فرض مراقبة عدد 3 - التاسعة أساسي

تصحيح التمرين 1:

ملاحظة: جودة الصورة المقدمة رديئة جداً مما يجعل قراءة بعض الأعداد والرموز صعبة. سنقوم بحل ما هو واضح ونقدم تفسيرات محتملة للباقي.

السؤال 4 هو الأكثر وضوحًا، لنبدأ به:

في الشكل، لدينا شبه منحرف ABCD وقطعة IJ توازي القاعدتين AB و DC. يبدو أن IJ هي القطعة الواصلة بين منتصفيالضلعين غير المتوازيين (الوسيط). في هذه الحالة، طولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

المعادلة هي: \( IJ = \frac{AB + DC}{2} \)

نعوض بالقيم المعطاة:

\( 5 = \frac{(x+2) + (2x-1)}{2} \)

نضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقام:

\( 10 = (x+2) + (2x-1) \)

نزيل الأقواس ونجمع الحدود المتشابهة:

\( 10 = 3x + 1 \)

ننقل 1 إلى الطرف الآخر (مع تغيير إشارته):

\( 10 - 1 = 3x \)

\( 9 = 3x \)

نقسم على 3 لنجد x:

\( x = \frac{9}{3} = 3 \)

إذن، الإجابة الصحيحة هي x = 3.

---

بقية الأسئلة (بناءً على أفضل تفسير للصورة):

1) العدد \( (\frac{1}{16})^{-1} \times (\sqrt{2})^{-6} \):

• \( (\frac{1}{16})^{-1} = 16 \). (قاعدة: \( (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n \) )
• \( (\sqrt{2})^{-6} = \frac{1}{(\sqrt{2})^6} = \frac{1}{(2^{1/2})^6} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
• النتيجة: \( 16 \times \frac{1}{8} = 2 \).

لا توجد الإجابة "2" في الخيارات المتاحة. قد يكون هناك خطأ في نص التمرين أو في الخيارات. لو كان السؤال مثلا \( (\frac{1}{4})^{-1} \times (\sqrt{2})^{-3} \)، لكانت النتيجة \( 4 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)، وهي أحد الخيارات.

2) و 3) نص السؤالين غير واضح تمامًا في الصورة. من الصعب تقديم حل دقيق ومؤكد.

تصحيح التمرين 2:

1) بخصوص a و b:

أ) لا يمكننا إثبات أن \( a = 5 + 2\sqrt{6} \) و \( b = 5 - 2\sqrt{6} \) لأن تعريفيهما الأصليين في السؤال غير مقروءين. لكن يمكننا استخدام هذه النتائج للإجابة على السؤال التالي.

ب) بيّن أنّ a و b مقلوبان:

ليكون عددان مقلوبين، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي 1. لنحسب \( a \times b \):

\( a \times b = (5 + 2\sqrt{6}) \times (5 - 2\sqrt{6}) \)

هذه على شكل المتطابقة الهامة \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \):

\( = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 \)

\( = 25 - (2^2 \times (\sqrt{6})^2) \)

\( = 25 - (4 \times 6) \)

\( = 25 - 24 = 1 \)

بما أن \( a \times b = 1 \)، فإن a و b مقلوبان.

---

2) حساب العبارات:

حساب c:

\( c = \frac{2^{-7} \times 3^2}{(\frac{1}{3})^{-1} \times (2^{-3})^2} \)

البسط: \( 2^{-7} \times 9 \)

المقام: \( (\frac{1}{3})^{-1} = 3 \). و \( (2^{-3})^2 = 2^{-3 \times 2} = 2^{-6} \). إذن المقام هو \( 3 \times 2^{-6} \).

\( c = \frac{9 \times 2^{-7}}{3 \times 2^{-6}} \)

نفصل الأعداد: \( c = \frac{9}{3} \times \frac{2^{-7}}{2^{-6}} = 3 \times 2^{-7 - (-6)} = 3 \times 2^{-1} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)

حساب b: (ملاحظة: الحرف b استخدم مرتين في التمرين، سنحل العبارة المعطاة هنا)

\( b = [(-\sqrt{2})^2 \times (\frac{1}{2})^{-1}]^{-2} \)

داخل القوسين: \( (-\sqrt{2})^2 = 2 \). و \( (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \).

\( b = [2 \times 2]^{-2} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)

---

3) كتابة d في صيغة قوة:

\( d = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{\frac{1}{12}} \times \sqrt{\frac{9}{2}} \)

يمكننا دمج الجذور: \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)

\( d = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{1}{12} \times \frac{9}{2}} \)

نضرب الكسور داخل الجذر:

\( d = \sqrt{\frac{2 \times 1 \times 9}{3 \times 12 \times 2}} = \sqrt{\frac{18}{72}} \)

نختزل الكسر: \( 72 = 4 \times 18 \), إذن \( \frac{18}{72} = \frac{1}{4} \).

\( d = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)

لتحويلها إلى صيغة قوة، \( \frac{1}{2} \) هي \( 2^{-1} \).

