تمارين مع الحلول

إعداد الأستاذ : دفواراتي

التمرين رقم 1 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية

$(4\times5)^{3}\times125$ هو مساحة

12
185
$20^{3}$
65

$\varsigma gi\omega(11\times11^{0})^{2}+4^{3}\delta_{j}i\omega ji(i$ المربع قيس طول ضلعه يساوي

$10^{6}$
$10^{3}$

ج) إذا كان شعاع دائرة يساوي 5 5cm و بعد مركزها عن مستقيم 10cm فإنّ الدائرة والمستقيم

منفصلان
متقاطعان
متماسان

د) العبارة $4^{2}+4^{2}+4^{2}+4^{2}$ تساوي

$2^{8}$
$12^{3}$
$4^{12}$

تصحيح التمرين رقم 1

نتيجة $ (4\times5)^{3}\times125 $:

$(4\times5)^{3}\times125 = (20)^3 \times 5^3$
$= (4 \times 5)^3 \times 5^3$
$= 4^3 \times 5^3 \times 5^3$
$= 4^3 \times 5^6$
$= (2^2)^3 \times 5^6 = 2^6 \times 5^6 = (2 \times 5)^6 = 10^6$
أو $(20)^3 \times 125 = 8000 \times 125 = 1000000 = 10^6$
الخيار الأقرب هو $20^3$ أو $10^6$. إذا كانت "مساحة المربع قيس طول ضلعه يساوي" مرتبطة بهذه العبارة، فهي غير واضحة.
إذا كانت العبارة هي الإجابة عن مساحة المربع، فالجواب هو $10^6$.

نتيجة $ (11\times11^{0})^{2}+4^{3} $:

$(11\times11^{0})^{2}+4^{3} = (11\times1)^{2}+64$
$= (11)^{2}+64$
$= 121+64$
$= 185$
الجواب الصحيح: 185

وضعية الدائرة والمستقيم:

شعاع الدائرة $R = 5$ cm.
بعد مركزها عن المستقيم $d = 10$ cm.
بما أن $d > R$ (10 > 5)، فإن الدائرة والمستقيم منفصلان.
الجواب الصحيح: منفصلان

العبارة $4^{2}+4^{2}+4^{2}+4^{2}$:

$4^{2}+4^{2}+4^{2}+4^{2} = 4 \times 4^2$
$= 4^1 \times 4^2$
$= 4^{1+2}$
$= 4^3$
أو $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$.
لكن من الخيارات، $4^3$ ليست موجودة، والجواب يجب أن يكون $2^8$.
لنعيد الحساب بناء على الخيارات:
$4^2+4^2+4^2+4^2 = 16+16+16+16 = 64$.
من الخيارات:
$2^8 = 256$
$12^3 = 1728$
$4^{12}$ قيمة كبيرة جداً.
هناك خطأ في الخيارات المقدمة للسؤال. إذا كانت الإجابات هي $2^6, 4^3, \dots$ لكان الأمر منطقيًا.
إذا كان السؤال يطلب $2^X$, فالجواب هو $2^6$. ولكن 6 ليست من الخيارات.
ملاحظة: يبدو أن السؤال أو الخيارات غير متوافقة. الإجابة الصحيحة للعبارة هي 64. لا يوجد خيار 64 أو ما يكافئه من القوى المعروضة.

التمرين رقم 2

1) أحسب:

$b=(4^{3}+5^{14})-(2^{5}+25^{7})$

$c=2^{2}+3^{2}\times\sqrt{16}-2^{3}$

$a=(15^{2}\times8-2^{2})^{0}\times(11^{2}+1^{99})$

2) أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة :

$100000\times10^{\cdot\cdot\cdot}=100^{5}$

$(9^{...})^{3}=3^{36}$

3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

$e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$

$g=(11^{2}\times5-4^{3})+(64+20^{2}-5)$

$f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$

$d=3^{5}\times\sqrt{81}^{15}\times27^{2}$

$i=25^{2}\times8^{3}\times5^{5}$

$h=2^{12}\times\sqrt{196}+4^{6}\times50$

تصحيح التمرين رقم 2

1) حساب العبارات:

حساب $b=(4^{3}+5^{14})-(2^{5}+25^{7})$:
لا يمكن حساب هذه العبارة بشكل مبسط أو إعطاء قيمة عددية دون آلة حاسبة، وذلك بسبب القوى الكبيرة للأعداد 5 و 25. العبارة تبدو كمسألة لتبسيط القوى وليس للحساب النهائي.
ملاحظة: تبسيطها كقوى:
$b=(4^3+5^{14})-(2^5+(5^2)^7)$
$b=(64+5^{14})-(32+5^{14})$
$b=64+5^{14}-32-5^{14}$
$b=64-32$
$b=32$
هذا التبسيط يعتمد على أن الأقواس تُرفع، وهو صحيح هنا.
حساب $c=2^{2}+3^{2}\times\sqrt{16}-2^{3}$:
$c=4+9\times4-8$
$c=4+36-8$
$c=40-8$
$c=32$
حساب $a=(15^{2}\times8-2^{2})^{0}\times(11^{2}+1^{99})$:
أي عدد غير صفري مرفوع للقوة 0 يساوي 1. بما أن $15^2 \times 8 - 2^2$ ليس صفرًا:
$a=1\times(121+1)$
$a=1\times122$
$a=122$

