7^2 = 3^6 \times 7^2$$

عدد القواسم = $(6+1) \times (2+1) = 7 \times 3 = 21$. [cite: 10]

إذن الإجابة 6 أو 12 أو 18 غير صحيحة بناءً على هذه المعطيات. [cite: 10]

العدد 635220 يقبل القسمة على: [cite: 10]

لكي يكون العدد قابلاً للقسمة على 2، يجب أن يكون زوجيًا (ينتهي بصفر). [cite: 10]

لكي يكون قابلاً للقسمة على 5، يجب أن ينتهي بصفر أو 5 (ينتهي بصفر). [cite: 10]

لكي يكون قابلاً للقسمة على 3، يجب أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3 ($6+3+5+2+2+0 = 18$، و 18 قابلة للقسمة على 3). [cite: 10]

لكي يكون قابلاً للقسمة على 4، يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 4 (20 قابلة للقسمة على 4). [cite: 10]

لكي يكون قابلاً للقسمة على 9، يجب أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9 (18 قابلة للقسمة على 9). [cite: 10]

إذن العدد يقبل القسمة على 2, 3, 4, 5, 9. [cite: 10]

م.م.أ (ab, a): [cite: 10]

إذا كان a عددًا أوليًا، فإن م.م.أ (ab, a) = ab. [cite: 10]

منصف الزاوية ADC: [cite: 10]

يتطلب هذا الجزء الرسم المرفق لتحديد منصف الزاوية. [cite: 10]

تصحيح التمرين رقم 2 - فرض مراقبة عدد 3 - مثال رقم 2:

(1) العدد 30.6 قابل للقسمة على 4 و 9: [cite: 11]

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 4، يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 4. [cite: 11]

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 9، يجب أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9. [cite: 11]

الرقمين المجهولين هما رقم العشرات ورقم الآحاد. لنجعل العدد M.N6. [cite: 11]

الاحتمالات للأعداد التي تنتهي بـ .6 وتكون قابلة للقسمة على 4 هي: 16, 36, 56, 76, 96. [cite: 11]

فلنجرب الأرقام: [cite: 11]

إذا كان 3016: مجموع الأرقام = $3+0+1+6=10$ (غير قابل للقسمة على 9) [cite: 11]

إذا كان 3036: مجموع الأرقام = $3+0+3+6=12$ (غير قابل للقسمة على 9) [cite: 11]

إذا كان 3056: مجموع الأرقام = $3+0+5+6=14$ (غير قابل للقسمة على 9) [cite: 11]

إذا كان 3076: مجموع الأرقام = $3+0+7+6=16$ (غير قابل للقسمة على 9) [cite: 11]

إذا كان 3096: مجموع الأرقام = $3+0+9+6=18$ (قابل للقسمة على 9) [cite: 11]

إذن، العدد 3096 هو حل ممكن. [cite: 11]

(2) المساواة $a=19\times47+43$: [cite: 11]

أ- تحديد القاسم في القسمة الإقليدية: [cite: 11, 12]

في القسمة الإقليدية، يكون الباقي أصغر من القاسم. هنا، الباقي هو 43. [cite: 11]

بما أن 43 أكبر من 19، فإن 19 ليس هو القاسم. [cite: 11]

في هذه الحالة، يجب إعادة كتابة القسمة الإقليدية بحيث يكون الباقي أقل من القاسم. [cite: 11]

لدينا $a = 19 \times 47 + 43$. [cite: 11]

نقسم 43 على 19: $43 = 19 \times 2 + 5$. [cite: 11]

نعوض في المعادلة الأصلية: [cite: 11]

$$a = 19 \times 47 + (19 \times 2 + 5)$$

$$a = 19 \times 47 + 19 \times 2 + 5$$

$$a = 19 \times (47 + 2) + 5$$

$$a = 19 \times 49 + 5$$

في هذه القسمة، القاسم هو 19، والخارج هو 49، والباقي هو 5. [cite: 11]

ب- تحديد قيمة a دون حساب: [cite: 12]

لا يمكن تحديد قيمة a دون إجراء الحسابات. القيمة هي $19 \times 47 + 43 = 893 + 43 = 936$. [cite: 11]

(3) بين أن المجموع $4^{-}16^{3}+2^{10}$ يقبل القسمة على 5: [cite: 12, 13]

هذا السؤال مكرر من تمرين سابق. لقد تم حله بالفعل في التمرين رقم 2 من مثال رقم 1، وتم إثبات أنه يقبل القسمة على 5. [cite: 1]

تصحيح التمرين رقم 3 - فرض مراقبة عدد 3 - مثال رقم 2:

(1) تحليل العددين a و b: [cite: 13]

أ- تفكيك العددين a و b إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 13]

$$a = 2^3 \times 9 = 2^3 \times 3^2$$

$$b = 162 = 2 \times 81 = 2 \times 3^4$$

ب- إثبات أن الجذاء axb هو مربع كامل: [cite: 13]

$$a \times b = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 3^4) = 2^{3+1} \times 3^{2+4} = 2^4 \times 3^6$$

بما أن جميع أسس العوامل الأولية (4 و 6) هي أعداد زوجية، فإن axb هو مربع كامل. [cite: 13]

ج- حساب ق.م.أ (a,b): [cite: 13]

$$\text{ق.م.أ}(a,b) = 2^{\min(3,1)} \times 3^{\min(2,4)} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$$

(2) طول ضلع المربع: [cite: 14]

نفس الحل كما في التمرين 3 من مثال رقم 1، طول ضلع المربع هو 9 سم. [cite: 3]

(3) تحليل الأعداد x, y, z: [cite: 15]

أ- كتابة الأعداد في صيغة جذاء عوامل أولية: [cite: 15]

$$x = 9 \times 51^2 = 3^2 \times (3 \times 17)^2 = 3^2 \times 3^2 \times 17^2 = 3^4 \times 17^2$$

$$y = 12^2 \times 5 + 12^2 \times 7 = 12^2 \times (5 + 7) = 12^2 \times 12 = 12^3 = (2^2 \times 3)^3 = 2^6 \times 3^3$$

$$z = 400^3 = (4 \times 100)^3 = (2^2 \times 10^2)^3 = (2^2 \times (2 \times 5)^2)^3 = (2^2 \times 2^2 \times 5^2)^3 = (2^4 \times 5^2)^3 = 2^{12} \times 5^6$$

ب- استنتاج تفكيك إلى جداء عوامل أولية للأعداد: [cite: 15, 16]

$$y \times z = (2^6 \times 3^3) \times (2^{12} \times 5^6) = 2^{18} \times 3^3 \times 5^6$$

$$x^2 \times y = (3^4 \times 17^2)^2 \times (2^6 \times 3^3) = (3^8 \times 17^4) \times (2^6 \times 3^3) = 2^6 \times 3^{11} \times 17^4$$

$$\sqrt{x} = \sqrt{3^4 \times 17^2} = 3^{\frac{4}{2}} \times 17^{\frac{2}{2}} = 3^2 \times 17^1 = 9 \times 17 = 153$$

ج) دون إجراء عملية بين أن - يقبل القسمة على 642 [cite: 16]

642 = $2 \times 3 \times 107$. يجب أن نرى أي من الأعداد يقبل القسمة على 642. السؤال غير واضح بخصوص أي تعبير رياضي يجب إثبات قسمته على 642. [cite: 16]

تصحيح التمرين رقم 4 - فرض مراقبة عدد 3 - مثال رقم 2:

(1) أ- النقطة G بالنسبة إلى المثلث ABC: [cite: 17]

بما أن I منتصف [AC] و J منتصف [BC]، فإن (BI) و (AJ) هما متوسطان في المثلث ABC. [cite: 16]

نقطة تقاطع المتوسطات في المثلث تسمى مركز ثقل المثلث. إذن، النقطة G هي مركز ثقل المثلث ABC. [cite: 17]

(1) ب - استنتاج أنّ المستقيم $(CG)$ يقطع $[AB]$ منتصفها: [cite: 17]

بما أن G هي مركز ثقل المثلث ABC، فإن المستقيم الذي يمر من أحد الرؤوس ومركز الثقل يقطع الضلع المقابل في منتصفه. [cite: 17]

إذن، المستقيم (CG) يقطع [AB] في منتصفها. [cite: 17]

(2) النقطة O بالنسبة إلى المثلث ABC: [cite: 18]

بما أن (Ax] هو منصف الزاوية BAC و (Cy) هو منصف الزاوية ACB، فإن النقطة O، وهي نقطة تقاطع هذين المنصفين، هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC. [cite: 18]

(3) إثبات أن النقطة E تمثل مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABJ: [cite: 19]

إذا كان (Jz) هو منصف الزاوية AJB، وكان (OB) منصفًا لزاوية أخرى في المثلث ABJ، وكانت E هي نقطة تقاطعهما، فإن E هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABJ. [cite: 18, 19]

هذا يتطلب أن يكون (OB) منصفًا لزاوية ABJ. [cite: 18, 19]

تصحيح التمرين رقم 5 - فرض مراقبة عدد 3 - مثال رقم 2:

يتطلب هذا التمرين إنشاءات هندسية وإثباتات بناءً على خصائص الدوائر والتناظر.

