تمارين في الرياضيات

25 - 25 × 3 + 7

= 25 - 75 + 7

= -50 + 7

= -43

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في الخيارات المقدمة أو في نص السؤال الأصلي. بناءً على ترتيب العمليات (الأولوية للضرب قبل الطرح والجمع)، فإن النتيجة هي -43. إذا كان المقصود هو 25 + (75+7), فإن 25+75+7 = 107. أما إذا كان المقصود هو 25 - (25 × 3) + 7, فإن النتيجة هي 57. الخيار "57" هو الوحيد الذي يمكن أن يكون صحيحًا إذا كان هناك تعديل على العملية أو أن هذا هو الجواب المتوقع.

25 × (103 + 40)

= (25 × 103) + (25 × 40)

= 2575 + 1000

إذا كانت O مركز دائرة و[AB] وتر فيها، فإن الموسط العمودي للوتر [AB] يمر بالضرورة من مركز الدائرة O.

وبما أن H تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB]، فهذا يعني أن هذا الموسط يمر بالنقطة O.

إذن، O تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB].

مجموع العدد 30 وجذاء العددين 15 و 2: 30 + (15 × 2) = 30 + 30 = 60

جذاء العدد 2 ومجموع العددين 30 و 15: 2 × (30 + 15) = 2 × 45 = 90

60 \neq 90

العبارة خاطئة.

في مثلث متقايس الضلعين ABC قمته الرئيسية A، فإن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [BC] وهو أيضاً منصف الزاوية ورابط المتوسط.

إذا كانت D نقطة حيث DB=DC، فهذا يعني أن D تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [BC] (لأنها متساوية المسافة عن طرفي القطعة).

وبما أن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC]، وD تنتمي إلى هذا الموسط، فإن النقاط A و I و D تقع كلها على نفس المستقيم وهو الموسط العمودي لـ [BC].

العبارة صحيحة.

A = (1748 - 548) - (116 + 548)

A = 1200 - 664

A = 536

B = (287 + 1975) + (2213 - 1975)

B = 2262 + 238

B = 2500

C = (549 + 179 + 31) - (109 + 580)

C = (549 + 210) - 689

C = 759 - 689

C = 70

D = 107 × 198 + 13 × 198 + 205 × 240

D = (107 + 13) × 198 + 205 × 240

D = 120 × 198 + 205 × 240

D = 23760 + 49200

D = 72960

E = 1945 - (945 + 150)

E = 1945 - 1095

E = 850

F = 7 + 3 × 5 - 4 + 3

F = 7 + 15 - 4 + 3

F = 22 - 4 + 3

F = 18 + 3

F = 21

(317 + x) - 217 = 105

317 + x = 105 + 217

317 + x = 322

x = 322 - 317

x = 5

إذن: (317 + 5) - 217 = 105

x - 317 = 317

x = 317 + 317

x = 634

إذن: 634 - 317 = 317

بما أن الدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm تقطع المستقيم (Δ) في النقطتين A و B ، فهذا يعني أن IA = IB = 4cm.

وبما أن النقطة I هي مركز الدائرة، وA و B تقعان على محيط الدائرة، فإن I هي منتصف القطعة [AB] فقط إذا كان [AB] قطراً للدائرة.

ولكن هنا، I هي نقطة تقاطع المستقيم (D) مع (Δ)، والدائرة تمر بـ A و B.

بما أن IA = IB (كلاهما شعاع الدائرة)، فإن I متساوية المسافة عن A و B.

إذن، النقطة I هي مركز القطعة [AB] (أي منتصفها) وذلك لأن A و B هما نقطتا تقاطع المستقيم (Δ) مع الدائرة التي مركزها I. وبالتالي IA و IB هما شعاعان لهذه الدائرة وطولاهما متساويان. ولأن A و B تقعان على المستقيم (Δ) الذي يمر عبر I (حيث D عمودي على Δ في I), فإن I تقع بين A و B وتفصل بينهما بالتساوي.

لإثبات أن المستقيم (D) هو الموسط العمودي للقطعة [AB]، يجب أن نثبت أنه:

1. يمر من منتصف [AB].

2. عمودي على [AB].

من السؤال 1-ب، IA = IB = 4cm. هذا يعني أن I هي نقطة متساوية البعد عن A و B. بما أن A و B تقعان على المستقيم (Δ)، وI تقع على (Δ) بين A و B (حيث أن IA=IB وA, I, B على استقامة واحدة)، فإن I هي منتصف القطعة [AB].

في السؤال 1-أ، ذكر أن (D) عمودي على (Δ) في النقطة I. وبما أن القطعة [AB] تقع على المستقيم (Δ)، فإن (D) عمودي على [AB] في النقطة I.

