فرض مراقبة عدد 2 السابعة أساسي

إعداد الأستاذ : دفواراتي

التمرين رقم 1 (4 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:
1. نعتبر الكتابة وفقاً للنظام العشري للعدد $a$:
$a=3\times10^{5}+4\times10^{3}+2\times10^{2}+10^{0}$
إذن:
  • $a=304021$
  • $a=304201$
  • $a=342010$
2. المجموع $2^{3}+2^{3}$ يساوي:
  • $4^{2}$
  • $4^{3}$
  • $2^{6}$
3. القيمة التقريبية بالآلاف للعدد 4498 هي:
  • 3000
  • 5000
  • 4000
4. ضعف العدد $2^{21}$ يساوي:
  • $2^{42}$
  • $4^{21}$
  • $2^{22}$

تصحيح التمرين رقم 1

1. العدد $a$:

$a=3\times10^{5}+4\times10^{3}+2\times10^{2}+10^{0}$
$a=300000+4000+200+1 = 304201$

الإجابة الصحيحة: $a=304201$

2. المجموع $2^{3}+2^{3}$:

$2^{3}+2^{3} = 8+8 = 16 = 4^2$

نتحقق من الخيارات: $4^2 = 16$، $4^3 = 64$، $2^6 = 64$

الإجابة الصحيحة: $4^{2}$

3. القيمة التقريبية بالآلاف:

  • للعدد 4498، ننظر إلى خانة المئات وهي 4
  • بما أن 4 < 5، نقرب للأسفل إلى 4000

الإجابة الصحيحة: 4000

4. ضعف العدد $2^{21}$:

$2 \times 2^{21} = 2^{1+21} = 2^{22}$

الإجابة الصحيحة: $2^{22}$

التمرين رقم 2 (6 نقاط)

(1) احسب العبارات التالية:
$C=(7 \times 1^{0})^{10}+(2^{2}-1)^{2014}\times6^{2}$
$B=6^{2}\times2^{6}+8^{2}\times2^{6}$
$A=4^{3}\times125^{2}$
(2) عوّض النقاط بالعدد المناسب في كل حالة:
$7^{6}\times9^{\ldots}=21^{\ldots}$
(3) اكتب في صيغة قوّة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:
$b=32\times2^{15}$
$a=8^{13}+8^{13}+8^{13}+8^{13}$
$2^{2}\times10^{\ldots}=4^{\ldots}\times5^{8}$
$c=\sqrt{64}\times2^{5}-2^{3}\times\sqrt{25}$

تصحيح التمرين رقم 2

1) حساب العبارات:

حساب C:

$C=(7 \times 1^{0})^{10}+(2^{2}-1)^{2014}\times6^{2}$
$C=(7 \times 1)^{10}+(4-1)^{2014}\times36 = 7^{10}+3^{2014}\times36$
ملاحظة: هذا التعبير معقد جداً للحساب اليدوي. ربما كان المقصود تعبيراً أبسط.

حساب B:

$B=6^{2}\times2^{6}+8^{2}\times2^{6} = 2^6(6^2+8^2) = 64(36+64) = 64 \times 100 = 6400$

حساب A:

$A=4^{3}\times125^{2} = (2^2)^3\times(5^3)^2 = 2^6\times5^6 = (2\times5)^6 = 10^6$

2) تعويض النقاط:

للمعادلة $7^{6}\times9^{\ldots}=21^{\ldots}$:

  • $21 = 3 \times 7$، إذن $21^x = 3^x \times 7^x$
  • $9 = 3^2$، إذن $9^y = 3^{2y}$
  • $7^{6}\times3^{2y} = 3^x\times7^x$
  • مقارنة قوى العدد 7: $x = 6$
  • مقارنة قوى العدد 3: $2y = x = 6 \Rightarrow y = 3$
  • الجواب: $7^{6}\times9^{3}=21^{6}$

3) الكتابة في صيغة قوة:

  • $b=32\times2^{15}$: $b=2^5\times2^{15} = 2^{20}$
  • $a=8^{13}+8^{13}+8^{13}+8^{13}$: $a=4\times8^{13} = 2^2\times(2^3)^{13} = 2^2\times2^{39} = 2^{41}$
  • $c=\sqrt{64}\times2^{5}-2^{3}\times\sqrt{25}$: $c=8\times32-8\times5 = 256-40 = 216 = 6^3$

للمعادلة $2^{2}\times10^{\ldots}=4^{\ldots}\times5^{8}$:

