فرض مراقبة -

التمرين رقم 1 (3 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة

السؤال الأول: العدد $ A = 17 $ هو:

$$A = 17$$

أ) عدد زوجي

ب) عدد فردي

ج) عدد أولي

د) عدد مركب

السؤال الثاني: احسب قيمة العبارة:

$$A = 3 + 7 \times (4 - 2)$$

السؤال الثالث: إذا كانت A و B و C ثلاث نقاط على استقامة واحدة، فإن:

$$AB = AC - BC$$

في حالة:

أ) $ B \in [AC] $

ب) $ C \in [AB] $

ج) $ A \in [BC] $

الحل التفصيلي للتمرين الأول

السؤال الأول: تحديد طبيعة العدد 17

العدد $ A = 17 $ هو عدد فردي وأولي

التبرير:

عدد فردي: لأن $ 17 = 2 \times 8 + 1 $
عدد أولي: لأن قواسمه هي 1 و 17 فقط

مثال توضيحي:

الأعداد الأولية الأولى: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

نلاحظ أن 17 لا يقبل القسمة على أي عدد غير 1 و 17

السؤال الثاني: حساب قيمة العبارة

$$A = 3 + 7 \times (4 - 2)$$

الحل خطوة بخطوة:

$$A = 3 + 7 \times 2$$

$$A = 3 + 14$$

$$A = 17$$

نبدأ بالأقواس، ثم الضرب، ثم الجمع (أولوية العمليات)

مثال مشابه:

$$B = 5 + 3 \times (6 - 4) = 5 + 3 \times 2 = 5 + 6 = 11$$

السؤال الثالث: المسافات على المستقيم

الصيغة $ AB = AC - BC $ صحيحة عندما: $ B \in [AC] $

الوضعية الصحيحة:

A ────── B ────── C

حيث B تقع بين A و C

التبرير الرياضي:

عندما تكون $ B \in [AC] $، فإن: $ AC = AB + BC $

وبالتالي: $ AB = AC - BC $

مثال عملي:

إذا كان $ AC = 10 $ سم و $ BC = 3 $ سم و $ B \in [AC] $

فإن: $ AB = AC - BC = 10 - 3 = 7 $ سم

التمرين رقم 2 (7 نقاط) - أحسب بأيسر طريقة

أ) احسب:

$$A = (1750 - 985) - (1250 - 985)$$

$$B = (125 + 48) + (152 - 125)$$

$$C = 32 \times 157 + 32 \times 742 + 899 \times 68$$

$$D = (197 + 375) + (103 + 125)$$

$$E = (594 - 148) - 52$$

$$F = 55 \times 102$$

ب) أكمل بما يناسب:

$$375 - \ldots - 18 = 275$$

ج) أكمل بما يناسب من الأعداد التالية:

الأعداد: 81401, 47000, 100000, 21156

$$123 \times 172 = \ldots$$

$$117698 - 17698 = \ldots$$

$$34562 + 12308 = \ldots$$

د) احسب:

$$n = 1911 \times 15 - 15 + 1910$$

$$m = 2025 \times 720 - (15000 - 2025 \times 280)$$

الحل التفصيلي للتمرين الثاني

أ) الحسابات الأساسية

1) حساب A:

$$A = (1750 - 985) - (1250 - 985)$$

$$A = 765 - 265 = 500$$

طريقة أيسر:

$$A = 1750 - 985 - 1250 + 985 = 1750 - 1250 = 500$$

نلاحظ أن 985 تحذف مع -985

2) حساب B:

$$B = (125 + 48) + (152 - 125) = 173 + 27 = 200$$

طريقة أيسر:

$$B = 125 + 48 + 152 - 125 = 48 + 152 = 200$$

3) حساب C:

$$C = 32 \times 157 + 32 \times 742 + 899 \times 68$$

$$C = 32 \times (157 + 742) + 899 \times 68$$

$$C = 32 \times 899 + 899 \times 68$$

$$C = 899 \times (32 + 68) = 899 \times 100 = 89900$$

4) حساب D:

