فرض مراقبة -

التمرين رقم 1 (4 نقاط) - أجب بصواب أو خطأ

السؤال: تأمل الشكل التالي حيث دائرة مركزها O وشعاعها OA، والمستقيم (AC) في المستوى.

● O (مركز الدائرة)

│

● A ────────● C

المستقيم (AC)

أ) البعد بين النقطة O والمستقيم (AC) يساوي شعاع الدائرة: [صواب/خطأ]

ب) البعد بين النقطة A والمستقيم (AC) يساوي صفراً: [صواب/خطأ]

الحل التفصيلي للتمرين الأول

أ) البعد من O إلى (AC)

البعد بين النقطة O والمستقيم (AC) هو أقصر مسافة من O إلى أي نقطة على (AC)، أي الخط العمودي من O إلى (AC). ليس بالضرورة أن يساوي شعاع الدائرة (OA) ما لم يكن المستقيم (AC) مماساً للدائرة عند A.

الإجابة: خطأ

مثال توضيحي:

إذا كان المستقيم (AC) مماساً عند A، فإن $ OA \perp AC $، والبعد يساوي الشعاع. لكن الشكل لا يحدد ذلك.

ب) البعد من A إلى (AC)

بما أن النقطة A تقع على المستقيم (AC)، فإن البعد بين A و(AC) يساوي صفراً.

الإجابة: صواب

خاصية:

البعد بين نقطة ومستقيم يحتويها دائماً صفر.

التمرين رقم 2 (6 نقاط) - حسابات رياضية

1) أتمم بما يناسب:

$$2543 - (x - 12) = 632$$

$$589 - (y + 193) = 300$$

$$729 + (z + 15) = 1304$$

$$w - 891 = 4160$$

2) احسب بطريقتين مختلفتين (مع كتابة مراحل الحساب):

$$b = (1204 - 489) - 336$$

$$(1944 - 409) - (751 - 409) = 375$$

$$a = (519 + 841) + (958 - 519)$$

3) أتمم بإحدى العلامتين + أو - لتحقيق المساواة:

$$534 \pm (381 \pm 211) = 704$$

4) أضف قوسين في المكان المناسب لتحقيق المساواة:

$$641 + 287 - 156 - 380 = 411$$

الحل التفصيلي للتمرين الثاني

1) إكمال الفراغات

أ) $ 2543 - (x - 12) = 632 $

$$2543 - x + 12 = 632$$

$$2555 - x = 632$$

$$x = 2555 - 632 = 1923$$

إذن: $ x = 1923 $

ب) $ 589 - (y + 193) = 300 $

$$589 - y - 193 = 300$$

$$396 - y = 300$$

$$y = 396 - 300 = 96$$

إذن: $ y = 96 $

ج) $ 729 + (z + 15) = 1304 $

$$729 + z + 15 = 1304$$

$$744 + z = 1304$$

$$z = 1304 - 744 = 560$$

إذن: $ z = 560 $

د) $ w - 891 = 4160 $

$$w = 4160 + 891 = 5051$$

إذن: $ w = 5051 $

2) الحساب بطريقتين

أ) $ b = (1204 - 489) - 336 $

الطريقة الأولى (مباشرة):

$$1204 - 489 = 715$$

$$715 - 336 = 379$$

الطريقة الثانية (إعادة ترتيب):

$$b = 1204 - (489 + 336) = 1204 - 825 = 379$$

النتيجة: 379

ب) $ (1944 - 409) - (751 - 409) = 375 $

الطريقة الأولى (مباشرة):

$$1944 - 409 = 1535$$

$$751 - 409 = 342$$

$$1535 - 342 = 1193$$

ملاحظة: النتيجة 1193 لا تساوي 375، مما يشير إلى خطأ في المعطى. لنفترض أن العبارة هي $ (1944 - 409) - (1160 - 409) = 375 $:

$$1944 - 409 = 1535$$

$$1160 - 409 = 751$$

$$1535 - 751 = 784$$

المعطى لا يزال غير صحيح. لنفترض أن النتيجة الصحيحة تحتاج إلى تصحيح لاحقاً.

الطريقة الثانية (إعادة ترتيب):

$$(1944 - 751) - (409 - 409) = 1193 - 0 = 1193$$

النتيجة غير مطابقة لـ 375، لذا سنفترض أن السؤال يحتاج تصحيحاً.

ج) $ a = (519 + 841) + (958 - 519) $

الطريقة الأولى (مباشرة):

$$519 + 841 = 1360$$

$$958 - 519 = 439$$

$$1360 + 439 = 1799$$

الطريقة الثانية (إعادة ترتيب):

$$a = (519 - 519) + 841 + 958 = 0 + 841 + 958 = 1799$$

النتيجة: 1799

3) إكمال العملية

$$534 \pm (381 \pm 211) = 704$$

نختبر الاحتمالات:

$ 534 + (381 + 211) = 534 + 592 = 1126 $
$ 534 + (381 - 211) = 534 + 170 = 704 $
$ 534 - (381 + 211) = 534 - 592 = -58 $
$ 534 - (381 - 211) = 534 - 170 = 364 $

الإجابة الصحيحة: $ 534 + (381 - 211) $

4) إضافة الأقواس

$$641 + 287 - 156 - 380 = 411$$

بدون أقواس: $ 641 + 287 - 156 - 380 = 928 - 156 - 380 = 392 $

نحتاج إلى: $ 641 + 287 - 156 - 380 = 411 $

نضع أقواساً: $ (641 + 287 - 156) - 380 $

$$641 + 287 - 156 = 772$$

$$772 - 380 = 392$$

هذا لا يعمل. نجرب: $ 641 + (287 - 156 - 380) $

$$287 - 156 - 380 = -249$$

$$641 - 249 = 392$$

المعطى (411) يبدو غير صحيح. لنفترض أن الصحيح هو 392:

الإجابة: $ (641 + 287 - 156) - 380 $

النتيجة المعطاة (411) لا تتحقق. النتيجة الصحيحة هي 392.

التمرين رقم 3 (2 نقاط) - هندسة

السؤال: تمثل النقاط S و K و T ثلاث مدن. أراد سكانها إنشاء مركب تجاري يبعد نفس البعد عن كل منها. أعنهم على إيجاد هذا الموقع مفسراً طريقة البناء.

● S

╱ ╲

● K ───● T

مثلث SKT

الحل التفصيلي للتمرين الثالث

إيجاد الموقع

لإيجاد نقطة تبعد نفس البعد عن النقاط S، K، و T، نحتاج إلى مركز الدائرة المحيطة بمثلث SKT (المركز الخارجي)، وهي النقطة التي تقع على المواسط العمودية لأضلاع المثلث.

طريقة البناء:

ارسم مثلث SKT.
ابنِ الموسط العمودي للضلع [SK]: جد منتصف [SK]، ثم ارسم خطاً عمودياً عليه عبر المنتصف.
ابنِ الموسط العمودي للضلع [KT] بنفس الطريقة.
نقطة تقاطع المواسط العمودية هي المركز O للدائرة المحيطة، وهي الموقع المطلوب.

التبرير: المركز O يبعد نفس المسافة (شعاع الدائرة) عن S، K، و T، لأن النقاط الثلاث تقع على محيط الدائرة.

ملاحظة:

إذا كانت النقاط S، K، T على استقامة واحدة، لا توجد دائرة محيطة، وبالتالي لا يوجد حل. نفترض أن المثلث غير متدهور.