  • $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ و $10^y = (2 \times 5)^y = 2^y \times 5^y$
  • $2^{2}\times2^y\times5^y = 2^{2x}\times5^{8}$
  • $2^{2+y}\times5^y = 2^{2x}\times5^{8}$
  • مقارنة قوى العدد 5: $y = 8$
  • مقارنة قوى العدد 2: $2+y = 2x \Rightarrow 2+8 = 2x \Rightarrow x = 5$
  • الجواب: $2^{2}\times10^{8}=4^{5}\times5^{8}$

التمرين رقم 3 (10 نقاط) - الهندسة

ليكن ABCD شبه منحرف قائم في B مع $CD=4\text{cm}$، $AD=3\text{cm}$، $AB=5\text{cm}$
رسم شبه منحرف ABCD
1) ابن $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[CD]$ والذي يقطعها في I ويقطع $(AB)$ في E
أ- ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $(BC)$؟ علل جوابك
ب- بين أن $CI=2\text{cm}$ و $BE=2\text{cm}$
2) ارسم الدائرة $(\mathcal{C})$ التي مركزها I وتمر من D
أ- بين أن $E \in (\mathcal{C})$
ب- ما هي الوضعية النسبية للدائرة $(\mathcal{C})$ والمستقيم $(BC)$؟
3) حدد بعد النقطة A عن المستقيم $(BC)$ واستنتج الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم

تصحيح التمرين رقم 3

1) الموسط العمودي والوضعية النسبية:

إنشاء الموسط العمودي $\Delta$: يمر بمنتصف [CD] (النقطة I) ويكون عمودياً على (CD)

أ- الوضعية النسبية بين $\Delta$ و $(BC)$:

  • شبه المنحرف ABCD قائم في B، إذن $\angle ABC = 90°$
  • في شبه منحرف قائم، $(BC) \perp (AB)$ و $(CD) \parallel (AB)$
  • إذن $(BC) \perp (CD)$
  • بما أن $\Delta \perp (CD)$ و $(BC) \perp (CD)$
  • إذن $\Delta \parallel (BC)$ (مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث متوازيان)

ب- حساب $CI$ و $BE$:

  • $CI = \frac{CD}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{cm}$ (I منتصف CD)
  • في شبه المنحرف القائم، إذا أسقطنا عموداً من D على (AB) في النقطة H
  • فإن BCDH مستطيل، إذن $BH = CD = 4\text{cm}$
  • $AH = AB - BH = 5 - 4 = 1\text{cm}$
  • في المثلث ADH القائم: $DH^2 = AD^2 - AH^2 = 9 - 1 = 8$
  • إذن $DH = BC = 2\sqrt{2}\text{cm}$
  • بما أن $\Delta \parallel (BC)$ ويمر بمنتصف CD، فإن E منتصف AB
  • إذن $BE = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\text{cm}$
ملاحظة: هناك تناقض في المعطيات. $BE = 2\text{cm}$ قد لا يكون صحيحاً حسب الحسابات.

2) الدائرة $(\mathcal{C})$ والوضعية النسبية:

رسم الدائرة: مركزها I ونصف قطرها $ID = 2\text{cm}$

أ- إثبات $E \in (\mathcal{C})$:

  • لكي تكون E على الدائرة، يجب أن يكون $IE = ID = 2\text{cm}$
  • هذا يتطلب حسابات إضافية حسب موضع E الدقيق

ب- الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم $(BC)$:

  • المسافة من I إلى $(BC)$ = المسافة من منتصف CD إلى BC
  • هذه المسافة تساوي $\frac{CD}{2} = 2\text{cm}$
  • بما أن المسافة = نصف القطر، فإن $(BC)$ مماس للدائرة في C

3) بعد A عن $(BC)$ والوضعية النسبية:

  • بعد A عن $(BC)$ = $AB = 5\text{cm}$ (لأن $(AB) \perp (BC)$)
  • مركز الدائرة I ونصف قطرها $2\text{cm}$
  • المسافة من I إلى $(BC)$ = $2\text{cm}$ = نصف القطر
  • إذن $(BC)$ مماس للدائرة
  • المسافة من I إلى خط يمر بـ A وموازي لـ $(BC)$ = $5\text{cm}$ > نصف القطر
  • إذن أي مستقيم يمر بـ A وموازي لـ $(BC)$ خارجي بالنسبة للدائرة