التناظر المحوري

نرسم (AH) ⊥ (d)، ثم نأخذ A' على [AH) حيث HA' = HA.

النقطة A' هي نظيرة A بالنسبة إلى (d).

بالإنشاء: HA = HA' إذن H منتصف [AA']، و (AH) ⊥ (d).

المستقيم الذي يمرّ من منتصف قطعة ويعامدها هو محورها؛ إذن (d) محور تناظر [AA'].

A' نظيرة A و B' نظيرة B بالنسبة إلى (d).

نظيرة [AB] هي القطعة [A'B'].

التناظر المحوري يحفظ المسافات، إذن A'B' = AB.

نظيرة قطعة مستقيم هي قطعة مستقيم لها نفس الطول.

نُنشئ A' و B' و C' نظائر الرؤوس بالنسبة إلى (d)، ثم نصل بينها.

المثلث A'B'C' هو نظير المثلث ABC.

التناظر المحوري يحفظ الأطوال وقيس الزوايا.

إذن المثلث A'B'C' متقايس مع المثلث ABC (قابل للتطابق معه).

I = منتصف [BC]، والمستقيم (d) = (AI) هو مستقيم يمرّ من A ومن I.

بما أن AB = AC و IB = IC، فإن (AI) هي واسِط [BC] (عمودية عليه في منتصفه).

نظير B بالنسبة إلى (d) هو C، ونظير A هو A (لأن A على (d)).

إذن (d) محور تناظر المثلث ABC.

A' و B' هما نظيرا A و B على العمودين المنطلقين منهما، بنفس البعد عن (d).

التناظر المحوري يحفظ المسافات، إذن A'B' = AB.

وبما أن AB = 6 cm فإن A'B' = 6 cm.

سؤال إنشاء (نسخ الرسم كما هو). نرمز لرأس الزاوية بالحرف L (كما تستعمله بقية الأسئلة في العبارتين (OL) و(LF)، رغم أنّ الرسم الأصلي لا يكتب هذا الحرف بوضوح على الزاوية)، فتكون الزاوية OL̂C = 62° وOL = 6 سم.

نرسم عموداً من C على المستقيم (OL) ونمدّده بنفس الطول إلى الجهة الأخرى؛ نقطة الوصول على هذا البعد نفسه هي E.

بما أنّ O تنتمي إلى محور التناظر (OL)، فإنّ O مناظرة نفسها. وبما أنّ E مناظرة C، فإنّ التناظر المحوري يحافظ على قيس الزوايا:

EL̂O = CL̂O = 62°.

إذن قيس الزاوية EL̂O يساوي 62°.

(فرضية ضرورية لحل هذا السؤال والسؤال 4: الرسم الأصلي في المصدر لا يبيّن المستقيم (LF) بشكل صريح؛ نفترض أنّه المستقيم المار من L والعمودي على (OL) — وهو الفرض المعتاد في هذا النوع من التمارين والوحيد الذي يجعل النقاط I وL وE على استقامة واحدة كما يطلب السؤال 4.)

نرسم عموداً من C على المستقيم (LF) ونمدّده بنفس الطول إلى الجهة الأخرى؛ فنحصل على I.

بما أنّ F تنتمي إلى محور التناظر (LF)، فهي مناظرة نفسها، والتناظر المحوري يحافظ على قيس الزوايا: IL̂F = CL̂F.

وبما أنّ (LF) عمودي على (OL) في L (الفرضية أعلاه)، فإنّ OL̂F = 90°، ومنه CL̂F = OL̂F − OL̂C = 90° − 62° = 28°.

إذن قيس الزاوية IL̂F يساوي 28°.

نحسب قيس الزاوية IL̂E بجمع الزوايا المتتالية حول L:

IL̂E = IL̂F + FL̂C + CL̂O + OL̂E = 28° + 28° + 62° + 62° = 180°

(لأنّ FL̂C = IL̂F = 28° وOL̂E = CL̂O = 62° بالمناظرة).

بما أنّ قيس الزاوية IL̂E يساوي 180° (زاوية مستقيمة)، فإنّ النقاط I وL وE على استقامة واحدة.

بما أنّ I هو المسقط العمودي لـA على (Δ)، فإنّ AI يمثّل بالتعريف بُعد النقطة A عن المستقيم (Δ).

إذن AI = 2 سم.

B تقع على الشعاع [AI) بحيث AB = 4 سم > AI = 2 سم، إذن I تقع بين A وB (تُبنى B بتمديد [AI] بمقدار IB = AB − AI = 4 − 2 = 2 سم).

لدينا IA = 2 سم وIB = AB − AI = 4 − 2 = 2 سم، إذن IA = IB.

بما أنّ I تنتمي إلى القطعة [AB] (من إنشاء السؤال ب) وتحقق IA = IB، فإنّ I هي منتصف القطعة [AB].

من السؤال ج: I منتصف [AB]. ومن إنشاء I: (AI) عمودي على (Δ) في I (لأنّ I هو المسقط العمودي لـA على (Δ))، وبما أنّ B تنتمي إلى المستقيم (AI)، فإنّ (Δ) عمودي على (AB) في I.

إذن (Δ) هو واسِط القطعة [AB] (يمرّ من منتصفها وعمودي عليها)، وبالتعريف: A وB متناظرتان بالنسبة إلى (Δ).

بما أنّ المثلث ABC قائم الزاوية في A، فإنّ (AB) عمودي على (AC) في A.

ولمّا كانت A منتصف [DB]، فإنّ D وA وB على استقامة واحدة وAD = AB = 3.