تصحيح التمرين 3:

1) إثبات التوازي وحساب IJ:

• في المثلث ABC، لدينا I منتصف [AB] و J منتصف [BC].
• حسب نظرية المنتصفين (أو مبرهنة طالس العكسية)، المستقيم الذي يربط بين منتصفي ضلعين في مثلث يكون موازيًا للضلع الثالث.
• إذن، (IJ) // (AC).
• وطول هذه القطعة يساوي نصف طول الضلع الثالث: \( IJ = \frac{1}{2} AC \).
• بما أن المثلث متقايس الضلعين في A، فإن \( AC = AB = 6cm \).
• إذن، \( IJ = \frac{1}{2} \times 6 = 3cm \).

2) أ*) تطبيق نظرية طالس:

• لدينا مستقيمان (AE) و (ME) متقاطعان في E. و لدينا مستقيمان متوازيان (IJ) و (AC) (لأن E تنتمي لـ AC) يقطعان المستقيمين السابقين.
• بتطبيق نظرية طالس، نحصل على: \( \frac{MI}{MA} = \frac{MJ}{ME} = \frac{IJ}{AE} \).
• لنحسب النسبة \( \frac{MI}{MA} \):
  • لدينا I منتصف [AB] و AB = 6cm، إذن AI = 3cm.
  • لدينا M نقطة من [AB] حيث AM = 2cm.
  • النقاط على المستقيم مرتبة كالتالي A, M, I, B.
  • المسافة MI = AI - AM = 3 - 2 = 1cm.
  • النسبة هي \( \frac{MI}{MA} = \frac{1}{2} \).
• إذن، نستنتج أن \( \frac{MI}{MA} = \frac{MJ}{ME} = \frac{IJ}{AE} = \frac{1}{2} \).

2) ب*) استنتاج أن A منتصف [CE]:

• من النتيجة السابقة، لدينا \( \frac{IJ}{AE} = \frac{1}{2} \).
• ونعلم أن IJ = 3cm.
• إذن، \( \frac{3}{AE} = \frac{1}{2} \)، مما يعني أن \( AE = 3 \times 2 = 6cm \).
• لدينا \( AC = 6cm \) و \( AE = 6cm \). وبما أن E تقع على المستقيم (AC)، فهذا يعني أن A هي منتصف القطعة [CE].
• (ملاحظة: هناك تناقض في معطيات التمرين عند التحقق بالحسابات التحليلية، ولكن الحل الهندسي المباشر يؤدي إلى هذه النتيجة).

3) إثبات أن J هي مسقط A:

• المطلوب هو إثبات أن J هي نقطة تقاطع المستقيم (BC) مع مستقيم يمر من A وموازٍ لـ (BE). أي يجب أن نثبت أن (AJ) // (BE).
• في المثلث CBE، A هي منتصف [CE] (من السؤال السابق) و J هي منتصف [CB] (لأن J منتصف [BC]).
• بتطبيق نظرية المنتصفين في المثلث CBE، نجد أن المستقيم (AJ) يوازي الضلع الثالث (BE).
• وهذا يثبت أن J هي المسقط العمودي لـ A على (BC) وفقًا لاتجاه (BE).

4) حساب NC:

• N هي مسقط M على (BC) وفقًا لاتجاه (IJ). هذا يعني أن (MN) // (IJ).
• ونعلم من السؤال 1 أن (IJ) // (AC).
• إذن، (MN) // (AC).
• الآن نطبق نظرية طالس في المثلث ABC مع المستقيم (MN) الموازي لـ (AC):
• \( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \).
• نحسب النسبة \( \frac{BM}{BA} \): لدينا AB=6 و AM=2، إذن BM = AB - AM = 6 - 2 = 4cm.
• النسبة هي \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
• إذن، \( \frac{BN}{BC} = \frac{2}{3} \). وبما أن BC = 4cm، فإن \( BN = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}cm \).
• المطلوب هو NC. بما أن N تقع على القطعة [BC]، فإن:
• \( NC = BC - BN = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}cm \).

تصحيح التمرين 4:

1) حساب AB:

• المثلث OAB قائم في O. نطبق نظرية فيثاغورس: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 \).
• \( AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \).
• \( AB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}cm \).

2) ملاحظة هامة:

يوجد العديد من التناقضات في نص هذا السؤال مما يجعله غير قابل للحل كما هو مكتوب. على سبيل المثال، الشرط \( BG = \frac{AG}{2} \) لا يؤدي إلى أن K هي منتصف [AC]. يبدو أن هناك أخطاء مطبعية كبيرة في نص التمرين.

سنقدم حلاً مبنيًا على تفسير لما قد يكون السؤال الصحيح:

تفسير محتمل للسؤال 2.ب: لنفترض أن G هي مركز ثقل المثلث OAC. مركز الثقل هو نقطة تلاقي المتوسطات.

• C هي مناظرة A بالنسبة لـ B (هذا يعني أن B هي منتصف [AC]).
• لذلك، (OB) هو المتوسط الصادر من O في المثلث OAC.
• مركز الثقل G ينتمي دائمًا إلى المتوسطات، إذن G تنتمي إلى (OB).
• هذا يعني أن النقاط O, G, B على استقامة واحدة.
• المستقيم (OG) هو نفسه المستقيم (OB).
• المستقيم (OB) يقطع [AC] في النقطة B. إذن، K=B.
• وبما أن B هي منتصف [AC]، فإن K تكون منتصف [AC].

هذا التفسير يجعل السؤال منطقيًا. لكنه لا يتوافق مع الشرط \( BG = AG/2 \).

بناءً على التناقضات، لا يمكن المتابعة في حل السؤال 2.ج بشكل موثوق.