السؤال الأول:

الجذاء يحتوي على العوامل: $121 \times \text{عدد} \times 226 \times 25$

$226 = 2 \times 113$ (زوجي)

بما أن الجذاء يحتوي على عامل زوجي (226)، فإن الجذاء زوجي مهما كان العامل الناقص.

الإجابة: ج - زوجي

السؤال الثاني:

$A = 3 + 7 \times (4 - 2)$

$A = 3 + 7 \times 2$

$A = 3 + 14$

$A = 17$

الإجابة: ج - $A = 17$

السؤال الثالث:

إذا كان $AB = AC - BC$، فهذا يعني أن النقطة $B$ تقع بين $A$ و $C$

وبالتالي $B \in [AC]$

الإجابة: ب - $B \in [AC]$

① الحسابات:

$A = (1750 - 985) - (1250 - 985)$

$A = 1750 - 1250 = 500$

$B = (125 + 48) + (152 - 125)$

$B = 48 + 152 = 200$

$C = 32 \times 157 + 32 \times 742 + 899 \times 68$

$C = 32 \times (157 + 742) + 899 \times 68$

$C = 32 \times 899 + 899 \times 68$

$C = 899 \times (32 + 68)$

$C = 899 \times 100 = 89900$

$D = (197 + 375) + (103 + 125)$

$D = (197 + 103) + (375 + 125)$

$D = 300 + 500 = 800$

$E = 594 - (148 + 52)$

$E = 594 - 200 = 394$

$F = 55 \times 102$

$F = 55 \times (100 + 2)$

$F = 55 \times 100 + 55 \times 2$

$F = 5500 + 110 = 5610$

② إكمال الفراغ:

$375 - 82 - 18 = 275$

التحقق: $375 - 82 - 18 = 375 - 100 = 275$ ✓

③ الإكمال دون عملية:

$162802 \div 2 = 81401$

$123 \times 172 = 21156$

$117698 - 17698 = 100000$

$34562 + 12308 = 46870$

④ الحسابات المعقدة:

$m = 2025 \times 720 - (15000 - 2025 \times 280)$

$m = 2025 \times 720 + 2025 \times 280 - 15000$

$m = 2025 \times (720 + 280) - 15000$

$m = 2025 \times 1000 - 15000$

$m = 2025000 - 15000 = 2010000$

$n = 1911 \times 15 - 15 + 1910$

$n = (1910 + 1) \times 15 - 15 + 1910$

$n = 1910 \times 15 + 15 - 15 + 1910$

$n = 1910 \times (15 + 1) = 1910 \times 16 = 30560$

(1) أ - إثبات أن $(OI)$ الموسط العمودي لـ $[AB]$:

بما أن المثلث $IAB$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $I$، فإن $IB = IA$

و بما أن $O$ مركز الدائرة فإن $OB = OA$

إذا $(OI)$ يمر من نقطتين متساويتا البعد عن $A$ و $B$

فإن $(OI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$

ب - تمثيل النقطة $E$:

بما أن $(OI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$، فهو يقطعها في منتصفها

إذن $E$ هي منتصف $[AB]$

(2) أ - الوضعية النسبية لـ $(OI)$ و $(AG)$:

بما أن $AEFG$ مربع فإن $(AG) \perp (AE)$

و بما أن $(OI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$ فإن $(AB) \perp (OI)$

و بما أن $E$ نقطة من $[AB]$ فإن $(AE) \perp (OI)$

إذا $(OI) \parallel (AG)$

ب - النقاط على استقامة واحدة:

نعلم أن $(AG) \parallel (OI)$ و بما أن $AEFG$ مربع فإن $(EF) \parallel (AG)$

وبالتالي $(EF) \parallel (OI)$ و بما أن لهما نقطة مشتركة $E$

فهما متطابقان إذن $O$ و $I$ و $E$ و $F$ على استقامة واحدة

(3) الوضعية النسبية لـ $(AG)$ و $\Delta$:

$(AG) \parallel (OI)$

$\Delta \perp (OI)$

إذا $\Delta \perp (AG)$

(2) ب) الوضعية النسبية لـ $(D)$ و $(AB)$:

$(D) \perp (AC)$

$(AB) \perp (AC)$ (لأن الزاوية قائمة في $A$)

إذن $(D) \parallel (AB)$

ج) البعد بين $(D)$ و $(AB)$:

بما أن $(AB) \parallel (D)$ و $(AC)$ يعامدهما

فإن البعد بين $(D)$ و $(AB)$ هو $AC = 4\text{cm}$

(3) ب) $C$ منتصف $[OE]$:

بما أن $(D)$ هو الموسط العمودي لـ $[OE]$

فإن $(D)$ يقطعها في منتصفها

وبالتالي $C$ هي منتصف $[OE]$

(4) أ) $(AF)$ مماس للدائرة:

بما أن $AC = 4\text{cm}$ و $O$ منتصف $[AC]$ فإن $OC = 2\text{cm}$

و بما أن $C$ منتصف $[OE]$ فإن $CE = 2\text{cm}$

وبالتالي $AE = 4 + 2 = 6\text{cm}$

و بما أن $AB = 6\text{cm}$ فإن $AE = AB$

و منه $AEB$ مثلث متقايس الضلعين

بما أن $F$ منتصف $[BE]$ فإن $(AF)$ هو الموسط العمودي لـ $[EB]$

إذا بعد $E$ عن $(AF)$ هو $EF$ مساو لشعاع الدائرة $(\mathcal{C}')$

إذن $(AF)$ مماس للدائرة $(\mathcal{C}')$ في $F$

ب) الوضعية النسبية لـ $(AB)$ و $(\mathcal{C}')$:

بعد $E$ عن $(AB)$ هو $6\text{cm}$ أكبر من شعاع الدائرة $(\mathcal{C}')$

إذن $(\mathcal{C}')$ و $(AB)$ منفصلان