تصحيح التمرين رقم 1

العبارات والنتائج:

• \[ 4^{3} \times 4^{5} = 4^{3+5} = 4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} \]

  ملاحظة: لا يوجد تطابق مباشر مع الخيارات المعطاة (109, 1015, 1012). يبدو أن الخيارات خاطئة أو السؤال يطلب مطابقة مع قوى للعدد 10.

  إذا كانت الأعداد المقصودة هي قوى للعدد 10:

  • \( 2^{5} \times 2^{4} = 2^{9} \)
  • \( 2^{9} \times 2^{9} = 2^{18} \)
  • \( 4^{3} \times 4^{5} = 4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} \)

  الأرقام 109, 1015, 1012 لا تتوافق مع هذه النتائج. قد يكون هناك خطأ في السؤال الأصلي.

تعريف الزوايا:

• زاويتان متتامتان: مجموعهما 90 درجة.
• زاويتان متكاملتان: مجموعهما 180 درجة.
• زاويتان متقايستان: لهما نفس القياس.

العدد 270 يساوي:

• \[ 10^{3} + 10^{2} + 10^{1} = 1000 + 100 + 10 = 1110 \]
• \[ 10^{4} + 10^{2} + 10^{1} = 10000 + 100 + 10 = 10110 \]
• \[ 10^{3} + 10^{2} + 10^{0} = 1000 + 100 + 1 = 1101 \]

الخيارات المقدمة لا تتطابق مباشرة مع "العدد 270 يساوي" أو "العدد 93 يساوي" أو "العدد 27 يساوي". هناك خلط بين العبارات الرقمية والنتائج.

270: لا يوجد تعبير مباشر من القوى للعدد 10.

93: لا يوجد تعبير مباشر من القوى للعدد 10.

27: لا يوجد تعبير مباشر من القوى للعدد 10.

تصحيح التمرين رقم 2

حساب العبارة \( b \):

• \[ b = (3^{3} - 5^{2})^{4} - 1^{15} \times 26^{0} \] \[ b = (27 - 25)^{4} - 1 \times 1 \] \[ b = (2)^{4} - 1 \] \[ b = 16 - 1 \] \[ b = 15 \]

حساب العبارة \( d \):

• \[ d = 3^{3} - 10^{0} \times 11 + 5^{16} \times 0^{4} \] \[ d = 27 - 1 \times 11 + 5^{16} \times 0 \] \[ d = 27 - 11 + 0 \] \[ d = 16 \]

حساب العبارة \( a \):

• \[ a = 29 \times 5^{4} - 13 \times 5^{4} \] \[ a = 5^{4} \times (29 - 13) \] \[ a = 625 \times 16 \] \[ a = 10000 \]

حساب العبارة \( c \):

• \[ c = (3^{2} - \sqrt{64})^{7} + (7^{5} \times 0)^{3} \] \[ c = (9 - 8)^{7} + (0)^{3} \] \[ c = (1)^{7} + 0 \] \[ c = 1 + 0 \] \[ c = 1 \]

تصحيح التمرين رقم 3 (الجزء الأول)

(1) تعويض النقاط:

• \[ 5^{2} \times 5^{4} \times 27^{2} = 5^{2+4} \times (3^{3})^{2} \] \[ = 5^{6} \times 3^{6} \] \[ = (5 \times 3)^{6} \] \[ = 15^{6} \]

  إذن: \( 5^{2} \times 5^{4} \times 27^{2} = 15^{6} \)

• \[ 3^{5} \times 7^{\dots} = 3^{\dots} \times 21^{3} \]

  لدينا \( 21^{3} = (3 \times 7)^{3} = 3^{3} \times 7^{3} \).

  إذن \( 3^{5} \times 7^{X} = 3^{Y} \times 3^{3} \times 7^{3} \).

  بمقارنة القوى:

  لقوى 7: \( X = 3 \).

  لقوى 3: \( 5 = Y + 3 \implies Y = 2 \).

  إذن: \( 3^{5} \times 7^{3} = 3^{2} \times 21^{3} \)

(2) الكتابة في صيغة قوة:

• لـ \( J = 125 \times 20^{3} \times 100^{13} \):

  \[ J = 5^{3} \times (2^{2} \times 5)^{3} \times (10^{2})^{13} \] \[ J = 5^{3} \times 2^{6} \times 5^{3} \times 10^{26} \] \[ J = 5^{3+3} \times 2^{6} \times (2 \times 5)^{26} \] \[ J = 5^{6} \times 2^{6} \times 2^{26} \times 5^{26} \] \[ J = (5 \times 2)^{6} \times 2^{26} \times 5^{26} \] \[ J = 10^{6} \times 2^{26} \times 5^{26} \] \[ J = 10^{6} \times (2 \times 5)^{26} \] \[ J = 10^{6} \times 10^{26} \] \[ J = 10^{32} \]

• لـ \( I = 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} \):

  \[ I = 4 \times 2^{3} \] \[ I = 2^{2} \times 2^{3} \] \[ I = 2^{2+3} \] \[ I = 2^{5} \]

تصحيح التمرين رقم 3 (الجزء الثاني)

(1) (أ) بين أنّ المستقيم (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC]:

• في المثلث ABC متقايس الضلعين، قمته الرئيسية A.
• I منتصف [BC].
• في مثلث متقايس الضلعين، المستقيم الذي يربط الرأس الرئيسي بمنتصف القاعدة هو أيضاً ارتفاع ومتوسط ومنصف زاوية ومحور تناظر.
• لذلك، المستقيم (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].

