فرض مراقبة عدد 2 السابعة أساسي

إعداد الأستاذ : دفواراتي

التمرين رقم 1

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية
1. نتيجة العبارة $27^{2}\times3^{4}$ تساوي:
  • $3^{6}$
  • $9^{8}$
  • $3^{10}$
2. نتيجة العبارة $1^{3}+2^{3}+3^{3}$ تساوي:
  • $5^{3}$
  • $6^{3}$
  • 12
  • 15
  • 36
3. ABCD شبه منحرف قائم في A و D، بحيث AD = 4cm، DC = 6cm، AB = 3cm، BC = 5cm
مساحة المثلث BCD بـ $\text{cm}^{2}$ تساوي:
  • 12
  • 15
  • 18
4. العدد 17 مليون كيلومتر يساوي بالمتر:
  • $17\times10^{10}$
  • $17\times10^{9}$
  • $17\times10^{6}$
5. مربع مساحته $36\text{cm}^{2}$ إذن طول ضلعه يساوي:
  • 18cm
  • 9cm
  • 6cm

تصحيح التمرين رقم 1

1. نتيجة العبارة $27^{2}\times3^{4}$:

$27^{2}\times3^{4} = (3^3)^2\times3^4 = 3^{3\times2}\times3^4 = 3^6\times3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$

الإجابة الصحيحة: $3^{10}$

2. نتيجة العبارة $1^{3}+2^{3}+3^{3}$:

$1^{3}+2^{3}+3^{3} = 1 + 8 + 27 = 36$

للتحقق من الخيارات: $5^3 = 125$، $6^3 = 216$

الإجابة الصحيحة: 36

3. مساحة المثلث BCD:

في شبه المنحرف ABCD القائم في A و D:

  • نرسم ارتفاعاً من B إلى CD، نسميه BH
  • الشكل ABHD هو مستطيل، لذا $DH = AB = 3\text{cm}$
  • إذن $HC = DC - DH = 6 - 3 = 3\text{cm}$
  • في المثلث القائم BHC: $BH^2 + HC^2 = BC^2$ (نظرية فيثاغورس)
  • $BH^2 + 3^2 = 5^2$
  • $BH^2 = 25 - 9 = 16$
  • $BH = 4\text{cm}$
مساحة المثلث BCD = $\frac{1}{2} \times CD \times BH = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\text{cm}^2$

الإجابة الصحيحة: 12

4. العدد 17 مليون كيلومتر بالمتر:

  • 1 مليون = $10^6$
  • 1 كيلومتر = $10^3$ متر
  • 17 مليون كيلومتر = $17 \times 10^6$ كيلومتر
  • $= 17 \times 10^6 \times 10^3$ متر
  • $= 17 \times 10^{6+3}$ متر
  • $= 17 \times 10^9$ متر

الإجابة الصحيحة: $17\times10^{9}$

5. طول ضلع المربع:

مساحة المربع = $(\text{طول الضلع})^2 = 36\text{cm}^2$
طول الضلع = $\sqrt{36} = 6\text{cm}$

الإجابة الصحيحة: 6cm

التمرين رقم 2

أرض مستطيلة الشكل بعداها بالمتر $3^2$ و $2^3$
أ/ أكتب مساحة المستطيل في صيغة قوة للعدد 6.
ب/ أوجد بالمتر طول ضلع أرض مربعة الشكل لها نفس مساحة المستطيل.

تصحيح التمرين رقم 2

أ/ مساحة المستطيل في صيغة قوة للعدد 6:

  • أبعاد المستطيل: $3^2 = 9\text{m}$ و $2^3 = 8\text{m}$
  • مساحة المستطيل = $3^2 \times 2^3 = 9 \times 8 = 72\text{m}^2$
  • نحتاج كتابة 72 في صيغة قوة للعدد 6:
  • $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
  • $72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2$
ملاحظة: 72 لا يمكن كتابتها كقوة بسيطة للعدد 6. ربما كان السؤال الأصلي مختلفاً. إذا كانت الأبعاد $6 \times 6 = 36 = 6^2$، فستكون النتيجة قوة للعدد 6.