$$D = (197 + 375) + (103 + 125) = 572 + 228 = 800$$

5) حساب E:

$$E = (594 - 148) - 52 = 446 - 52 = 394$$

طريقة أيسر:

$$E = 594 - 148 - 52 = 594 - 200 = 394$$

6) حساب F:

$$F = 55 \times 102 = 55 \times (100 + 2) = 5500 + 110 = 5610$$

ب) إكمال المساواة

$$375 - x - 18 = 275$$

$$375 - 18 - x = 275$$

$$357 - x = 275$$

$$x = 357 - 275 = 82$$

إذن: $ 375 - 82 - 18 = 275 $

ج) إكمال بالأعداد المعطاة

1) $ 123 \times 172 = 21156 $

2) $ 117698 - 17698 = 100000 $

3) $ 34562 + 12308 = 46870 $ (ليس من الأعداد المعطاة)

تحقق من الحسابات: $ 34562 + 12308 = 46870 $ وليس من الأعداد المعطاة

د) الحسابات المتقدمة

1) حساب n:

$$n = 1911 \times 15 - 15 + 1910$$

$$n = 15 \times (1911 - 1) + 1910$$

$$n = 15 \times 1910 + 1910$$

$$n = 1910 \times (15 + 1) = 1910 \times 16 = 30560$$

2) حساب m:

$$m = 2025 \times 720 - (15000 - 2025 \times 280)$$

$$m = 2025 \times 720 - 15000 + 2025 \times 280$$

$$m = 2025 \times (720 + 280) - 15000$$

$$m = 2025 \times 1000 - 15000$$

$$m = 2025000 - 15000 = 2010000$$

التمرين رقم 3 - الهندسة

المعطيات:

دائرة مركزها O، نقطتان A و B على الدائرة

مثلث OAB متقايس الأضلاع

المستقيم (OI) يقطع المستقيم (AB) في النقطة E

الرسم التوضيحي:

O ● مركز الدائرة

A ● ───── E ───── B ●

│ ╲ │ ╱ │

└─────────O─────────┘

أ) بين أن المستقيم (OI) هو الموسط العمودي لـ [AB]

ب) ماذا تمثل النقطة E بالنسبة إلى [AB]؟ علل جوابك

ج) عين نقطتين F و G بحيث يكون الرباعي AEFG مربعاً

د) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (AG) و (OI)؟

هـ) بين أن النقاط O و I و E و F على استقامة واحدة

الحل التفصيلي للتمرين الثالث

أ) إثبات أن (OI) هو الموسط العمودي لـ [AB]

الإثبات:

بما أن المثلث OAB متقايس الأضلاع، فإن:

$ OA = OB $ (نصفا قطر الدائرة)
$ OA = AB = OB $ (تقايس الأضلاع)

وبالتالي:

O تقع على الموسط العمودي لـ [AB] لأن $ OA = OB $.
المستقيم (OI) هو محور التناظر للمثلث OAB المتقايس، وبالتالي هو الموسط العمودي لـ [AB].

خاصية مهمة:

في المثلث المتقايس الأضلاع، يتطابق الموسط العمودي للضلع مع الارتفاع والوسيط ومحور التناظر.

ب) تحديد موقع النقطة E

النقطة E تمثل منتصف القطعة [AB]

التبرير:

لأن (OI) هو الموسط العمودي لـ [AB]، فإن النقطة E، التي هي نقطة تقاطع (OI) مع (AB)، تقسم القطعة [AB] إلى جزأين متساويين، أي $ AE = EB $. وبالتالي، E هي منتصف [AB].

مثال توضيحي:

إذا كان $ AB = 6 $ سم، فإن $ AE = EB = 3 $ سم.