(1) (ب) استنتج بعد النقطة A عن المستقيم (BC) معللا جوابك:

• بما أن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC]، فإن (AI) عمودي على (BC).
• وبالتالي، طول AI يمثل المسافة العمودية من A إلى المستقيم (BC).
• معطى أن \( AI = 6 \, \text{cm} \).
• إذن، بعد النقطة A عن المستقيم (BC) هو 6 cm.

(2) (أ) ابن المستقيم \( \Delta \) العمودي على (AI) والمار من A:

• لإنشاء المستقيم \( \Delta \): ارسم خطًا يمر بالنقطة A ويكون عموديًا على المستقيم (AI).

(2) (ب) ما هو البعد بين المستقيمين \( \Delta \) و (BC)؟ علل جوابك:

• لدينا \( (AI) \perp (BC) \) (من 1-أ).
• لدينا \( \Delta \perp (AI) \) (من 2-أ).
• إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم (AI)، فإنهما متوازيان.
• إذن \( \Delta \parallel (BC) \).
• المسافة بين مستقيمين متوازيين هي طول القطعة العمودية المشتركة بينهما.
• القطعة (AI) هي عمودية على كل من \( \Delta \) و (BC).
• إذن، البعد بين المستقيمين \( \Delta \) و (BC) هو طول القطعة AI.
• البعد هو 6 cm.

(3) (أ) عين النقطة O من القطعة \([AI]\) حيث \( OI = 2 \, \text{cm} \):

• على القطعة AI (التي طولها 6 cm)، ضع النقطة O بحيث تكون على بعد 2 cm من I.
• ثم ابن الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها O وشعاعها \( 2 \, \text{cm} \).

(3) (ب) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (BC) والدائرة \((\mathcal{C})\)؟ علل جوابك:

• مركز الدائرة \((\mathcal{C})\) هو O ونصف قطرها هو \( R = 2 \, \text{cm} \).
• المسافة من المركز O إلى المستقيم (BC) هي طول القطعة العمودية من O إلى (BC).
• بما أن (AI) عمودي على (BC) (من 1-أ)، فإن (OI) هي المسافة العمودية من O إلى (BC).
• معطى أن \( OI = 2 \, \text{cm} \).
• بما أن المسافة (2 cm) تساوي نصف القطر (2 cm)، فإن المستقيم (BC) مماس للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة I.

(4) (أ) حدد بعد النقطة O عن A معللا جوابك:

• لدينا \( AI = 6 \, \text{cm} \) و \( OI = 2 \, \text{cm} \).
• النقطة O تقع على القطعة \([AI]\).
• إذن \( AO = AI - OI \).
• \( AO = 6 - 2 = 4 \, \text{cm} \).
• بعد النقطة O عن A هو 4 cm.

(4) (ب) استنتج الوضعية النسبية للدائرة \((\mathcal{C})\) والمستقيم \( \Delta \)? علل جوابك:

• مركز الدائرة \((\mathcal{C})\) هو O ونصف قطرها \( R = 2 \, \text{cm} \).
• المسافة من المركز O إلى المستقيم \( \Delta \) هي طول القطعة العمودية من O إلى \( \Delta \).
• بما أن \( \Delta \perp (AI) \) (من 2-أ)، فإن (AO) هي المسافة العمودية من O إلى \( \Delta \).
• لقد حسبنا \( AO = 4 \, \text{cm} \).
• لنقارن المسافة (4 cm) بنصف القطر (2 cm).
• بما أن المسافة (4 cm) أكبر من نصف القطر (2 cm)، فإن المستقيم \( \Delta \) يقع خارج الدائرة \((\mathcal{C})\).

(5) قطعة المستقيم [AI] تقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \( M \):

• نصف قطر الدائرة \((\mathcal{C})\) هو 2 cm ومركزها O.
• O تبعد عن I بـ 2 cm (نصف القطر)، لذا I هي نقطة على الدائرة.
• O تبعد عن A بـ 4 cm.
• لذا، قطعة المستقيم [AI] تقطع الدائرة في نقطتين. النقطة الأولى هي I. النقطة الثانية M هي على نفس الخط AOI.
• المسافة من O إلى M هي نصف القطر 2 cm.
• بما أن O هي بين A و I، والقطعة [AI] طولها 6 cm، و \( OI = 2 \, \text{cm} \).
• فالنقطة M هي النقطة التي تبعد عن O بـ 2 cm باتجاه A.
• إذن \( OM = 2 \, \text{cm} \). وبما أن \( AO = 4 \, \text{cm} \)، فإن M هي نقطة على القطعة [AO].
• M تقع على الدائرة وتوجد على الخط AI.

(5) (أ) ابن المستقيم المماس للدائرة \((\mathcal{C})\) في \( M \):

• لإنشاء المماس للدائرة \((\mathcal{C})\) في \( M \): ارسم خطًا يمر بالنقطة \( M \) ويكون عموديًا على الشعاع \( OM \).

(5) (ب) بين أن المماس موازي لـ \( \Delta \):

• المماس في M عمودي على (OM).
• بما أن O و M و A و I كلها على نفس الخط المستقيم (AI)، فإن (OM) هو جزء من المستقيم (AI).
• إذن المماس في M عمودي على (AI).
• لقد أثبتنا في (2-أ) أن المستقيم \( \Delta \) عمودي على (AI).
• بما أن المماس في M والمستقيم \( \Delta \) كلاهما عموديان على نفس المستقيم (AI)، فإنهما متوازيان.