(1) إثبات أن A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OE): [cite: 19]

بما أن (OE) يمر بمركز الدائرة O وعمودي على الوتر (AB)، فإن (OE) هو محور تماثل للوتر (AB). [cite: 19]

لذلك، A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OE). [cite: 19]

(2) تحديد مناظرة O و E بالنسبة لـ (OE): [cite: 19]

بما أن النقطتين O و E تقعان على المستقيم (OE)، فإن مناظرة كل نقطة منهما بالنسبة لـ (OE) هي النقطة نفسها. [cite: 19]

(3) تحديد مناظر المستقيم (OE) بالنسبة لـ (AB): [cite: 19]

بما أن (OE) عمودي على (AB)، فإن مناظر المستقيم (OE) بالنسبة لـ (AB) هو المستقيم (OE) نفسه. [cite: 19]

(4) إثبات أن $AE=BF$: [cite: 19]

لدينا F مناظرة E بالنسبة لـ (AB). التناظر المحوري يحافظ على المسافات، لذا AE = AF. [cite: 19]

نحتاج إلى إثبات أن AF = BF. [cite: 19]

(5) أ - إنشاء مناظرة P بالنسبة لـ (AB): [cite: 20]

P هي نقطة تقاطع المستقيم (AE) والدائرة (C). يتم تحديد P' بحيث تكون P' هي الصورة المتناظرة لـ P بالنسبة لـ (AB). [cite: 20]

(5) ب - إثبات أن BFQ على استقامة واحدة: [cite: 20]

لم يتم تعريف النقطة Q في السؤال. [cite: 20]

(5) ج - إثبات أن OBE OAE: [cite: 20]

يحتمل أن يكون هذا يقصد تطابق المثلثين OBE و OAE. [cite: 20]

بما أن O مركز الدائرة (C)، فإن OA = OB (أشعة). [cite: 19]

OE ضلع مشترك. [cite: 19]

الزاوية $\hat{OEA}$ والزاوية $\hat{OEB}$ تساوي 90 درجة لأن (OE) عمودي على (AB). [cite: 19]

لكن هذا ليس صحيحًا، (OE) عمودي على (AB) فقط. [cite: 19]

إذا كان المثلثان OAE و OBE متطابقين (OAE $\cong$ OBE)، يمكن إثبات ذلك باستخدام التطابق SSS (إذا عرفت AE = BE) أو SAS. [cite: 20]

تصحيح التمرين رقم 1 - مثال رقم 3:

3 يمثل رقم الأجزاء من الألف في العدد: [cite: 22]

رقم الأجزاء من الألف هو الرقم الثالث بعد الفاصلة. [cite: 22]

3241,5: رقم الأجزاء من الألف غير موجود (يعني 0). [cite: 22]

1,235: رقم الأجزاء من الألف هو 5. [cite: 22]

1,253: رقم الأجزاء من الألف هو 3. [cite: 22]

إذن، الإجابة الصحيحة هي (ج) 1,253. [cite: 22]

العدد الناقص في المساواة: $1,31752 \times ....... = 131,752$: [cite: 22]

لتحويل 1.31752 إلى 131.752، يجب ضربه في 100. [cite: 22]

العدد الناقص هو 100، الذي يكتب كـ $10^2$. [cite: 22]

إذن، الإجابة الصحيحة هي (ج) $10^{2}$. [cite: 22]

تكون N نقطة من قطعة المستقيم [AB] إذا كان: [cite: 22]

إذا كانت N نقطة من قطعة المستقيم [AB]، فهذا يعني أن A و N و B على استقامة واحدة وأن N تقع بين A و B (أو تكون A أو B نفسها). في هذه الحالة، $AN+NB=AB$. [cite: 22]

لكن الخيارات المعطاة هي A, B, C. فلنفترض أن السؤال يقصد متى تكون إحدى النقاط (A, B, C) نقطة من قطعة مستقيم مكونة من النقاط الأخرى.

إذا كانت النقاط A و B و C على استقامة واحدة، فإن إحدى العلاقات التالية صحيحة: [cite: 22]

$AB + BC = AC$ (إذا كانت B بين A و C) [cite: 22]

$AC + CB = AB$ (إذا كانت C بين A و B) [cite: 22]

$BA + AC = BC$ (إذا كانت A بين B و C) [cite: 22]

الخيار الأنسب في السياق العام هو الذي يمثل العلاقة بين أطوال القطع المستقيمة عندما تكون النقاط على استقامة واحدة. [cite: 22]

تصحيح التمرين رقم 2 - مثال رقم 3:

(1) تحليل العددين 513 و 1368: [cite: 22]

أ- تفكيك العددين إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 22]

$$513 = 3 \times 171 = 3 \times 3 \times 57 = 3 \times 3 \times 3 \times 19 = 3^3 \times 19$$

$$1368 = 2 \times 684 = 2^2 \times 342 = 2^3 \times 171 = 2^3 \times 3^3 \times 19$$

ب- إثبات أن $\frac{513}{1368}$ هو عدد عشري: [cite: 22, 23]

نختصر الكسر: [cite: 22]

$$\frac{513}{1368} = \frac{3^3 \times 19}{2^3 \times 3^3 \times 19} = \frac{1}{2^3}$$

بما أن المقام بعد الاختزال الكامل هو قوة للعدد 2 (أو 5 أو كليهما)، فإن الكسر هو عدد عشري. [cite: 22]

ج- كتابة العدد الكسري $\frac{513}{1368}$ على صورة $\frac{a}{10^{n}}$: [cite: 22, 23]

$$\frac{1}{2^3} = \frac{1 \times 5^3}{2^3 \times 5^3} = \frac{125}{10^3}$$

إذن $a=125$ و $n=3$. [cite: 22]

(2) حساب العبارات: [cite: 22]

$$A=18,45-8,45\times(3,2-0,6\times2)$$

$$A=18,45-8,45\times(3,2-1,2)$$

$$A=18,45-8,45\times2$$

$$A=18,45-16,9 = 1,55$$

$$B=(8,97+15,4)-(3,97+15,4+4,5)$$

$$B=8,97+15,4-3,97-15,4-4,5$$

$$B=(8,97-3,97) + (15,4-15,4) - 4,5$$

$$B=5 + 0 - 4,5 = 0,5$$

$$C=257,19\times97,12+2,5719\times288$$

$$C=257,19\times97,12+2,5719\times100\times2,88$$

$$C=257,19\times97,12+257,19\times2,88$$

$$C=257,19\times(97,12+2,88)$$

$$C=257,19\times100 = 25719$$

(3) إكمال المساواة: [cite: 23, 24]

لدينا $18\times14=63\times4$ [cite: 24]

المعادلة: $1,8\times7,5\times1,4+0,63\times4\times...........=18\times1,4$ [cite: 23]

نقسم الطرفين على 1.4: [cite: 23]

$1,8\times7,5+0,63\times4\times...........=18$ [cite: 23]

$13,5+2,52\times...........=18$ [cite: 23]

$2,52\times...........=18-13,5$ [cite: 23]

$2,52\times...........=4,5$ [cite: 23]

........... $= 4,5 \div 2,52 \approx 1.7857$ [cite: 23]

يجب أن يكون هناك رقم صحيح. لننظر إلى العلاقة المعطاة: $18 \times 14 = 63 \times 4$. [cite: 24]

هذا يعني $1.8 \times 14 = 6.3 \times 4$. [cite: 24]

لنحاول إخراج عامل مشترك $1.8 \times 1.4$: [cite: 23]

$1.8 \times 7.5 \times 1.4 + 0.63 \times 4 \times \text{X} = 18 \times 1.4$ [cite: 23]

$(1.8 \times 7.5 + 0.63 \times 4 \times \text{X} / 1.4) \times 1.4 = 18 \times 1.4$ [cite: 23]

$1.8 \times 7.5 + 0.63 \times 4 \times \text{X} / 1.4 = 18$ [cite: 23]

$13.5 + 2.52 \times \text{X} / 1.4 = 18$ [cite: 23]

$13.5 + 1.8 \times \text{X} = 18$ [cite: 23]

$1.8 \times \text{X} = 18 - 13.5 = 4.5$ [cite: 23]

$\text{X} = 4.5 / 1.8 = 2.5$ [cite: 23]

إذن، العدد الناقص هو 2.5. [cite: 23]

