فرض مراقبة مع الحلول

إعداد الأستاذ : دفواراتي

التمرين رقم 1 (4 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:

1. نتيجة العبارة $27^{2}\times3^{4}$ تساوي:

$3^{10}$
$6^{3}$
$3^{6}$
$5^{3}$
$9^{8}$

2. نتيجة العبارة $1^{3}+2^{3}+3^{3}$ تساوي:

3. شبه منحرف ABCD قائم في A و D مع الأبعاد المعطاة: رسم شبه منحرف ABCD

مساحة المثلث BCD بالـ $\text{cm}^{2}$ تساوي:

4. العدد 17 مليون كيلومتر يساوي بالمتر:

$17\times10^{10}$
$17\times10^{9}$
$17\times10^{6}$

5. مربع مساحته $36\text{cm}^{2}$ إذن طول ضلعه يساوي:

18cm
9cm
6cm

تصحيح التمرين رقم 1

1. نتيجة العبارة $27^{2}\times3^{4}$:

$27^{2}\times3^{4} = (3^3)^2\times3^4 = 3^{3\times2}\times3^4 = 3^6\times3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$

الإجابة الصحيحة: $3^{10}$

2. نتيجة العبارة $1^{3}+2^{3}+3^{3}$:

$1^{3}+2^{3}+3^{3} = 1 + 8 + 27 = 36$

الإجابة الصحيحة: 36

3. مساحة المثلث BCD:

افترض أن شبه المنحرف ABCD له الأبعاد: AD = 4cm، AB = 3cm، CD = 6cm

في شبه منحرف قائم في A و D: AD هو الارتفاع
لحساب مساحة المثلث BCD، نحتاج القاعدة CD والارتفاع من B إلى CD
الارتفاع من B إلى CD يساوي AD = 4cm
مساحة المثلث BCD = $\frac{1}{2} \times CD \times \text{الارتفاع} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\text{cm}^2$

الإجابة الصحيحة: 12

4. تحويل 17 مليون كيلومتر إلى متر:

17 \text{ مليون كيلومتر} = 17 \times 10^6 \times 10^3 = 17 \times 10^9 \text{ متر}

الإجابة الصحيحة: $17\times10^{9}$

5. طول ضلع المربع:

\text{مساحة المربع} = (\text{طول الضلع})^2 = 36\text{cm}^2

\text{طول الضلع} = \sqrt{36} = 6\text{cm}

الإجابة الصحيحة: 6cm

التمرين رقم 2 (5 نقاط)

1) أكمل الفراغ بالعدد المناسب:

$49^{\ldots}\times7^{8}=7^{14}$

$5^{4}\times15^{\ldots}=5^{\ldots}\times9^{3}$

$2^{4}\times(100-\ldots)=64$

2) احسب العبارات التالية:

$a=2\times7^{2}+3\times(\sqrt{9}-\sqrt{4})^{2023}$

$b=2^{4}\times7700+4^{2}\times2300$

3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للواحد:

$d=81\times(7^{3}\times3^{2})^{4}$

$c=\sqrt{64}\times2^{7}+2^{3}\times4^{3}\times2$

$e=125^{6}\times64^{3}\times9^{9}$

تصحيح التمرين رقم 2

1) إكمال الفراغات:

للمعادلة $49^{\ldots}\times7^{8}=7^{14}$:

49^x \times 7^8 = 7^{14} \Rightarrow (7^2)^x \times 7^8 = 7^{14} \Rightarrow 7^{2x+8} = 7^{14}

2x + 8 = 14 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3

الجواب: $49^{3}\times7^{8}=7^{14}$

للمعادلة $5^{4}\times15^{\ldots}=5^{\ldots}\times9^{3}$:

$15 = 3 \times 5$ و $9 = 3^2$
$5^{4}\times(3 \times 5)^{y} = 5^{z}\times(3^2)^{3}$
$5^{4}\times3^{y}\times5^{y} = 5^{z}\times3^{6}$
$5^{4+y}\times3^{y} = 5^{z}\times3^{6}$
مقارنة قوى العدد 3: $y = 6$
مقارنة قوى العدد 5: $4 + y = z \Rightarrow z = 4 + 6 = 10$

الجواب: $5^{4}\times15^{6}=5^{10}\times9^{3}$

للمعادلة $2^{4}\times(100-\ldots)=64$:

16 \times (100-x) = 64 \Rightarrow 100-x = 4 \Rightarrow x = 96

الجواب: $2^{4}\times(100-96)=64$

2) حساب العبارات:

حساب a:

a=2\times7^{2}+3\times(\sqrt{9}-\sqrt{4})^{2023} = 2\times49+3\times(3-2)^{2023} = 98+3\times1 = 101

