سلسلة للفرض عدد 2 السابعة أساسي

إعداد الأستاذ : دفواراتي

التمرين رقم 1 (4 نقاط)

يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة: حدّد هذه الإجابة بوضعها في دائرة
1. نعتبر الكتابة وفقاً للنظام العشري للعدد $a$:
$a=3\times10^{5}+4\times10^{3}+2\times10^{2}+10^{0}$
إذن:
  • $a=304021$
  • $a=304201$
  • $a=342010$
2. المجموع $2^{3}+2^{3}$ يساوي:
  • $4^{2}$
  • $4^{3}$
  • $2^{6}$
3. القيمة التقريبية بالآلاف للعدد 4498 هي:
  • 3000
  • 5000
  • 4000
4. ضعف العدد $2^{21}$ يساوي:
  • $2^{42}$
  • $4^{21}$
  • $2^{22}$
5. عوض النقاط بما يناسب:
$1000^{\ldots}=10^{9}$
$2^{\ldots}=8^{9}$
$2^{5}\times2^{7}\times2=2^{\ldots}$

تصحيح التمرين رقم 1

1. العدد $a$:

$a=3\times10^{5}+4\times10^{3}+2\times10^{2}+10^{0}$
$a=300000+4000+200+1 = 304201$

الإجابة الصحيحة: $a=304201$

2. المجموع $2^{3}+2^{3}$:

$2^{3}+2^{3} = 8+8 = 16 = 4^2$

نتحقق من الخيارات: $4^2 = 16$، $4^3 = 64$، $2^6 = 64$

الإجابة الصحيحة: $4^{2}$

3. القيمة التقريبية بالآلاف:

  • للعدد 4498، ننظر إلى خانة المئات وهي 4
  • بما أن 4 < 5، نقرب للأسفل إلى 4000

الإجابة الصحيحة: 4000

4. ضعف العدد $2^{21}$:

$2 \times 2^{21} = 2^{1+21} = 2^{22}$

الإجابة الصحيحة: $2^{22}$

5. إكمال الفراغات:

  • $1000^{\ldots}=10^{9}$: $1000 = 10^3$، إذن $(10^3)^{x} = 10^9 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$
  • الجواب: $1000^{3}=10^{9}$
  • $2^{\ldots}=8^{9}$: $8 = 2^3$، إذن $2^{x} = (2^3)^9 = 2^{27} \Rightarrow x = 27$
  • الجواب: $2^{27}=8^{9}$
  • $2^{5}\times2^{7}\times2=2^{\ldots}$: $2^{5+7+1} = 2^{13}$
  • الجواب: $2^{5}\times2^{7}\times2=2^{13}$

التمرين رقم 2 (5 نقاط)

أحسب العبارات التالية:
$a=29\times5^{4}-13\times5^{4}$
$b=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0}$
$c=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3}$
$d=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4}$

تصحيح التمرين رقم 2

حساب العبارة $a$:

$a=29\times5^{4}-13\times5^{4} = 5^{4}(29-13) = 625 \times 16 = 10000$

حساب العبارة $b$:

$b=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0} = (27-25)^{4}-1\times1 = 2^{4}-1 = 16-1 = 15$

حساب العبارة $c$:

$c=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3} = (9-8)^{7}+0^{3} = 1^{7}+0 = 1+0 = 1$

حساب العبارة $d$:

$d=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4} = 27-1\times11+0 = 27-11+0 = 16$

التمرين رقم 3 (6 نقاط)

1) أحسب:
$c=2^{2}+3^{2}\times4-2^{3}$
$b=(2^{3}+5^{13})-(2^{2}+5^{13})$
2) أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة:
$100000\times10^{\ldots}=100^{5}$
$(9^{\ldots})^{3}=3^{36}$
3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للواحد:
$e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$
$d=3^{5}\times9^{15}\times27^{2}$
$f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$

تصحيح التمرين رقم 3

1) حساب العبارات:

حساب $c$:

$c=2^{2}+3^{2}\times4-2^{3} = 4+9\times4-8 = 4+36-8 = 32$

حساب $b$:

$b=(2^{3}+5^{13})-(2^{2}+5^{13}) = 2^{3}-2^{2} = 8-4 = 4$

2) إكمال الفراغات:

للمعادلة الأولى:

  • $100000 = 10^5$ و $100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}$
  • $10^5 \times 10^x = 10^{10} \Rightarrow 5+x = 10 \Rightarrow x = 5$
  • الجواب: $100000\times10^{5}=100^{5}$

للمعادلة الثانية:

  • $(9^{x})^{3} = 3^{36}$ و $9 = 3^2$
  • $(3^2)^{3x} = 3^{36} \Rightarrow 3^{6x} = 3^{36} \Rightarrow 6x = 36 \Rightarrow x = 6$
  • الجواب: $(9^{6})^{3}=3^{36}$

3) الكتابة في صيغة قوة:

للعبارة $e$:

$e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13} = 2^{13}\times(6^2)^{5}\times3^{13} = 2^{13}\times6^{10}\times3^{13}$
$= 2^{13}\times(2\times3)^{10}\times3^{13} = 2^{13}\times2^{10}\times3^{10}\times3^{13} = 2^{23}\times3^{23} = 6^{23}$

للعبارة $d$:

$d=3^{5}\times9^{15}\times27^{2} = 3^{5}\times(3^2)^{15}\times(3^3)^{2} = 3^{5}\times3^{30}\times3^{6} = 3^{41}$

للعبارة $f$:

$f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2 = 5^{2019}(27-2) = 5^{2019}\times25 = 5^{2019}\times5^2 = 5^{2021}$

التمرين رقم 4 (8 نقاط)

1) أحسب:
$A=(\sqrt{81}-2^{3})^{5}-5^{0}$
$B=10^{2}-5^{2}\times3$
$C=(3^{4}+25^{907})-(3^{3}+25^{907})$
$D=1^{2016}+2016^{1}\times0^{2016}$
$E=(3^{2}-2^{3})^{2021}\times(3^{3}-17)^{3}$
$F=2^{2}+3^{2}\times2-1^{2021}+3$
2) اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للواحد:
$H=49\times7^{3}$
$G=125^{2}\times2^{8}\times5^{2}$
$I=7^{8}+7^{7}\times6^{2}+7^{7}\times6$
$J=9\times7^{34}+39\times7^{34}+7^{34}$
$K=4^{26}+4^{26}+4^{26}+4^{26}$

تصحيح التمرين رقم 4

1) حساب العبارات:

حساب A:

$A=(\sqrt{81}-2^{3})^{5}-5^{0} = (9-8)^{5}-1 = 1^{5}-1 = 1-1 = 0$

حساب B:

$B=10^{2}-5^{2}\times3 = 100-25\times3 = 100-75 = 25$

حساب C:

$C=(3^{4}+25^{907})-(3^{3}+25^{907}) = 3^{4}-3^{3} = 81-27 = 54$

حساب D:

$D=1^{2016}+2016^{1}\times0^{2016} = 1+2016\times0 = 1+0 = 1$

حساب E:

$E=(3^{2}-2^{3})^{2021}\times(3^{3}-17)^{3} = (9-8)^{2021}\times(27-17)^{3} = 1^{2021}\times10^{3} = 1\times1000 = 1000$

حساب F:

$F=2^{2}+3^{2}\times2-1^{2021}+3 = 4+9\times2-1+3 = 4+18-1+3 = 24$

2) الكتابة في صيغة قوة:

  • $H=49\times7^{3} = 7^2\times7^3 = 7^5$
  • $G=125^{2}\times2^{8}\times5^{2} = (5^3)^2\times2^8\times5^2 = 5^6\times2^8\times5^2 = 5^8\times2^8 = 10^8$
  • $I=7^{8}+7^{7}\times6^{2}+7^{7}\times6 = 7^7(7+36+6) = 7^7\times49 = 7^7\times7^2 = 7^9$
  • $J=9\times7^{34}+39\times7^{34}+7^{34} = 7^{34}(9+39+1) = 7^{34}\times49 = 7^{34}\times7^2 = 7^{36}$
  • $K=4^{26}+4^{26}+4^{26}+4^{26} = 4\times4^{26} = 4^{27}$

التمرين رقم 5 (7 نقاط) - الهندسة

يمثل الرسم المرافق مثلثاً ABC قائم الزاوية في B حيث [BH] الارتفاع الصادر من B
رسم مثلث ABC مع الارتفاع BH
1) ارسم دائرة مركزها C وتمر من H
أ- ما هي الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم (BH)؟ علل جوابك
ب- ما هي الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم (AB)؟ علل جوابك
2) المستقيم (AC) يقطع الدائرة في نقطة ثانية D
أ- ابن المستقيم $\Delta$ المماس للدائرة في D
ب- ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و (BH)؟ علل جوابك

تصحيح التمرين رقم 5

1) الوضعية النسبية للدائرة:

رسم الدائرة: ارسم دائرة مركزها C ونصف قطرها CH (لأنها تمر من H)

أ- الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم (BH):

  • نصف قطر الدائرة = CH
  • في المثلث ABC القائم في B، [BH] هو الارتفاع على الوتر [AC]
  • إذن $(BH) \perp (AC)$
  • المسافة من C إلى المستقيم (BH) تساوي CH
  • بما أن المسافة = نصف القطر، فإن (BH) مماس للدائرة في H

ب- الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم (AB):

  • المثلث ABC قائم في B، إذن $(AB) \perp (BC)$
  • المسافة من C إلى (AB) = طول CB
  • من نظرية فيثاغورس في المثلث BHC: $BC^2 = BH^2 + CH^2$
  • إذن $BC > CH$ (المسافة أكبر من نصف القطر)
  • بالتالي، المستقيم (AB) خارجي بالنسبة للدائرة

2) المماس والوضعية النسبية:

أ- إنشاء المماس $\Delta$ في D:

  • D نقطة على الدائرة (تقاطع ثاني مع AC)
  • المماس $\Delta$ في D يكون عمودياً على الشعاع CD
  • ارسم مستقيماً يمر بـ D ويكون عمودياً على CD

ب- الوضعية النسبية بين $\Delta$ و (BH):

  • $\Delta \perp (CD)$ (المماس عمودي على الشعاع)
  • $(BH) \perp (AC)$ (الارتفاع)
  • بما أن D على (AC)، فإن (CD) جزء من (AC)
  • إذن $\Delta \perp (AC)$ و $(BH) \perp (AC)$
  • بالتالي، المستقيمان $\Delta$ و (BH) متوازيان