تصحيح التمرين رقم 3 - مثال رقم 3:

(1) أ - حساب $\hat{ACB}$: [cite: 23]

في المثلث القائم الزاوية ABC في A، مجموع الزوايا يساوي 180 درجة. [cite: 23]

$\hat{ABC} + \hat{ACB} + \hat{BAC} = 180^{\circ}$ [cite: 23]

$50^{\circ} + \hat{ACB} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ [cite: 23]

$\hat{ACB} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$ [cite: 23]

(1) ب - استنتاج $\hat{BCD}$: [cite: 23]

لدينا $\hat{DCE}=100^{\circ}$ و C تقع على (AE). [cite: 23]

$\hat{BCD} = \hat{DCE} - \hat{BCE}$ [cite: 23]

$\hat{BCD} = 100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}$ [cite: 23]

(1) ج - إثبات أن (CB] منصف الزاوية $\hat{ACD}$: [cite: 23]

لدينا $\hat{ACB} = 40^{\circ}$ و $\hat{BCD} = 60^{\circ}$. [cite: 23]

$\hat{ACD} = \hat{ACB} + \hat{BCD} = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ}$. [cite: 23]

بما أن $\hat{ACB} \ne \hat{BCD}$، فإن (CB] ليس منصف الزاوية $\hat{ACD}$. [cite: 23]

(2) إثبات أن (BF) || (CD): [cite: 23]

لدينا $\hat{DFE}=50^{\circ}$ و $\hat{DCE}=100^{\circ}$. [cite: 23]

ولدينا $\hat{FEC}=120^{\circ}$. [cite: 23]

لإثبات التوازي، نحتاج إلى زوايا متبادلة داخلياً أو متناظرة متساوية، أو زوايا داخلية متكاملة. [cite: 23]

(3) استنتاج أن $BA=BD$: [cite: 23]

يتطلب هذا الجزء معلومات إضافية أو إثباتات سابقة لم يتم توفيرها بالكامل في المعطيات. [cite: 23]

تصحيح التمرين رقم 4 - مثال رقم 3:

(1) إثبات أن O هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC: [cite: 24]

مركز الدائرة المحاطة بالمثلث هو نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية. [cite: 24]

لدينا (CO] منصف الزاوية ACB. [cite: 24]

بما أن $OCB = 22.5^{\circ}$، فإن $\hat{ACB} = 2 \times 22.5^{\circ} = 45^{\circ}$. [cite: 24]

في المثلث ABC، مجموع الزوايا = 180 درجة. [cite: 24]

$\hat{BAC} + \hat{ABC} + \hat{ACB} = 180^{\circ}$ [cite: 24]

$\hat{BAC} + 45^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}$ [cite: 24]

$\hat{BAC} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. [cite: 24]

المثلث ABC قائم الزاوية في A. [cite: 24]

الزاوية $\hat{ABC} = 45^{\circ}$. لكي تكون O مركز الدائرة المحاطة، يجب أن يكون (BO) منصفًا لـ $\hat{ABC}$. [cite: 24]

إذا كان (BO) منصفًا، فإن $\hat{OBC} = \hat{ABO} = 45^{\circ} / 2 = 22.5^{\circ}$. [cite: 24]

بما أن $OCB = 22.5^{\circ}$، والمثلث OBC لديه زاويتان متساويتان ($\hat{OCB} = \hat{OBC}$)، فإن المثلث OBC متساوي الساقين (OB = OC). [cite: 24]

وبما أن (CO) منصف الزاوية C، فإن O هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC. [cite: 24]

(2) أ - استنتاج قيس الزاوية OAB و قيس AOB: [cite: 24]

بما أن O هو مركز الدائرة المحاطة، فإن (AO) هو منصف الزاوية BAC. [cite: 24]

$\hat{BAC} = 90^{\circ}$. [cite: 24]

إذن $\hat{OAB} = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$. [cite: 24]

في المثلث AOB، مجموع الزوايا = 180 درجة. [cite: 24]

$\hat{AOB} = 180^{\circ} - \hat{OAB} - \hat{OBA} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 22.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$. [cite: 24]

(2) ب - استنتاج أن النقاط A و O و K على استقامة واحدة: [cite: 24]

يتطلب هذا معرفة النقطة K في الرسم. إذا كانت K هي نقطة معينة في الرسم تجعل AOK مستقيمًا، فذلك يعني أن O تقع على المستقيم AK. [cite: 24]

(3) المستقيم (OH) يقطع (BC) في E . بين ان (A HK): [cite: 24]

الجزء "بين ان (A HK)" غير مكتمل. [cite: 24]

تصحيح التمرين رقم 1 - مثال رقم 4:

(1) العدد $23\times19^{2}$ هو عدد: [cite: 24]

23 هو عدد فردي. 19 هو عدد فردي. مربع عدد فردي هو عدد فردي ($19^2 = 361$). [cite: 24]

جذاء عددين فرديين هو عدد فردي ($23 \times 361 = 8303$). [cite: 24]

إذن، العدد هو فردي. [cite: 24]

(2) عدد كرات سامي: [cite: 24]

إذا كان عدد الكرات الصفراء (ص)، فإن عدد الكرات الحمراء هو 8ص. [cite: 24]

العدد الإجمالي للكرات = ص + 8ص = 9ص. [cite: 24]

إذن، العدد الإجمالي يجب أن يكون مضاعفًا للعدد 9. [cite: 24]

164: ليس مضاعفاً لـ 9 ($1+6+4=11$). [cite: 24]

171: مضاعف لـ 9 ($1+7+1=9$). [cite: 24]

177: ليس مضاعفاً لـ 9 ($1+7+7=15$). [cite: 24]

إذن، العدد الجملي للكرات يمكن أن يكون 171. [cite: 24]

(3) العدد 4b3a يقبل القسمة على 3 و 4 في نفس الوقت: [cite: 24]

ليقبل القسمة على 4، يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين (3a) قابلاً للقسمة على 4. [cite: 24]

القيم الممكنة لـ a هي: 2 (32), 6 (36). [cite: 24]

ليقبل القسمة على 3، يجب أن يكون مجموع أرقامه (4+b+3+a) قابلاً للقسمة على 3. [cite: 24]

إذا $a=2$: مجموع الأرقام = $4+b+3+2 = 9+b$. ليكون قابلاً للقسمة على 3، b يمكن أن تكون 0, 3, 6, 9. [cite: 24]

إذا $a=6$: مجموع الأرقام = $4+b+3+6 = 13+b$. ليكون قابلاً للقسمة على 3، b يمكن أن تكون 2, 5, 8. [cite: 24]

نختبر الخيارات: [cite: 24]

أ) $a=6, b=5$: العدد هو 4536. [cite: 24]

36 قابل للقسمة على 4. [cite: 24]

مجموع الأرقام $4+5+3+6 = 18$، قابل للقسمة على 3. [cite: 24]

إذن، هذا الخيار صحيح. [cite: 24]

ب) $a=0, b=2$: العدد هو 4230. [cite: 24]

30 ليس قابلاً للقسمة على 4. [cite: 24]

ج) $a=3, b=4$: العدد هو 4433. [cite: 24]

33 ليس قابلاً للقسمة على 4. [cite: 24]

إذن، الإجابة الصحيحة هي (أ) $a=6, b=5$. [cite: 24]

(4) عدد قواسم العدد $3^{4}\times2^{3}$: [cite: 25]

عدد القواسم = (دليل القوة الأول + 1) × (دليل القوة الثاني + 1) [cite: 25]

عدد القواسم = $(4+1) \times (3+1) = 5 \times 4 = 20$. [cite: 25]

إذن، الإجابة الصحيحة هي (أ) 20. [cite: 25]

تصحيح التمرين رقم 2 - مثال رقم 4:

(1) أ - تفكيك a و b إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 25]

$$a = 34 \times 14 = (2 \times 17) \times (2 \times 7) = 2^2 \times 7 \times 17$$

$$b = 315 \times 2^2 = (3^2 \times 5 \times 7) \times 2^2 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$$

(1) ب - حساب ق.م.أ (a,b): [cite: 25]

$$\text{ق.م.أ}(a,b) = 2^{\min(2,2)} \times 3^{\min(0,2)} \times 5^{\min(0,1)} \times 7^{\min(1,1)} \times 17^{\min(1,0)}$$

$$= 2^2 \times 3^0 \times 5^0 \times 7^1 \times 17^0 = 4 \times 7 = 28$$

(1) ج - استنتاج عناصر المجموعة $D_{a}\cap D_{b}$: [cite: 25]

العدد الذي يمثل عناصر المجموعة $D_{a}\cap D_{b}$ هو ق.م.أ (a,b)، والذي يساوي 28. [cite: 25]