ب/ طول ضلع المربع المكافئ:

مساحة المربع = مساحة المستطيل = 72\text{m}^2
طول ضلع المربع = $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\text{m}$

الإجابة: $6\sqrt{2}$ متر

التمرين رقم 3

1) أحسب العبارات التالية:
$B=4\times(1+2)^{2}+(2^{3})^{2}\times3+7$
$C=6+28^{0}\times5^{2}-(7\times4-3^{3})^{10}$
$E=16\times(2^{3})^{5}$
2) اكتب في صورة قوة لعدد صحيح طبيعي:
$D=5^{5}\times25$
$25^{5}\times(2^{5})^{2}$
$3^{2}\times(5^{3})^{2}\times(3^{2})^{2}$
3) أكمل الفراغات التالية بما يناسب:
$F=(8\times5)^{2}\times5^{4} = \ldots$
$81\times49^{2} = \ldots$
$3\times10^{\ldots}<365<\ldots\times10^{\ldots}$
$32\times125^{2}\times2=10^{\ldots}$

تصحيح التمرين رقم 3

1) حساب العبارات:

حساب B:

$B=4\times(1+2)^{2}+(2^{3})^{2}\times3+7$ $=4\times3^{2}+8^{2}\times3+7$ $=4\times9+64\times3+7$ $=36+192+7=235$

حساب C:

$C=6+28^{0}\times5^{2}-(7\times4-3^{3})^{10}$ $=6+1\times25-(28-27)^{10}$ $=6+25-1^{10}$ $=31-1=30$

حساب E:

$E=16\times(2^{3})^{5}=2^4\times2^{15}=2^{19}$

2) الكتابة في صورة قوة:

  • $D=5^{5}\times25=5^{5}\times5^2=5^7$
  • $25^{5}\times(2^{5})^{2}=(5^2)^5\times2^{10}=5^{10}\times2^{10}=(5\times2)^{10}=10^{10}$
  • $3^{2}\times(5^{3})^{2}\times(3^{2})^{2}=3^2\times5^6\times3^4=3^6\times5^6=(3\times5)^6=15^6$

3) إكمال الفراغات:

  • $F=(8\times5)^{2}\times5^{4}=40^2\times5^4=(2^3\times5)^2\times5^4=2^6\times5^2\times5^4=2^6\times5^6=10^6$
  • $81\times49^{2}=3^4\times(7^2)^2=3^4\times7^4=(3\times7)^4=21^4$
  • $3\times10^{2}<365<4\times10^{2}$ (أي $300<365<400$)
  • $32\times125^{2}\times2=2^5\times(5^3)^2\times2^1=2^6\times5^6=10^6$

التمرين رقم 4

1) أ) بين أن العدد $a=3^{4}\times5^{4}\times(2^{4}\times3-8)^{2}=40^{2}\times15^{4}$
ب) استنتج أن $a=81\times10^{6}$
2) أ) بين أن $b=3^{6}\times10^{7}-9\times30^{6}=30^{6}$
ب) استنتج أن $b-a=648\times10^{6}$

تصحيح التمرين رقم 4

1) أ) إثبات أن $a=40^{2}\times15^{4}$:

  • نحسب ما بداخل القوس: $(2^{4}\times3-8) = (16\times3-8) = (48-8) = 40$
  • إذن $a = 3^4 \times 5^4 \times (40)^2$
  • نعلم أن $3^4 \times 5^4 = (3 \times 5)^4 = 15^4$
  • إذن $a = 15^4 \times 40^2 = 40^2 \times 15^4$ ✓

1) ب) استنتاج أن $a=81\times10^{6}$:

$a = 40^2 \times 15^4$ $= (4 \times 10)^2 \times (3 \times 5)^4$ $= 16 \times 10^2 \times 3^4 \times 5^4$ $= 16 \times 100 \times 81 \times 625$
$= 16 \times 625 \times 81 \times 100$ $= 10000 \times 81 \times 100$ $= 81 \times 10^6$ ✓