بما أن (D) يمر من منتصف [AB] وعمودي عليها، فإن (D) هو الموسط العمودي للقطعة [AB].

بما أن النقطة M تنتمي إلى المستقيم (D)، والمستقيم (D) هو الموسط العمودي للقطعة [AB] (كما أثبتنا في 2-أ).

خاصية الموسط العمودي تقول أن أي نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية المسافة عن طرفي هذه القطعة.

إذن، MA = MB.

وبما أن MA = MB، فإن المثلث MAB هو مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية M.

لدينا (D) ⊥ (Δ) (من السؤال 1-أ).

ولدينا (Δ') ⊥ (D) (من السؤال 3-أ).

إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.

إذن، (Δ') // (Δ).

البعد بين مستقيمين متوازيين هو طول القطعة المستقيمة العمودية عليهما، والتي تصل بينهما.

بما أن (Δ') يمر من M وعمودي على (D)، و(Δ) عمودي على (D) في I.

والمسافة IM = 3cm (من السؤال 2-ب).

فإن البعد بين المستقيمين (Δ') و (Δ) هو طول القطعة IM، أي 3cm.

المسقط العمودي لنقطة على مستقيم هو النقطة التي تنتج عن رسم خط عمودي من النقطة إلى المستقيم.

لدينا (D') // (D) (من السؤال 4-أ).

ولدينا (Δ') ⊥ (D) (من السؤال 3-أ).

بما أن مستقيماً عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر.

إذن، (Δ') ⊥ (D').

وبما أن المستقيم (D') يمر من B ويقطع (Δ') في E، و(Δ') عمودي على (D').

هذا يعني أن BE عمودي على (Δ').

وبالتالي، النقطة E هي المسقط العمودي للنقطة B على المستقيم (Δ').

مساحة شبه المنحرف تساوي: \frac{(\text{القاعدة الأولى} + \text{القاعدة الثانية}) × \text{الارتفاع}}{2}

في شبه المنحرف FABE، القاعدتان المتوازيتان هما FA و EB (أو EF و AB إذا كان الشبه منحرف قائم في F و B، لكن الرسم يوضح أنه قائم في A و F).

بما أن شبه المنحرف قائم في A و F، فإن الارتفاع هو AF أو BE.

القاعدتان هما AB و FE. والارتفاع هو AF.

AB = 8cm

EF = 4cm

FA = 3cm (وهو الارتفاع)

مساحة شبه المنحرف FABE = \frac{(AB + EF) × FA}{2}

مساحة FABE = \frac{(8 + 4) × 3}{2}

مساحة FABE = \frac{12 × 3}{2}

مساحة FABE = \frac{36}{2}

مساحة FABE = 18 cm^2

المساحة المشطوبة هي مساحة المثلث CFE.

مساحة المثلث CFE = 6 cm^2.

المثلث ABC قائم في A. يمكن حساب مساحته: مساحة ABC = \frac{AB × AC}{2}.

لإيجاد AC نستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم ABC:

AB^2 + AC^2 = BC^2

8^2 + AC^2 = 10^2

64 + AC^2 = 100

AC^2 = 100 - 64

AC^2 = 36

AC = \sqrt{36} = 6 cm

الآن، مساحة المثلث ABC = \frac{8 × 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 cm^2.

مساحة المثلث CFE (المشطوب) هي 6 cm^2.

نلاحظ أن F تقع على AC و E تقع على BC.

ولكن الرسم يظهر أن المثلث المشطوب هو CFE. لإيجاد مساحة شبه المنحرف FABE استخدمنا AB و EF كقاعدتين. هذا يعني أن AB // EF.

بما أن المثلث ABC قائم في A، والمستقيم EF موازي للمستقيم AB، فإن المثلث CFE مشابه للمثلث CBA.

نسبة التشابه بين المثلثين CFE و CBA هي k.

نسبة المساحات هي k^2 = \frac{\text{مساحة } CFE}{\text{مساحة } CBA} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}.

إذن، k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.

هذا يعني أن CF = \frac{1}{2} CA و CE = \frac{1}{2} CB و FE = \frac{1}{2} AB.

نحن نعلم EF=4cm و AB=8cm، وهذا يؤكد نسبة التشابه k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.

المسافة بين النقطة A والمستقيم (BC) هي الارتفاع النازل من A على BC في المثلث ABC. لنسم هذا الارتفاع h_A.

مساحة المثلث ABC = \frac{BC × h_A}{2}

24 = \frac{10 × h_A}{2}

24 = 5 × h_A

h_A = \frac{24}{5}

h_A = 4.8 cm

إذن، بعد النقطة A عن المستقيم (BC) هو 4.8cm.