قواسم 28 هي: 1, 2, 4, 7, 14, 28. [cite: 25]

(2) إثبات أن $b-a=2^{4}\times7^{2}$: [cite: 25]

$$b = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 4 \times 9 \times 5 \times 7 = 36 \times 35 = 1260$$

$$a = 2^2 \times 7 \times 17 = 4 \times 7 \times 17 = 28 \times 17 = 476$$

$$b - a = 1260 - 476 = 784$$

نحتاج إلى تحليل 784 إلى عوامل أولية: [cite: 25]

$$784 = 2 \times 392 = 2^2 \times 196 = 2^3 \times 98 = 2^4 \times 49 = 2^4 \times 7^2$$

إذن، $b-a=2^{4}\times7^{2}$. [cite: 25]

(3) إثبات أن b - a هو مربع كامل: [cite: 25]

بما أن $b-a=2^{4}\times7^{2}$، وجميع أسس العوامل الأولية (4 و 2) هي أعداد زوجية، فإن b-a هو مربع كامل. [cite: 25]

العدد الصحيح الطبيعي الذي مربعه هو $b-a$ هو $\sqrt{2^4 \times 7^2} = 2^{4/2} \times 7^{2/2} = 2^2 \times 7^1 = 4 \times 7 = 28$. [cite: 25]

تصحيح التمرين رقم 3 - مثال رقم 4:

(1) أكبر عدد ممكن من العلب الصغيرة: [cite: 26]

لكي يحتوي كل علبة صغيرة على نفس عدد القطع من كل نوع وباستخدام كل الحلوى، يجب أن يكون عدد العلب هو قاسماً مشتركاً لـ 480 و 608. وللحصول على أكبر عدد ممكن من العلب، يجب أن يكون هو القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للعددين. [cite: 26]

نوجد ق.م.أ (480, 608) عن طريق التفكيك إلى عوامل أولية: [cite: 26]

$$480 = 48 \times 10 = (2^4 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^5 \times 3 \times 5$$

$$608 = 2 \times 304 = 2^2 \times 152 = 2^3 \times 76 = 2^4 \times 38 = 2^5 \times 19$$

$$\text{ق.م.أ}(480, 608) = 2^{\min(5,5)} \times 3^{\min(1,0)} \times 5^{\min(1,0)} \times 19^{\min(0,1)}$$

$$= 2^5 = 32$$

إذن، أكبر عدد ممكن من العلب الصغيرة هو 32 علبة. [cite: 26]

(2) مكونات كل علبة صغيرة من كل نوع: [cite: 26]

عدد القطع الحمراء في كل علبة = $480 \div 32 = 15$ قطعة. [cite: 26]

عدد القطع الزرقاء في كل علبة = $608 \div 32 = 19$ قطعة. [cite: 26]

إذن، كل علبة صغيرة ستحتوي على 15 قطعة حمراء و 19 قطعة زرقاء. [cite: 26]

تصحيح التمرين رقم 4 - مثال رقم 4:

(1) أ - إثبات أن (CI) هو الموسط العمودي لـ [AB]: [cite: 27]

معطى أن CA = CB، مما يعني أن المثلث ABC متساوي الساقين في C. [cite: 26]

بما أن I منتصف [AB]، فإن (CI) هو المتوسط المتعلق بالضلع AB في المثلث المتساوي الساقين. [cite: 26]

في المثلث المتساوي الساقين، المتوسط المتعلق بالقاعدة هو أيضًا ارتفاع ومنصف زاوية الرأس وموسط عمودي للقاعدة. [cite: 27]

إذن، (CI) هو الموسط العمودي لـ [AB]. [cite: 27]

(1) ب - النقطة O بالنسبة إلى المثلث ABC: [cite: 27]

(CI) هو الموسط العمودي لـ [AB]. [cite: 27]

$\Delta$ هو الموسط العمودي لـ [AC]. [cite: 27]

نقطة تقاطع الموسطات العمودية في المثلث هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث (مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث). [cite: 27]

إذن، النقطة O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC. [cite: 27]

(1) ج - استنتاج أنّ (OJ) الموسط العمودي لـ [BC]: [cite: 27]

بما أن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، فإن جميع الموسطات العمودية للمثلث تلتقي في O. [cite: 27]

وبما أن J منتصف [BC]، فإن (OJ) يجب أن يكون الموسط العمودي لـ [BC]. [cite: 27]

(2) أ - إثبات أن النقطة K تمثل مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC: [cite: 28]

(Ax] هو منصف الزاوية BAC. [cite: 28]

(CI) هو منصف الزاوية C (لأن (CI) هو ارتفاع في المثلث المتساوي الساقين ABC، فهو أيضا منصف الزاوية C). [cite: 28]

نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث. [cite: 28]

إذن، K هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC. [cite: 28]

(2) ب - حساب $\hat{ABK}$: [cite: 28]

في المثلث ABC: $\hat{ABC}=50^{\circ}$ و $\hat{ACB}=80^{\circ}$. [cite: 26]

$\hat{BAC} = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} = 50^{\circ}$. [cite: 26]

إذن المثلث ABC متساوي الساقين في B (AB=BC). هذا يتناقض مع المعطيات الأولية $CA=CB$. [cite: 26]

إذا كان $\hat{ABC}=50^{\circ}$ و $\hat{ACB}=80^{\circ}$ و $CA=CB$: [cite: 26]

إذا $CA=CB$، فإن المثلث متساوي الساقين في C، و $\hat{CAB} = \hat{CBA}$. [cite: 26]

إذن، $\hat{CAB} = \hat{CBA} = 50^{\circ}$. [cite: 26]

و $\hat{ACB} = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. [cite: 26]

هذا يتوافق مع المعطيات. [cite: 26]

K هو مركز الدائرة المحاطة، إذن (BK) هو منصف الزاوية ABC. [cite: 28]

$\hat{ABK} = \hat{ABC} / 2 = 50^{\circ} / 2 = 25^{\circ}$. [cite: 28]

(2) ج - رسم الدائرة المحاطة بالمثلث ABC: [cite: 28]

يتم رسمها باستخدام مركز K ونصف قطر الدائرة المماسة للأضلاع الداخلية. [cite: 28]

تصحيح التمرين رقم 5 - مثال رقم 4:

(1) مناظرة B بالنسبة لـ (AI): [cite: 29]

بما أن المثلث ABC متساوي الساقين في A (AB=AC)، و I منتصف [BC]، فإن (AI) هو محور تماثل للمثلث. [cite: 28]

لذلك، مناظرة B بالنسبة لـ (AI) هي C. [cite: 29]

(2) أ - إنشاء النقطة N مناظرة M بالنسبة لـ (AI): [cite: 29]

بما أن (AI) هو محور تماثل، فإن N ستقع على (AC] وتبعد عن A نفس المسافة التي تبعدها M عن A. [cite: 29]

(2) ب - إثبات أن NC=2cm: [cite: 29]

لدينا AM = 8cm. وبما أن N مناظرة M بالنسبة لـ (AI)، فإن AN = AM = 8cm. [cite: 28, 29]

لدينا AC = 6cm. [cite: 28]

بما أن N تقع على نصف المستقيم (AC] و AN = 8cm و AC = 6cm، فإن C تقع بين A و N. [cite: 29]

$NC = AN - AC = 8cm - 6cm = 2cm$. [cite: 29]

(2) ج - إثبات أن N نقطة من (AC]: [cite: 29]

بما أن (AI) هو محور تماثل و M تقع على (AB]، فإن N (مناظرة M) ستقع على (AC]. [cite: 28, 29]

(3) إثبات أن (C) و (C) متناظرتان بالنيسبة لـ (AI): [cite: 29]

الدائرة (C) مركزها B وشعاعها 2cm. [cite: 29]

الدائرة (C) مركزها C وتمر من N. [cite: 29]

إذا كانت (C) و (C) متناظرتين بالنسبة لـ (AI)، فيجب أن تكون B مناظرة C بالنسبة لـ (AI) (وقد أثبتنا ذلك في 1)، ويجب أن يكون نصف قطر (C) مساويًا لنصف قطر (C). [cite: 29]

نصف قطر (C) هو 2cm. [cite: 29]

نصف قطر (C) هو CN، وقد حسبنا CN = 2cm. [cite: 29]

بما أن B مناظرة C بالنسبة لـ (AI) و نصفي القطرين متساويين، فإن الدائرتين متناظرتان بالنسبة لـ (AI). [cite: 29]

(4) إثبات أن E و F متناظرتان بالنسبة لـ (AI): [cite: 29]

(IM) يقطع (AC) في E. [cite: 29]

(IN) يقطع (AB) في F. [cite: 29]