2) إكمال الفراغات:

لـ $100000\times10^{\cdot\cdot\cdot}=100^{5}$:
$100000 = 10^5$
$100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}$
إذن: $10^5 \times 10^X = 10^{10}$
$10^{5+X} = 10^{10}$
$5+X=10 \implies X=5$
الجواب: $100000\times10^{5}=100^{5}$
لـ $(9^{...})^{3}=3^{36}$:
$( (3^2)^{X} )^3 = 3^{36}$
$(3^{2X})^3 = 3^{36}$
$3^{6X} = 3^{36}$
$6X=36 \implies X=6$
الجواب: $(9^{6})^{3}=3^{36}$

3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

لـ $e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$:
$e=2^{13}\times(6^2)^5\times3^{13}$
$e=2^{13}\times6^{10}\times3^{13}$
$e=2^{13}\times(2\times3)^{10}\times3^{13}$
$e=2^{13}\times2^{10}\times3^{10}\times3^{13}$
$e=2^{13+10}\times3^{10+13}$
$e=2^{23}\times3^{23}$
$e=(2\times3)^{23}$
$e=6^{23}$
لـ $g=(11^{2}\times5-4^{3})+(64+20^{2}-5)$:
$g=(121\times5-64)+(64+400-5)$
$g=(605-64)+(464-5)$
$g=541+459$
$g=1000$
$g=10^3$
لـ $f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$:
$f=5^{2019}\times(3^3-2)$
$f=5^{2019}\times(27-2)$
$f=5^{2019}\times25$
$f=5^{2019}\times5^2$
$f=5^{2019+2}$
$f=5^{2021}$
لـ $d=3^{5}\times\sqrt{81}^{15}\times27^{2}$:
$d=3^{5}\times9^{15}\times(3^3)^2$
$d=3^{5}\times(3^2)^{15}\times3^6$
$d=3^{5}\times3^{30}\times3^6$
$d=3^{5+30+6}$
$d=3^{41}$
لـ $i=25^{2}\times8^{3}\times5^{5}$:
$i=(5^2)^2\times(2^3)^3\times5^5$
$i=5^4\times2^9\times5^5$
$i=5^{4+5}\times2^9$
$i=5^9\times2^9$
$i=(5\times2)^9$
$i=10^9$
لـ $h=2^{12}\times\sqrt{196}+4^{6}\times50$:
$h=2^{12}\times14+(2^2)^6\times(2\times25)$
$h=2^{12}\times(2\times7)+2^{12}\times2\times5^2$
$h=2^{13}\times7+2^{13}\times5^2$
$h=2^{13}\times(7+25)$
$h=2^{13}\times32$
$h=2^{13}\times2^5$
$h=2^{13+5}$
$h=2^{18}$

التمرين رقم 3 (جزء من PDF)

1) ارسم دائرة C مركزها O و شعاعها 4cm وعين عليها نقطتين A و B بحيث $(OA) \perp (OB)$

2) أ- ابن المستقيم $\Delta$ المماس للدائرة في A

ب) بين ان $\Delta//(OB)$

3) أ- عين نقطتين E و F على $\Delta$ بحيث A منتصف $[EF]$

ب) بين ان $OE=OF$

4) أ- ارسم دائرة قطرها [OB] و سم مركزها I

ب) ما هي الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}'$ والمستقيم $\Delta$

تصحيح التمرين رقم 3 (الجزء الأول)

1) رسم الدائرة وتعيين النقاط:

ارسم نقطة O كمركز.
باستخدام الفرجار، ارسم دائرة نصف قطرها 4cm حول O.
عين نقطة A على الدائرة.
ارسم شعاع OA.
ارسم مستقيم عمودي على OA يمر بـ O ليقطع الدائرة في B (أو استخدم المنقلة لزاوية 90 درجة عند O).

2) أ- إنشاء المماس $\Delta$:

المماس للدائرة في نقطة هو مستقيم عمودي على الشعاع عند تلك النقطة.
لإنشاء $\Delta$: ارسم مستقيمًا يمر بالنقطة A ويكون عموديًا على الشعاع OA.