ج) تحديد النقطتين F و G لتكوين مربع AEFG

لكي يكون الرباعي AEFG مربعاً، يجب أن تكون الأضلاع متساوية ($ AE = EF = FG = GA $) والزوايا قائمة. لنفترض أن الدائرة في مستوى إحداثي، حيث:

E هي منتصف [AB] (من السؤال ب).
(OI) هو المحور العمودي، وهو محور التناظر.

نختار النقطتين F و G بحيث يكون الرباعي AEFG مربعاً. لنفترض أن:

A لها إحداثيات $ (x_A, y_A) $.
B لها إحداثيات $ (x_B, y_B) $.
E هي منتصف [AB]، فإن إحداثيات E هي $ \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) $.

لتشكيل مربع، نختار F و G بحيث تكون الزوايا قائمة والأضلاع متساوية. يمكن اختيار F و G بحيث يكون المتجه $ \vec{AE} $ متعامداً مع $ \vec{EF} $، وكذلك $ \vec{EF} $ مع $ \vec{FG} $، وهكذا.

الإجابة:

نختار F و G بحيث يكون الرباعي AEFG مربعاً، وهذا يعتمد على الإحداثيات. على سبيل المثال، إذا كانت A عند $ (r, 0) $، B عند $ (-r, 0) $، E عند $ (0, 0) $، يمكن أن تكون F عند $ (0, r) $ و G عند $ (r, r) $. يجب التحقق من أن الأطوال متساوية والزوايا قائمة.

مثال توضيحي:

إذا كانت الدائرة مركزها O عند $ (0, 0) $، و A عند $ (1, 0) $، B عند $ (-1, 0) $، فإن E عند $ (0, 0) $. يمكن اختيار F عند $ (0, 1) $ و G عند $ (1, 1) $، مما يشكل مربعاً.

د) الوضعية النسبية للمستقيمين (AG) و (OI)

الإثبات:

في المربع AEFG، بما أن $ AE = EF $ والزاوية عند E قائمة، فإن المستقيم (AG) هو قطر المربع. المستقيم (OI) هو الموسط العمودي لـ [AB] ويمر عبر منتصف القطعة [AB] (النقطة E). في المربع، القطر (AG) يمر عبر مركز المربع (E في هذه الحالة)، وبالتالي فإن (AG) و (OI) يتقاطعان في E وهما متعامدان.

إذن، (AG) و (OI) متعامدان.

مثال توضيحي:

في المربع AEFG، إذا كانت A عند $ (1, 0) $، E عند $ (0, 0) $، G عند $ (1, 1) $، فإن (AG) له ميل 1، بينما (OI) (محور y) له ميل غير معرف (عمودي)، مما يؤكد التعامد.

هـ) إثبات أن النقاط O و I و E و F على استقامة واحدة

الإثبات:

لنفترض أن (OI) هو المحور العمودي لـ [AB]، و E هي منتصف [AB]. النقطة O هي مركز الدائرة، والنقطة I هي نقطة على المستقيم (OI) بحيث يكون محور التناظر. في المربع AEFG، النقطة F تقع بحيث $ \vec{EF} $ متعامدة مع $ \vec{AE} $.

للتحقق من أن O، I، E، و F على استقامة واحدة، نلاحظ أن (OI) هو خط التماثل ويمر عبر E. إذا اخترنا F بحيث تكون على امتداد (OI)، فإن النقاط تكون على نفس المستقيم. على سبيل المثال، إذا كانت O عند $ (0, -r) $، E عند $ (0, 0) $، F عند $ (0, r) $، و I على امتداد المستقيم (مثلاً عند $ (0, -2r) $)، فإن النقاط O، I، E، و F كلها تقع على المستقيم $ x = 0 $.

إذن، النقاط O، I، E، و F على استقامة واحدة.

مثال توضيحي:

إذا كانت O عند $ (0, -1) $، E عند $ (0, 0) $، F عند $ (0, 1) $، و I عند $ (0, -2) $، فإنها تقع كلها على محور y، مما يثبت أنها على استقامة واحدة.