بما أن (AI) هو محور تماثل، و N مناظرة M بالنسبة لـ (AI)، فإن المستقيم (IN) هو مناظر المستقيم (IM) بالنسبة لـ (AI). [cite: 29]

بما أن E هي نقطة تقاطع (IM) و (AC)، و F هي نقطة تقاطع (IN) و (AB)، وبما أن (AC) هو مناظر (AB) بالنسبة لـ (AI)، فإن E و F متناظرتان بالنسبة لـ (AI). [cite: 29]

تصحيح التمرين رقم 1 - مثال رقم 5:

(1) المساواة $287=18\times15+17$ تمثل القسمة الإقليدية للعدد 287: [cite: 30, 31]

في القسمة الإقليدية، يجب أن يكون الباقي أصغر من القاسم. هنا، الباقي هو 17 والقاسم هو 18. [cite: 30]

بما أن 17 < 18، فإن هذه المساواة تمثل القسمة الإقليدية الصحيحة. [cite: 30]

الجواب: صواب. [cite: 30]

(2) باقي القسمة الإقليدية للعدد 987654 على 4 يساوي صفر: [cite: 31]

لكي يكون العدد قابلاً للقسمة على 4، يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 4. [cite: 31]

العددان الأخيران هما 54. [cite: 31]

$54 \div 4 = 13$ والباقي 2. [cite: 31]

إذن، باقي القسمة هو 2، وليس صفر. [cite: 31]

الجواب: خطأ. [cite: 31]

(3) العدد 91 أولي: [cite: 31]

العدد الأولي هو العدد الذي له قاسمان فقط: 1 والعدد نفسه. [cite: 31]

91 يقبل القسمة على 7 ($91 = 7 \times 13$). [cite: 31]

إذن، 91 ليس عددًا أوليًا. [cite: 31]

الجواب: خطأ. [cite: 31]

(4) عدد قواسم العدد 31 هو 2: [cite: 31]

31 هو عدد أولي (لا يقبل القسمة إلا على 1 و 31). [cite: 31]

إذن، عدد قواسمه هو 2 (1 و 31). [cite: 31]

الجواب: صواب. [cite: 31]

(5) الجذاء 345 هو تفكيك العدد 180 إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 31]

التفكيك إلى جذاء عوامل أولية يعني كتابة العدد كجذاء لأعداد أولية فقط. [cite: 31]

$3 \times 4 \times 5 = 60$. [cite: 31]

180 لا يساوي 60. [cite: 31]

بالإضافة إلى ذلك، 4 ليس عددًا أوليًا. [cite: 31]

تفكيك 180 إلى عوامل أولية هو $180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5$. [cite: 31]

الجواب: خطأ. [cite: 31]

تصحيح التمرين رقم 2 - مثال رقم 5:

(1) أ - تفكيك إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 31]

$$108 = 2^2 \times 3^3$$

$$192 = 2^6 \times 3$$

$$7056 = 2^4 \times 3^2 \times 7^2$$

(1) ب - استنتاج تفكيك إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 31]

$$108^2 = (2^2 \times 3^3)^2 = 2^4 \times 3^6$$

$$192 \times 108 = (2^6 \times 3) \times (2^2 \times 3^3) = 2^8 \times 3^4$$

$$192 \div 7056 = \frac{2^6 \times 3}{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = \frac{2^2}{3 \times 7^2}$$

(1) ج - تحديد مجموعة قواسم 108 و 192: [cite: 31]

قواسم 108 ($2^2 \times 3^3$): نجد كل تركيبة من $2^a \times 3^b$ حيث $0 \le a \le 2$ و $0 \le b \le 3$. [cite: 31]

عدد القواسم = $(2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$. [cite: 31]

قواسم 192 ($2^6 \times 3$): نجد كل تركيبة من $2^a \times 3^b$ حيث $0 \le a \le 6$ و $0 \le b \le 1$. [cite: 31]

عدد القواسم = $(6+1)(1+1) = 7 \times 2 = 14$. [cite: 31]

(1) د - طول ضلع مربع له نفس مساحة المستطيل: [cite: 31]

مساحة المستطيل = الطول × العرض = $108 \times 192 = (2^2 \times 3^3) \times (2^6 \times 3) = 2^8 \times 3^4$. [cite: 31]

طول ضلع المربع = $\sqrt{\text{المساحة}} = \sqrt{2^8 \times 3^4} = 2^{8/2} \times 3^{4/2} = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$. [cite: 31]

(1) ك - القيم الممكنة لضلع المربع لتقسيم المستطيل: [cite: 32]

لتقسيم المستطيل إلى مربعات بدون فراغات، يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسماً مشتركاً لـ 108 و 192. [cite: 32]

نحسب ق.م.أ (108, 192): [cite: 32]

$$\text{ق.م.أ}(108, 192) = 2^{\min(2,6)} \times 3^{\min(3,1)} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$$

جميع قواسم ق.م.أ (12) هي القيم الممكنة لضلع المربع: 1, 2, 3, 4, 6, 12. [cite: 32]

تصحيح التمرين رقم 3 - مثال رقم 5:

يتطلب هذا التمرين فهمًا للرسم المقدم وخصائص التناظر الهندسي.

(1) إنشاء النقطة E مناظرة B بالنسبة إلى D: [cite: 32]

بما أن D هو الموسط العمودي للقطعة [AM]، فإن أي نقطة على D تبعد نفس المسافة عن A و M. [cite: 32]

لإنشاء E مناظرة B بالنسبة لـ D، نرسم خطًا عموديًا من B إلى D ويمتد بنفس المسافة على الجانب الآخر لتحديد E. [cite: 32]

(2) إثبات أن E و F و M على استقامة واحدة: [cite: 32]

هذا يتطلب تحليل خصائص التناظر والتقاطعات في الرسم. [cite: 32]

(3) إثبات أن $\hat{BAM}=40^{\circ}$: [cite: 32]

المعلومات المتاحة في الصورة هي زاوية 50 درجة. لا يمكن إثبات أن $\hat{BAM}=40^{\circ}$ بالمعطيات المباشرة المقدمة في النص. [cite: 32]

(4) تحديد مناظرة الزاوية BAM ثم حدد قيسها: [cite: 32]

مناظرة الزاوية BAM بالنسبة للموسط العمودي D. [cite: 32]

بما أن D هو الموسط العمودي لـ [AM]، فإن مناظرة A هي M ومناظرة M هي A. [cite: 32]

لتحديد مناظرة الزاوية BAM، نحتاج إلى مناظرة النقطة B. [cite: 32]

نحن نعلم أن E هي مناظرة B بالنسبة لـ D. [cite: 32]

إذن، مناظرة الزاوية BAM هي الزاوية EMA. [cite: 32]

التناظر يحافظ على قياس الزوايا، لذا $\hat{EMA} = \hat{BAM}$. [cite: 32]

(5) حساب محيط المثلث AEF: [cite: 32]

لدينا FB=2cm و FM=5cm و BM=4cm. [cite: 32]

بما أن E مناظرة B بالنسبة لـ D، فإن AM=AE. [cite: 32]

لدينا $\hat{BAM}$ هي 40 درجة (إذا افترضنا صحتها). [cite: 32]

نحتاج إلى أطوال أضلاع المثلث AEF (AE, AF, EF). [cite: 32]

AE = AM (بما أن E مناظرة B بالنسبة لـ D, و D هو الموسط العمودي لـ AM, فإن المثلث ABM متساوي الساقين في B و AME متساوي الساقين في M. هذا قد يكون خاطئا.) [cite: 32]

إذا كانت D هي الموسط العمودي لـ [AM]، فإن أي نقطة على D تبعد نفس المسافة عن A و M. [cite: 32]

بما أن E هي مناظرة B بالنسبة لـ D، فإن $AE = BM$. [cite: 32]

إذن $AE = 4cm$. [cite: 32]

نحتاج إلى طول AF و EF. [cite: 32]

لا يمكن حساب محيط المثلث AEF بالمعلومات المقدمة فقط دون مزيد من التفاصيل أو الرسم. [cite: 32]

تصحيح التمرين رقم 1 - مثال رقم 6:

$(0,3\times10^{2})$ هو: [cite: 34]

$$0,3 \times 10^2 = 0,3 \times 100 = 30$$

الجواب: أ) (+30). [cite: 34]

$(0,1\times172,8)$ هو: [cite: 34]

$$0,1 \times 172,8 = 17,28$$

لا يوجد هذا الخيار ضمن الخيارات المقدمة. [cite: 34]

محيط مستطيل هو 100cm وأحد أبعاده اذن البعد الثاني يساوي: [cite: 34]

محيط المستطيل = $2 \times (\text{الطول} + \text{العرض})$. [cite: 34]

إذا كان المحيط 100 سم، وأحد الأبعاد هو x، والبعد الثاني هو y. [cite: 34]

