التناظر المحوري

سلسلة تمارين أنيقة للصف السابع أساسي

15 التمرين الخامس عشر

ارسم دائرة γ مركزها O وقطرها 3cm وعين عليها نقطة A والمستقيم Δ المماس للدائرة γ في A.

1) ارسم الدائرة γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ، لتكن I مركز γ'.

2) المستقيم (IO) يقطع γ' في B و D، أثبت أن D و B متناظرتان بالنسبة لـ Δ.

3) عين نقطة E على γ' حيث BE = OB و F متناظرها بالنسبة لـ Δ.

أ) بين أن F ∈ γ.

ب) بين أن المثلث DFI متقايس الأضلاع.

الحل التفصيلي:

الجزء الأول - رسم الدائرة المناظرة:

  1. نرسم عموداً من O على Δ (يمر بـ A لأن Δ مماس في A)
  2. نحدد I بحيث OA = AI (أي I مناظرة O بالنسبة لـ Δ)
  3. نرسم الدائرة γ' مركزها I ونصف قطرها 3cm

الجزء الثاني - إثبات التناظر:

  1. (IO) هو المستقيم المار بمركزي الدائرتين
  2. يقطع γ' في نقطتين B و D
  3. بما أن γ' مناظرة لـ γ بالنسبة لـ Δ
  4. فإن Δ هو المتوسط العمودي لجميع القطع الواصلة بين النقاط ونظائرها
  5. إذن B و D متناظرتان بالنسبة لـ Δ

الجزء الثالث - إثبات الخصائص:

  • أ) F ∈ γ لأن F مناظرة E بالنسبة لـ Δ، و E ∈ γ'
  • ب) المثلث DFI متقايس الأضلاع لأن جميع أضلاعه متساوية بخصائص التناظر
16 التمرين السادس عشر

ارسم مثلث ABC متقايس الأضلاع حيث AB = 4cm.

ارسم النقطة D مناظرة النقطة B بالنسبة إلى المستقيم (AC).

1) بين أن الرباعي ABCD هو معين.

2) بين أن المستقيم (BD) هو المتوسط العمودي للقطعة [AC].

3) ما هو محور تناظر المعين ABCD؟

الحل التفصيلي:

رسم الشكل:

  1. نرسم المثلث متساوي الأضلاع ABC مع AB = BC = AC = 4cm
  2. نرسم D مناظرة B بالنسبة لـ (AC)

إثبات أن ABCD معين:

  1. AB = BC = CD = DA = 4cm (بخصائص المثلث المتساوي الأضلاع والتناظر)
  2. جميع الأضلاع متساوية، إذن الشكل معين

إثبات أن (BD) متوسط عمودي لـ [AC]:

  • B و D متناظرتان بالنسبة لـ (AC)
  • إذن (AC) هو المتوسط العمودي لـ [BD]
  • وبالعكس (BD) متوسط عمودي لـ [AC]

محور التناظر:

  • المستقيم (BD) هو محور التناظر للمعين ABCD
17 التمرين السابع عشر

ارسم مثلث ABC متقايس الساقين قمته الرئيسية A حيث AB = AC = 4cm و Δ المتوسط العمودي لـ [BC].

A

/ \

4cm / \ 4cm

/ \

B ——— C

مثلث متقايس الضلعين

أ) ما هي مناظرة النقطة A بالنسبة لـ Δ؟

ب) ما هي مناظرة النقطة B بالنسبة لـ Δ؟

ج) ما هي مناظرة الزاوية ABC بالنسبة لـ Δ؟

د) استنتج أن ABC = ACB.

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

مناظرة A بالنسبة لـ Δ هي A نفسها لأن:

  • Δ هو المتوسط العمودي لـ [BC]
  • المثلث متقايس الضلعين في A
  • إذن A تقع على Δ

الجزء ب:

مناظرة B بالنسبة لـ Δ هي C لأن Δ متوسط عمودي لـ [BC]

الجزء ج:

مناظرة الزاوية ABC هي الزاوية ACB

الجزء د:

ABC = ACB لأن التناظر يحافظ على قياس الزوايا

10 التمرين العاشر

نعتبر زاوية [Au, Av] قيسها 40° والنقطة I تنتمي إلى [Av] حيث AI=3cm.

أ) ارسم المستقيم (A) المار من I والعمودي على (Av).

ب) ارسم النقطة B مناظرة النقطة A بالنسبة إلى المستقيم (A).

ج) بين أن ABC = 40°.

د) ما هي طبيعة المثلث ABC؟

الحل التفصيلي:

الرسم:

  1. نرسم الزاوية [Au, Av] بقيس 40°
  2. نحدد النقطة I على [Av] بحيث AI = 3cm
  3. نرسم عموداً على (Av) من النقطة I

التناظر:

B مناظرة A بالنسبة للمستقيم العمودي، وبالتالي ABC = 40°

طبيعة المثلث:

  • مثلث متقايس الضلعين في B
  • لأن BA = BC (خاصية الانعكاس)
12 التمرين الثاني عشر

نعتبر مثلث EFG قائم الزاوية في E حيث EF = 3cm و EFG = 60°.

أ) ارسم النقطة H مناظرة النقطة F بالنسبة إلى المستقيم (EG).

ب) بين أن GHE = 60°.

ج) بين أن المثلث FGH متقايس الأضلاع.

د) احسب محيط المثلث FGH.

الحل التفصيلي:

الرسم:

نرسم H مناظرة F بالنسبة إلى (EG) بالطريقة التقليدية للانعكاس

إثبات الزاوية:

GHE = 60° لأن الانعكاس يحافظ على قياس الزوايا

المثلث المتقايس الأضلاع:

  • FG = GH = FH (بخصائص الانعكاس)
  • جميع الزوايا = 60°

المحيط:

باستخدام النسب المثلثية: FG = 6cm، إذن المحيط = 18cm

21 التمرين الحادي والعشرون

نعتبر نقاط A و B و C ومناظراتها A' و B' و C' على التوالي بالنسبة لمستقيم Δ.

اربط بسهم كل جملة من العمود الأول بما يناسبها في العمود الثاني:

العمود الأول العمود الثاني
(BC) // (B'C') (BC) // Δ
A'C' = B'C' [AB] منصف C
C ∈ (A'B') A و B و C على استقامة واحدة
A'C' = 5 AB = 5
(AB') = (AB) (AB) ⊥ Δ

الحل التفصيلي:

التطابق الصحيح بين العبارات:

  1. (BC) // (B'C') ← (BC) // Δ
  2. A'C' = B'C' ← [AB] منصف C
  3. C ∈ (A'B') ← A و B و C على استقامة واحدة
  4. A'C' = 5 ← AB = 5
  5. (AB') = (AB) ← (AB) ⊥ Δ

التفسير:

  • التناظر يحافظ على التوازي والأطوال
  • العلاقات الهندسية محفوظة بالانعكاس
  • المستقيمات العمودية على المحور تبقى في مكانها