حساب b:

b=2^{4}\times7700+4^{2}\times2300 = 16\times7700+16\times2300 = 16(7700+2300) = 16\times10000 = 160000

3) الكتابة في صيغة قوة:

للعبارة d:

d=81\times(7^{3}\times3^{2})^{4} = 3^4\times7^{12}\times3^{8} = 3^{12}\times7^{12} = (3\times7)^{12} = 21^{12}

للعبارة c:

c=\sqrt{64}\times2^{7}+2^{3}\times4^{3}\times2 = 8\times2^7+2^3\times2^6\times2 = 2^{10}+2^{10} = 2\times2^{10} = 2^{11}

للعبارة e:

e=125^{6}\times64^{3}\times9^{9} = (5^3)^6\times(2^6)^3\times(3^2)^9 = 5^{18}\times2^{18}\times3^{18} = (5\times2\times3)^{18} = 30^{18}

التمرين رقم 3 (7 نقاط) - الهندسة

تأمل الشكل التالي حيث I نقطة من $[Oz)$ و $OI=3\text{cm}$

1) بناءً على الرسم:

أ) اذكر زاويتين متتاميتين

ب) اذكر زاويتين متكاملتين

ج) بين أن $(Ot) \perp (Oz)$

2) عيّن J نقطة من $[OI)$ مخالفة لـ I حيث $OJ=3\text{cm}$

أ) بين أن المستقيم $(Ot)$ هو الموسط العمودي لـ $[IJ]$

ب) ارسم H المسقط العمودي لـ O على $(xy)$

ج) قارن OH و IO

3) ارسم دائرة $(\mathcal{C})$ مركزها O وتمر من H

أ) ما هي الوضعية النسبية لـ $(\mathcal{C})$ و $(IH)$؟ علل جوابك

ب) ابن المستقيم $\Delta$ المار من J والعمودي على $(OI)$. ما هي الوضعية النسبية لـ $(\mathcal{C})$ و $\Delta$؟

ج) بين أن $\Delta$ موازي $(Ot)$

تصحيح التمرين رقم 3

1) تحليل الزوايا:

من الرسم نرى زاويتين: 43° و 47°

أ) زاويتان متتاميتان:

43° + 47° = 90°

إذن الزاويتان 43° و 47° متتاميتان

ب) زاويتان متكاملتان:

أي زاويتان على خط مستقيم مجموعهما 180°، مثل الزاوية 90° والزاوية المجاورة لها 90°

ج) إثبات $(Ot) \perp (Oz)$:

بما أن مجموع الزاويتين في الرسم = 90°، فإن الزاوية بين $(Ot)$ و $(Oz)$ = 90°

إذن $(Ot) \perp (Oz)$

2) النقطة J والموسط العمودي:

أ) إثبات أن $(Ot)$ هو الموسط العمودي لـ $[IJ]$:

$OI = OJ = 3\text{cm}$ (معطى)
I و J على نفس الشعاع $[Oz)$ من جهتين مختلفتين لـ O
إذن O هو منتصف $[IJ]$
$(Ot) \perp (Oz)$ ويمر بـ O
إذن $(Ot)$ هو الموسط العمودي لـ $[IJ]$

ب) رسم H: ارسم العمودي من O على $(xy)$، نقطة التقاطع هي H

ج) مقارنة OH و IO:

$IO = 3\text{cm}$ (معطى). OH يعتمد على المسافة العمودية من O إلى $(xy)$

3) الدائرة والوضعية النسبية:

رسم الدائرة: مركزها O ونصف قطرها $OH$

أ) الوضعية النسبية لـ $(\mathcal{C})$ و $(IH)$:

H نقطة على الدائرة (حسب التعريف)
O مركز الدائرة
في المثلث OIH، إذا كان $(OH) \perp (xy)$ ونصف القطر = OH
المسافة من O إلى $(IH)$ = OH
بما أن المسافة = نصف القطر، فإن $(IH)$ مماس للدائرة في H

ب) المستقيم $\Delta$ والوضعية النسبية:

$\Delta$ يمر بـ J ويكون عمودياً على $(OI)$
المسافة من O إلى $\Delta$ = $OJ = 3\text{cm}$
نقارن هذه المسافة مع نصف القطر OH
الوضعية تعتمد على قيمة OH مقارنة بـ 3cm

ج) إثبات $\Delta \parallel (Ot)$:

$\Delta \perp (OI)$ (بالتعريف)
$(Ot) \perp (Oz)$ حيث $(Oz)$ هو نفس $(OI)$
إذن $(Ot) \perp (OI)$
بما أن $\Delta$ و $(Ot)$ كلاهما عمودي على $(OI)$
إذن $\Delta \parallel (Ot)$