$100 = 2 \times (x + y)$ [cite: 34]

$50 = x + y$ [cite: 34]

$y = 50 - x$ [cite: 34]

الخيارات المقدمة ($a\times b$, $a^{2}\times b$, $a^{2}$) لا تتوافق مع صيغة البعد الثاني. يبدو أن هناك معلومات مفقودة أو أن الخيارات غير مكتملة. [cite: 34]

a و b عددان أوليان فيما بينهما اذن م م أ $(a\times b,a^{2})$ هو: [cite: 34]

بما أن a و b أوليان فيما بينهما، فإن ق.م.أ (a,b) = 1. [cite: 34]

م.م.أ $(a \times b, a^2)$. [cite: 34]

نحلل إلى عوامل أولية: $a \times b$ و $a^2$. [cite: 34]

م.م.أ $(\text{العدد 1, العدد 2})$ = (العدد 1 × العدد 2) / ق.م.أ (العدد 1, العدد 2). [cite: 34]

ق.م.أ $(a \times b, a^2) = a \times \text{ق.م.أ}(b, a) = a \times 1 = a$. [cite: 34]

م.م.أ $(a \times b, a^2) = \frac{(a \times b) \times a^2}{\text{ق.م.أ}(a \times b, a^2)} = \frac{a^3 \times b}{a} = a^2 \times b$. [cite: 34]

إذن، الجواب: ب) $a^{2}\times b$. [cite: 34]

تصحيح التمرين رقم 2 - مثال رقم 6:

حساب العبارات: [cite: 34]

$$A=(12,7-8,94)-1,06 = 3,76-1,06 = 2,7$$

$$C=72,15\times8,19+72,15\times1,23+94,2\times2,785$$

$$C=72,15\times(8,19+1,23)+94,2\times2,785$$

$$C=72,15\times9,42+94,2\times2,785$$

$$C=72,15\times9,42+9,42\times27,85$$

$$C=9,42\times(72,15+27,85)$$

$$C=9,42\times100 = 942$$

تحليل العددين a و b: [cite: 34]

$a=2^{3}\times3\times5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$ [cite: 34]

$b=2^{2}\times3^{2} = 4 \times 9 = 36$ [cite: 34]

أ- حساب ق.م.أ (a,b) و م.م.أ (a,b): [cite: 34]

$$\text{ق.م.أ}(120, 36) = 2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} \times 5^{\min(1,0)} = 2^2 \times 3^1 \times 5^0 = 4 \times 3 = 12$$

$$\text{م.م.أ}(120, 36) = 2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(1,2)} \times 5^{\max(1,0)} = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$$

ب - استنتاج عناصر المجموعتين $D_{a}\cap D_{b}$ و $M_{a}\cap M_{b}$: [cite: 35]

$D_{a}\cap D_{b}$ هي مجموعة القواسم المشتركة لـ a و b، وهي قواسم ق.م.أ (a,b). [cite: 35]

قواسم 12 هي: 1, 2, 3, 4, 6, 12. [cite: 35]

$M_{a}\cap M_{b}$ هي مجموعة المضاعفات المشتركة لـ a و b، وهي مضاعفات م.م.أ (a,b). [cite: 35]

مضاعفات 360 هي: 360, 720, 1080, 1440, ... [cite: 35]

عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية: [cite: 35, 36]

لنفترض أن عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية هو X. [cite: 35]

عندما نضيف 14 تلميذاً، يصبح العدد $X+14$. [cite: 35]

هذا العدد $X+14$ يقبل القسمة على a (120) وعلى 6. [cite: 35]

بما أن 120 مضاعف لـ 6 ($120 = 20 \times 6$)، فإن العدد $X+14$ يجب أن يكون مضاعفاً لـ 120. [cite: 35]

العدد X محصور بين 1400 و 1500. [cite: 35]

إذن $1400 + 14 \le X+14 \le 1500 + 14$. [cite: 35]

$1414 \le X+14 \le 1514$. [cite: 35]

نبحث عن مضاعفات 120 في هذا النطاق: [cite: 35]

$120 \times 11 = 1320$ (أصغر من النطاق) [cite: 35]

$120 \times 12 = 1440$ (ضمن النطاق) [cite: 35]

$120 \times 13 = 1560$ (أكبر من النطاق) [cite: 35]

إذن، $X+14 = 1440$. [cite: 35]

$X = 1440 - 14 = 1426$. [cite: 36]

عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية هو 1426 تلميذاً. [cite: 36]

تصحيح التمرين رقم 3 - مثال رقم 6:

❶ إثبات أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى (OI): [cite: 36]

O هو مركز الدائرة C، و I هو مركز الدائرة C. [cite: 36]

OA = OB (نصفي قطر في الدائرة C). [cite: 36]

IA = IB (نصفي قطر في الدائرة C). [cite: 36]

بما أن O تبعد نفس المسافة عن A و B، و I تبعد نفس المسافة عن A و B، فإن المستقيم (OI) هو محور تماثل للقطعة المستقيمة [AB]. [cite: 36]

إذن، A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OI). [cite: 36]

 مناظر نصف المستقيم (IE] بالنسبة إلى (OI): [cite: 36]

بما أن I تقع على محور التناظر (OI)، فإن مناظرتها هي نفسها. [cite: 36]

E هي نقطة على الدائرة C. [cite: 36]

مناظر نصف المستقيم (IE] بالنسبة لـ (OI) هو نصف المستقيم (IF] (إذا كانت F مناظرة E بالنسبة لـ OI). [cite: 36]

 أ - مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى (OI): [cite: 37]

بما أن المستقيم المار من E وعمودي على (OI) يقطع الدائرة C في F، فإن F هي مناظرة E بالنسبة لـ (OI). [cite: 37]

إذا كانت E و F متناظرتين بالنسبة لـ (OI)، فإن المستقيم (EF) عمودي على (OI). [cite: 37]

ومناظر المستقيم العمودي على محور التناظر هو نفسه. [cite: 37]

إذن، مناظر المستقيم (EF) بالنسبة لـ (OI) هو المستقيم (EF) نفسه. [cite: 37]

 ب - إثبات أن النقطتين E و F متناظرتان بالنسبة إلى (OI): [cite: 37]

معطى أن المستقيم المار من E والعمودي على (OI) يقطع الدائرة C في F. [cite: 37]

هذا التعريف يثبت مباشرة أن F هي مناظرة E بالنسبة لـ (OI) (أو العكس). [cite: 37]

 ج - إثبات أن BE = AF: [cite: 37]

التناظر المحوري يحافظ على المسافات. [cite: 37]

بما أن E و F متناظرتان بالنسبة لـ (OI)، فإن OE = OF. [cite: 37]

وبما أن A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OI)، فإن OA = OB. [cite: 37]

ونصف المستقيم (IA] يقطع الدائرة C في E. [cite: 36]

إثبات BE = AF يتطلب إثبات تطابق المثلثات. [cite: 37]

 د - إثبات أن I و B و F على استقامة واحدة: [cite: 37]

هذا يتطلب أن تكون الزاوية $\hat{IBF}$ تساوي 180 درجة. [cite: 37]

يتطلب هذا معرفة العلاقة بين هذه النقاط في الرسم. [cite: 37]

تصحيح التمرين رقم 1 - مثال رقم 7:

II - أكمل بصواب أو خطأ: [cite: 38]

* كل عدد فردي هو أولي: خطأ. على سبيل المثال، 9 هو عدد فردي ولكنه ليس أولياً ($9 = 3 \times 3$). [cite: 38]

* جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية المخالفة للصفر تقبل القسمة على 1 و على نفسها: صواب. هذا هو التعريف الأساسي للقسمة. [cite: 38]

* إذا كان مركزي دائرتي متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$ فإن الدائرتين هاتيّفان متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$: صواب. إذا كان نصفا القطرين متساويين وكان المركزان متناظرين، فإن الدائرتين متناظرتان. [cite: 38]

* كل عدد زوجي هو أولي: خطأ. العدد الزوجي الوحيد الأولي هو 2. جميع الأعداد الزوجية الأخرى أكبر من 2 قابلة للقسمة على 2 وبالتالي ليست أولية. [cite: 38]

عدد قواسم الجذاء $3^4 \times 9^2$: [cite: 39]

$$3^4 \times 9^2 = 3^4 \times (3^2)^2 = 3^4 \times 3^4 = 3^8$$

عدد القواسم = $8+1 = 9$. [cite: 39]

الخيارات المقدمة هي 15، 11، 27. لا يوجد خيار 9. [cite: 39]

الجذاء $3^5 \times 2 \times 7$ هو عدد: [cite: 39]

بما أن الجذاء يحتوي على العامل 2، فإنه عدد زوجي. [cite: 39]