2) أ) إثبات أن $b=30^{6}$:

$b = 3^{6}\times10^{7}-9\times30^{6}$ $= 3^6 \times 10^7 - 9 \times (3 \times 10)^6$ $= 3^6 \times 10^7 - 9 \times 3^6 \times 10^6$
$= 3^6 \times 10^6 \times (10 - 9)$ $= 3^6 \times 10^6 \times 1$ $= (3 \times 10)^6 = 30^6$ ✓

2) ب) استنتاج أن $b-a=648\times10^{6}$:

$b = 30^6 = (3 \times 10)^6 = 3^6 \times 10^6 = 729 \times 10^6$
$a = 81 \times 10^6$
$b - a = 729 \times 10^6 - 81 \times 10^6 = (729 - 81) \times 10^6 = 648 \times 10^6$ ✓

التمرين رقم 5 (الهندسة)

(وحدة قياس الطول هي السنتيمتر)
في الرسم المرافق $\hat{BAF}=35°$ و $\hat{DAC}=55°$ و $(BE) \parallel (AC)$
$EB=2$ و $AB=3$
أ - بين أن المستقيمين (AB) و (AC) متعامدان
ب - استنتج أنّ المستقيمين (AB) و (BE) متعامدان
ج - حدد بعد النقطة E عن المستقيم (AC). علل جوابك
د - لتكن دائرة $\mathcal{C}$ مركزها E وتمر من B
1) ما هي الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم (AC)؟ علل جوابك
2) ما هي الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم (AB)؟ علل جوابك
هـ - أكمل بما يناسب:
أ- الزاويتان DAC و BAF هما ................
ب - الزاويتان DAC و ............ متجاورتان ومتكاملتان

تصحيح التمرين رقم 5

أ - إثبات أن (AB) ⊥ (AC):

  • النقاط F, A, D على خط مستقيم واحد
  • $\hat{FAD} = 180°$ (زاوية مستقيمة)
  • $\hat{FAD} = \hat{BAF} + \hat{BAC} + \hat{CAD}$
  • $180° = 35° + \hat{BAC} + 55°$
  • $\hat{BAC} = 180° - 35° - 55° = 90°$
  • إذن $(AB) \perp (AC)$ ✓

ب - استنتاج أن (AB) ⊥ (BE):

  • نعلم أن $(BE) \parallel (AC)$
  • أثبتنا أن $(AB) \perp (AC)$
  • إذا كان مستقيم عموديًا على أحد مستقيمين متوازيين، فإنه عمودي على الآخر
  • إذن $(AB) \perp (BE)$ ✓

ج - بعد النقطة E عن المستقيم (AC):

  • بما أن $(BE) \parallel (AC)$، فالمسافة بين (BE) و (AC) ثابتة
  • $(AB) \perp (AC)$ و $(AB) \perp (BE)$
  • المسافة من E إلى (AC) = المسافة من B إلى (AC) = AB = 3cm

الجواب: بعد E عن (AC) = 3cm

د - الوضعية النسبية للدائرة والمستقيمات:

1) الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم (AC):

  • نصف قطر الدائرة = EB = 2cm
  • المسافة من المركز E إلى (AC) = 3cm
  • بما أن المسافة (3cm) > نصف القطر (2cm)
  • النتيجة: المستقيم (AC) خارج الدائرة

2) الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم (AB):

  • المسافة من المركز E إلى (AB) = EB = 2cm
  • نصف قطر الدائرة = 2cm
  • بما أن المسافة = نصف القطر
  • النتيجة: المستقيم (AB) مماس للدائرة في B

هـ - إكمال العبارات:

  • أ- الزاويتان DAC و BAF هما زاويتان متجاورتان ومتتاميتان (مجموعهما 90°)
  • ب- الزاويتان DAC و CAF متجاورتان ومتكاملتان (مجموعهما 180°)