2) ب) بين أن $\Delta//(OB)$:

لدينا $\Delta \perp (OA)$ (بناءً على تعريف المماس).
ولدينا $(OB) \perp (OA)$ (معطى في السؤال 1).
إذا كان مستقيمان ( $\Delta$ و $(OB)$ ) عموديين على نفس المستقيم (OA)، فإنهما متوازيان.
إذن $\Delta//(OB)$.

3) أ- تعيين E و F على $\Delta$ بحيث A منتصف $[EF]$:

على المستقيم $\Delta$، حدد نقطة E.
قم بقياس المسافة AE.
حدد نقطة F على $\Delta$ بحيث تكون A هي النقطة الوسطى للقطعة [EF]، أي أن $AF = AE$ وتكون F في الاتجاه المعاكس لـ E بالنسبة لـ A.

3) ب) بين أن $OE=OF$:

في المثلث $OEF$:
OA هو ارتفاع (لأن $(OA) \perp \Delta$ والمستقيم $\Delta$ يمر بـ E و F).
A هي منتصف [EF] (معطى).
في المثلث الذي يكون فيه الارتفاع متوسطًا (من الرأس A إلى القاعدة EF)، فإن المثلث يكون متساوي الساقين.
إذن، المثلث OEF هو مثلث متساوي الساقين في O.
وبالتالي، $OE=OF$.

4) أ- رسم دائرة قطرها [OB] وتسمية مركزها I:

بما أن [OB] هو قطر الدائرة $\mathcal{C}'$، فإن مركزها I هو منتصف [OB].
نصف قطر الدائرة $\mathcal{C}'$ هو $R' = OB/2$. بما أن $OB=4cm$ (نصف قطر الدائرة C)، فإن $R' = 4/2 = 2cm$.
لإنشاء الدائرة $\mathcal{C}'$: حدد منتصف [OB] كمركز I، ثم ارسم دائرة بنصف قطر 2cm.

4) ب) ما هي الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}'$ والمستقيم $\Delta$:

مركز الدائرة $\mathcal{C}'$ هو I، ونصف قطرها $R'=2cm$.
المسافة من المركز I إلى المستقيم $\Delta$ هي طول القطعة العمودية من I إلى $\Delta$.
بما أن $\Delta // (OB)$ (من 2-ب)، فإن المسافة من أي نقطة على $\Delta$ إلى $(OB)$ هي نفسها.
بما أن I هي منتصف [OB]، فإن $OI = OB/2 = 4/2 = 2cm$.
والمستقيم $\Delta$ يمر بالنقطة A، و $(OA) \perp \Delta$.
المسافة من I إلى $\Delta$ هي طول الإسقاط العمودي لـ I على $\Delta$.
بما أن $(OA) \perp \Delta$ و I على $(OB)$ الذي يوازي $\Delta$.
المسافة من I إلى $\Delta$ ستكون مساوية لـ $AI'$ حيث $I'$ هي إسقاط I على $OA$.
المسافة من I إلى $\Delta$ تساوي $OA - OI \cos(A O I)$, ce n'est pas simple.
بما أن $(OB)$ يوازي $\Delta$ و I تقع على $(OB)$، فإن المسافة من I إلى $\Delta$ هي المسافة بين المستقيمين المتوازيين.
هذه المسافة هي نفسها المسافة بين A (على $\Delta$) و المستقيم $(OB)$.
في المثلث القائم OAB (قائم في O)، المسافة من A إلى $(OB)$ هي طول الشعاع OA = 4cm.
إذا كانت المسافة من I إلى $\Delta$ هي $OA = 4cm$.
بما أن المسافة (4cm) أكبر من نصف القطر (2cm)، فإن الدائرة $\mathcal{C}'$ والمستقيم $\Delta$ منفصلان.

التمرين رقم 3 (زاوية ودائرة)

زاوية $xOy=110^{\circ}$ و $(\mathcal{C})$ دائرة مركزها O و شعاعها 3cm تقطع $(Ox]$ في A و $(Oy]$ في B

تصحيح التمرين رقم 3 (زاوية ودائرة)

تحليل المعطيات:

لدينا زاوية $xOy$ قياسها $110^{\circ}$.
لدينا دائرة $(\mathcal{C})$ مركزها O وشعاعها $3cm$.
الدائرة تقطع نصف المستقيم $(Ox]$ في A ونصف المستقيم $(Oy]$ في B.
هذا يعني أن $OA = OB = 3cm$ (لأنهما شعاعا الدائرة).
المثلث OAB هو مثلث متساوي الساقين (لأن $OA=OB=R$).
زاوية الرأس O في هذا المثلث هي $\hat{AOB} = 110^{\circ}$.
يمكننا حساب زاويتي القاعدة: $\hat{OAB} = \hat{OBA} = (180^{\circ} - 110^{\circ}) / 2 = 70^{\circ} / 2 = 35^{\circ}$.