الجواب: ج) زوجي. [cite: 40]

تصحيح التمرين رقم 2 - مثال رقم 7:

(1) العدد 33...5... قابلا للقسمة على 2 و 3 و 4 و 9: [cite: 38]

لنفترض أن العدد هو 33xy5z. [cite: 38]

قابل للقسمة على 2: يجب أن يكون z زوجيًا (0, 2, 4, 6, 8). [cite: 38]

قابل للقسمة على 5: يجب أن يكون z 0 أو 5. بما أنه زوجي، فإن z=0. [cite: 38]

إذن، العدد هو 33x5y0. [cite: 38]

قابل للقسمة على 4: يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين (y0) قابلاً للقسمة على 4. [cite: 38]

الاحتمالات لـ y0 هي: 20, 40, 60, 80. [cite: 38]

إذن، y يمكن أن تكون 2, 4, 6, 8. [cite: 38]

قابل للقسمة على 9 (وبالتالي على 3): يجب أن يكون مجموع الأرقام (3+3+x+5+y+0 = 11+x+y) قابلاً للقسمة على 9. [cite: 38]

إذا y=2: $11+x+2 = 13+x$. لكي يكون قابلاً للقسمة على 9، $x=5$ ($13+5=18$). العدد: 335520. [cite: 38]

إذا y=4: $11+x+4 = 15+x$. لكي يكون قابلاً للقسمة على 9، $x=3$ ($15+3=18$). العدد: 333540. [cite: 38]

إذا y=6: $11+x+6 = 17+x$. لكي يكون قابلاً للقسمة على 9، $x=1$ ($17+1=18$). العدد: 331560. [cite: 38]

إذا y=8: $11+x+8 = 19+x$. لكي يكون قابلاً للقسمة على 9، $x=8$ ($19+8=27$). العدد: 338580. [cite: 38]

الحلول الممكنة: 335520, 333540, 331560, 338580. [cite: 38]

(2) القسمة الإقليدية للعدد 406 على 13: [cite: 38, 39]

المساواة المعطاة: $a=29\times13+29\times406$. هذا لا يمثل قسمة إقليدية لـ 406 على 13. [cite: 38]

سنعتبر أن المطلوب هو تحديد خارج وباقي قسمة 406 على 13. [cite: 38]

$406 \div 13$: [cite: 38]

$406 = 13 \times 31 + 3$. [cite: 38]

الخارج هو 31 والباقي هو 3. [cite: 38]

(3) تحليل الأعداد: [cite: 39]

أ- تفكيك العددين 144 و 108 إلى جذاء عوامل أولية: [cite: 39]

$$144 = 12^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2$$

$$108 = 2^2 \times 3^3$$

ب- استنتاج تفكيكا إلى جذاء عوامل أولية للعدد $144^2 \times 108^2$: [cite: 39]

$$144^2 \times 108^2 = (2^4 \times 3^2)^2 \times (2^2 \times 3^3)^2$$

$$= (2^8 \times 3^4) \times (2^4 \times 3^6)$$

$$= 2^{12} \times 3^{10}$$

ج- استنتاج أن العدد $144 \times 108^2$ هو مربع كامل: [cite: 39]

$$144 \times 108^2 = (2^4 \times 3^2) \times (2^2 \times 3^3)^2$$

$$= (2^4 \times 3^2) \times (2^4 \times 3^6)$$

$$= 2^8 \times 3^8$$

بما أن جميع أسس العوامل الأولية (8 و 8) هي أعداد زوجية، فإن العدد هو مربع كامل. [cite: 39]

تصحيح التمرين رقم 3 - مثال رقم 7:

(1) أ - حساب $\hat{yOt}$: [cite: 39]

الزاوية $\hat{xOt}$ منبسطة، أي قياسها 180 درجة. [cite: 39]

$\hat{xOy} = 32^{\circ}$. [cite: 39]

$$\hat{yOt} = \hat{xOt} - \hat{xOy} = 180^{\circ} - 32^{\circ} = 148^{\circ}$$

(1) ب - استنتاج أن الزاويتين $\hat{yOt}$ و $\hat{yOz}$ متكاملتان: [cite: 40]

نصف المستقيم (Oy] منصف الزاوية $\hat{xOz}$. [cite: 39]

إذن $\hat{xOy} = \hat{yOz} = 32^{\circ}$. [cite: 39]

مجموع الزاويتين $\hat{yOt} + \hat{yOz} = 148^{\circ} + 32^{\circ} = 180^{\circ}$. [cite: 40]

بما أن مجموعهما 180 درجة، فإنهما متكاملتان. [cite: 40]

(2) أ - إنشاء نصف المستقيم (Ou] منصف الزاوية $\hat{zOt}$: [cite: 40]

يتم رسم منصف الزاوية بين Oz و Ot. [cite: 40]

(2) ب - حساب القيس $\hat{zOt}$: [cite: 40]

$$\hat{zOt} = \hat{xOt} - \hat{xOz}$$

$$\hat{xOz} = \hat{xOy} + \hat{yOz} = 32^{\circ} + 32^{\circ} = 64^{\circ}$$

$$\hat{zOt} = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$$

(2) ج - استنتاج أن الزاويتين $\hat{xOy}$ و $\hat{uOt}$ متتامتا: [cite: 40]

بما أن (Ou] منصف الزاوية $\hat{zOt}$، فإن $\hat{uOt} = \hat{zOt} / 2 = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ}$. [cite: 40]

مجموع $\hat{xOy} + \hat{uOt} = 32^{\circ} + 58^{\circ} = 90^{\circ}$. [cite: 40]

بما أن مجموعهما 90 درجة، فإنهما متتامتان. [cite: 40]

(3) أ - رسم نصف المستقيم (Ov] بحيث $\hat{yOv}=180^{\circ}$: [cite: 40]

هذا يعني أن (Ov] هو امتداد لـ (Oy] في الاتجاه المعاكس. [cite: 40]

(3) ب - إثبات أن (Ou) $\perp$ (Ov): [cite: 41]

$\hat{uOv} = \hat{uOt} + \hat{tOv}$. [cite: 41]

$\hat{tOv}$ هي الزاوية بين Ot و Ov. [cite: 41]

$\hat{yOv}=180^{\circ}$، و $\hat{yOt}=148^{\circ}$. [cite: 40]

$\hat{tOv} = \hat{yOv} - \hat{yOt} = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ}$. [cite: 41]

$\hat{uOv} = 58^{\circ} + 32^{\circ} = 90^{\circ}$. [cite: 41]

إذن، (Ou) $\perp$ (Ov). [cite: 41]

(4) إثبات أن المستقيم (OB) هو الموسط العمودي للقطعة [AC]: [cite: 42]

الدائرة التي قطرها [OB] تقطع (Ox] في A و (Oz] في C. [cite: 41]

إذا كان [OB] قطرًا في الدائرة، فإن أي زاوية محيطية تحصر هذا القطر تكون قائمة. [cite: 41]

لدينا (AB) $\perp$ (OA) (صحيح لأن A على الدائرة و B هو طرف القطر). [cite: 41]

لدينا (OC) $\perp$ (BC) (صحيح لأن C على الدائرة و B هو طرف القطر). [cite: 41]

لدينا OA = OC. [cite: 41]

بما أن OA = OC، فإن المثلث AOC متساوي الساقين في O. [cite: 41]

وبما أن (OB) يمر بـ O و B، فإننا نحتاج إلى إثبات أنه عمودي على AC وينصفها. [cite: 42]

في مثلث متساوي الساقين (OAC)، إذا كان (OB) هو منصف الزاوية $\hat{AOC}$ أو ارتفاع من O على AC، فإنه سيكون الموسط العمودي. [cite: 42]

تصحيح التمرين رقم 1 - مثال رقم 8:

(1) إذا كان a عدد صحيح طبيعي : حيث ق.م.أ(a, 35) = 1. فإن م.م.أ(a, 35) :يساوي: [cite: 43]

إذا كان ق.م.أ لعددين يساوي 1، فإنهما أوليان فيما بينهما. [cite: 43]

في هذه الحالة، م.م.أ (a, 35) = $a \times 35 = 35a$. [cite: 43]

الجواب: ج) 35a. [cite: 43]

(2) في المساواة التالية $356,0030 \times ?10 = 35600300$. الرمز .? :يساوي: [cite: 43]

لتحويل 356.0030 إلى 35600300، يجب تحريك الفاصلة 5 خانات إلى اليمين. [cite: 43]

هذا يعني الضرب في $10^5$. [cite: 43]

إذن، الرمز ? هو 5. [cite: 43]

الجواب: ب) 5. [cite: 43]

(3) الذي يمثل النقطة M هو العدد العشري: [cite: 43]

لا يوجد رسم مرفق لتحديد النقطة M. ولكن من الخيارات، قد تكون M نقطة على خط الأعداد. [cite: 43]

الخيارات هي: -3,75، -2,75، -3,75. [cite: 43]

إذا كانت الخيارات متكررة، فإنه يشير إلى أن إحداها صحيحة. [cite: 43]

(4) م.م.أ (90,150,45) :يساوي: [cite: 44]

نوجد التفكيك إلى عوامل أولية لكل عدد: [cite: 44]

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$ [cite: 44]

$150 = 2 \times 3 \times 5^2$ [cite: 44]

$45 = 3^2 \times 5$ [cite: 44]

م.م.أ = $2^{\max(1,1,0)} \times 3^{\max(2,1,2)} \times 5^{\max(1,2,1)}$ [cite: 44]

$= 2^1 \times 3^2 \times 5^2 = 2 \times 9 \times 25 = 18 \times 25 = 450$. [cite: 44]

الجواب: ب) 450. [cite: 44]

مناظر نصف المستقيم [BC) بالنسبة إلى المستقيم (AB) :هو: [cite: 44]

يتطلب هذا رسمًا. إذا كان (AB) هو محور التناظر، فإن النقطة B تقع على المحور. [cite: 44]

ومناظرة C بالنسبة لـ (AB) ستكون C' على الجانب الآخر. [cite: 44]

مناظر نصف المستقيم [BC) سيكون [BC'). [cite: 44]

بدون رسم، لا يمكن تحديد الإجابة بدقة من الخيارات. [cite: 44]

تصحيح التمرين رقم 2 I ) - مثال رقم 8:

حساب العبارات: [cite: 44]

$$a=8,75+0,25\times3,4\times0\times0,73$$

$$a=8,75+0 = 8,75$$

$$b=29,3\times11,47-2,93\times14,7$$

$$b=29,3\times11,47-0,293\times147$$

$$b=29,3\times11,47-2,93\times14,7$$

$$b=336,191 - 43,071 = 293,12$$

$$c=113,85-(13,85+9,97)$$

$$c=113,85-13,85-9,97$$

$$c=100-9,97 = 90,03$$

$$d=(12,97+1,8+0,13)-(2,97+1,8+0,13)$$

$$d=12,97+1,8+0,13-2,97-1,8-0,13$$

$$d=(12,97-2,97) + (1,8-1,8) + (0,13-0,13)$$

$$d=10+0+0 = 10$$

تصحيح التمرين رقم 2 II ) - مثال رقم 8:

لكي يتفقد محمد ضغط الهواء والزيت معًا، يجب أن يكون عدد الأيام منذ آخر تفقد مشترك مضاعفًا لـ 12 و 18. [cite: 45]

نحسب المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) لـ 12 و 18. [cite: 45]

$12 = 2^2 \times 3$ [cite: 45]

$18 = 2 \times 3^2$ [cite: 45]

م.م.أ (12, 18) = $2^{\max(2,1)} \times 3^{\max(1,2)} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. [cite: 45]

إذن، سيتفقد محمد الهواء والزيت معًا كل 36 يوماً. [cite: 45]

آخر تاريخ تفقد مشترك كان 20 جانفي 2021. [cite: 45]

التاريخ التالي سيكون بعد 36 يوماً من 20 جانفي 2021. [cite: 45]

عدد الأيام في جانفي = 31 يوماً. [cite: 45]

عدد الأيام المتبقية في جانفي بعد 20 جانفي = $31 - 20 = 11$ يوماً. [cite: 45]

عدد الأيام المتبقية من 36 يوماً لتكملة الشهر التالي = $36 - 11 = 25$ يوماً. [cite: 45]

إذن، سيكون تاريخ التفقد المشترك التالي هو 25 فيفري 2021. [cite: 46]

تصحيح التمرين رقم 3 - مثال رقم 8:

يتطلب هذا التمرين وجود رسم بياني بنظام إحداثيات (O, I, J) ونقاط A و C. بدون الرسم، لا يمكن تحديد الإحداثيات أو إجراء الإنشاءات بدقة. [cite: 46]

(1) إحداثيات A و C: [cite: 46]

لا يمكن تحديد الإحداثيات بدون الرسم. [cite: 46]

(2) أ - إنشاء النقطة B و D: [cite: 46]

B مناظرة A بالنسبة لـ (OI): إذا كانت إحداثيات A هي (x,y)، فإن إحداثيات B ستكون (x, -y). [cite: 46]

D مناظرة C بالنسبة لـ (OJ): إذا كانت إحداثيات C هي (x,y)، فإن إحداثيات D ستكون (-x, y). [cite: 46]

(2) ب - إكمال الجدول: [cite: 46]

بما أن (O, I, J) هو معلم متعامد ومتجانس حيث OI=OJ، يمكن اعتبار I هي النقطة (1,0) و J هي النقطة (0,1). [cite: 46]

النقطة | I | J | B | D [cite: 46]

احداثياتها | (1,0) | (0,1) | (xA, -yA) | (-xC, yC) [cite: 46]

(3) أ - إثبات أن IA = IB: [cite: 47]

IA هي المسافة بين النقطة I(1,0) والنقطة A(xA, yA). [cite: 47]

IB هي المسافة بين النقطة I(1,0) والنقطة B(xA, -yA). [cite: 47]

$$IA^2 = (x_A - 1)^2 + (y_A - 0)^2 = (x_A - 1)^2 + y_A^2$$

$$IB^2 = (x_A - 1)^2 + (-y_A - 0)^2 = (x_A - 1)^2 + y_A^2$$

بما أن $IA^2 = IB^2$، فإن IA = IB. [cite: 47]

(3) ب - إثبات أن (CD) موازي لـ (OI): [cite: 47]

المستقيم (OI) هو محور السينات (x-axis). [cite: 46]

المستقيم (CD) يمر بالنقطتين C(xC, yC) و D(-xC, yC). [cite: 46]

ميل المستقيم (CD) = $\frac{y_C - y_C}{-x_C - x_C} = \frac{0}{-2x_C} = 0$ (إذا كان $x_C \ne 0$). [cite: 47]

ميل المستقيم (OI) هو 0. [cite: 46]

بما أن الميلين متساويين (وكلاهما 0)، فإن (CD) موازي لـ (OI). [cite: 47]

تصحيح التمرين رقم 4 - مثال رقم 8:

يتطلب هذا التمرين وجود رسم للمثلث ABC ونقطة I في منتصف [BC]. [cite: 47]

(1) أ - إنشاء النقطة B' مناظرة B بالنسبة لـ (AI): [cite: 47]

بما أن I منتصف [BC]، فإن (AI) هو متوسط المثلث. [cite: 47]

يتم رسم B' بحيث يكون (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [BB']. [cite: 47]

(1) ب - مناظرة الزاوية $\hat{BAI}$ بالنسبة لـ (AI): [cite: 47]

بما أن (AI) هو محور التناظر، فإن النقطة A تقع على المحور، والنقطة I تقع على المحور. [cite: 47]

مناظرة B بالنسبة لـ (AI) هي B'. [cite: 47]

إذن، مناظرة الزاوية $\hat{BAI}$ هي الزاوية $\hat{B'AI}$. [cite: 47]

التعليل: التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا. [cite: 47]

(1) ج - استنتاج أن (AI] منصف الزاوية $\hat{B'AB}$: [cite: 47]

بما أن $\hat{BAI}$ هي مناظرة $\hat{B'AI}$ بالنسبة لـ (AI)، فإن $\hat{BAI} = \hat{B'AI}$. [cite: 47]

ولأن (AI] يقع بين AB و AB'، فإنه منصف الزاوية $\hat{B'AB}$. [cite: 47]

(2) أ - إنشاء النقطة C' مناظرة C بالنسبة لـ (AI): [cite: 48]

يتم رسم C' بحيث يكون (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [CC']. [cite: 48]

(2) ب - مناظر نصف المستقيم [BC) بالنسبة لـ (AI): [cite: 48]

بما أن B' هي مناظرة B و C' هي مناظرة C بالنسبة لـ (AI)، فإن مناظر نصف المستقيم [BC) هو نصف المستقيم [B'C'). [cite: 48]

التعليل: التناظر المحوري يحافظ على الأشكال الهندسية. [cite: 48]

(2) ج - إثبات أن النقاط B' و C' و I على استقامة واحدة: [cite: 48]

بما أن B و I و C على استقامة واحدة (لأن I منتصف [BC])، وبما أن التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة، فإن مناظرات هذه النقاط B', I', C' ستكون أيضًا على استقامة واحدة. [cite: 47, 48]

وبما أن I تقع على محور التناظر (AI)، فإن مناظرتها I' هي نفسها (I). [cite: 47]

إذن، B' و I و C' على استقامة واحدة. [cite: 48]