بما أنّ (AB) عمودي على محور التناظر (AC) في A، فإنّ مناظرة أيّ نقطة من (AB) تقع على (AB) نفسه، على البعد ذاته من A لكن في الجهة المقابلة. وهذا بالضبط وصف النقطة D (فهي على (AB)، وAD = AB، وفي الجهة المقابلة لـB بالنسبة إلى A).

إذن مناظرة B بالنسبة إلى (AC) هي النقطة D.

بما أنّ C تنتمي إلى محور التناظر (AC)، فهي مناظرة نفسها. وبما أنّ D مناظرة B (من السؤال 1-أ)، فإنّ التناظر المحوري يحافظ على المسافات: CD = CB.

إذن المثلث BCD متقايس الضلعين في C.

في المثلث ABC القائم الزاوية في A: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25، إذن BC = 5 سم (ومنه CD = 5 سم أيضاً).

طول القاعدة BD = BA + AD = 3 + 3 = 6 سم (لأنّ A منتصف [DB]).

وبما أنّ (AC) عمودي على (AB) في A، فإنّ AC = 4 سم يمثّل ارتفاع المثلث BCD الصادر من C إلى القاعدة (BD).

مساحة المثلث BCD = (BD × AC) ÷ 2 = (6 × 4) ÷ 2 = 12 سم².

بما أنّ Δ هو محور التناظر الذي يحوّل A إلى C، فإنّ Δ هو واسِط القطعة [AC] (المستقيم العمودي على [AC] في منتصفه).

التناظر المحوري يحافظ على استقامة النقاط: بما أنّ D وA وB نقاط على استقامة واحدة (من المعطيات)، فإنّ مناظراتها F وC وE (على التوالي) تكون بدورها على استقامة واحدة.

إذن النقاط C وE وF على استقامة واحدة.

التناظر المحوري يحافظ على المسافات:

CE = مسافة مناظرتي A وB = AB = 3 سم.

CF = مسافة مناظرتي A وD = AD = 3 سم.

إذن CE = CF = 3 سم.

وبما أنّ ترتيب النقاط يُحفظ بالتناظر (ترتيب D ثم A ثم B يعطي ترتيب F ثم C ثم E)، فإنّ C تقع بين E وF، وبما أنّ CE = CF فإنّ C هي منتصف القطعة [EF].

بما أنّ C هي مناظرة A بالنسبة إلى (Δ)، فإنّ (Δ) هو واسِط القطعة [AC] (المستقيم العمودي على [AC] في منتصفه). يُنشأ Δ بهذه الطريقة انطلاقاً من A وC المعطاتين على الشكل.

تُنشأ D بإسقاط عمودي من B على (Δ) ثمّ تمديد نفس المسافة إلى الجهة الأخرى من (Δ).

التناظر المحوري تحويل يحافظ على المسافات بين النقاط (خاصية أساسية).

بما أنّ C مناظرة A وD مناظرة B (بالنسبة لنفس المحور Δ)، فإنّ المسافة بين مناظرتي A وB تساوي المسافة بين A وB نفسيهما.

إذن CD = AB.

Δ هو الموسط العمودي لـ[BC] بالتعريف، إذن B وC متناظرتان بالنسبة إلى Δ: مناظرة B هي C.

أمّا I فتنتمي إلى Δ (نقطة تقاطع Δ مع (AC))، وأيّ نقطة تنتمي إلى محور التناظر تكون مناظرة نفسها: مناظرة I هي I نفسها.

تُنشأ E بإسقاط عمودي من A على Δ ثمّ تمديد نفس المسافة إلى الجهة الأخرى من Δ.

بما أنّ E مناظرة A بالنسبة إلى Δ، فإنّ Δ هو واسِط القطعة [AE]، ومنه Δ عمودي على (AE).

وبما أنّ Δ هو الموسط العمودي لـ[BC] (معطى)، فإنّ Δ عمودي على (BC) أيضاً.

مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث (هو Δ) متوازيان فيما بينهما، إذن (AE) و(BC) متوازيان.

التناظر المحوري بالنسبة إلى Δ يحوّل A إلى E وB إلى C (من السؤال 1)، وهو يحافظ على المسافات:

EC = مسافة مناظرتي A وB = AB = 3 سم.

كذلك يحوّل A إلى E وC إلى B (لأنّ مناظرة B هي C، فمناظرة C هي B)، إذن:

EB = مسافة مناظرتي A وC = AC = 5 سم.

النقاط A وI وC على استقامة واحدة (لأنّ I تنتمي إلى (AC) بالمعطيات).

مناظرات هذه النقاط الثلاث بالنسبة إلى Δ هي على التوالي: E (مناظرة A)، I (مناظرة I لأنّها على المحور)، B (مناظرة C).

بما أنّ التناظر المحوري يحافظ على استقامة النقاط، فإنّ E وI وB تكون بدورها على استقامة واحدة.

تُنشأ N بإسقاط عمودي من M على (AB) ثمّ تمديد نفس المسافة إلى الجهة الأخرى.

بما أنّ A تنتمي إلى محور التناظر (AB)، فإنّ A مناظرة نفسها. والتناظر المحوري يحافظ على المسافة بين نقطة ثابتة ونظيرَي أيّ نقطة أخرى:

إذن AM = AN.

بنفس المنطق: A تنتمي إلى محور التناظر (AC)، فهي مناظرة نفسها، إذن AM = AP.

ومن السؤال (أ): AM = AN.

إذن AN = AP (كلاهما يساوي AM)، فالمثلث ANP متقايس الضلعين في A.

B تنتمي إلى محور التناظر (AB) (المستعمَل لبناء N)، فهي مناظرة نفسها، وبما أنّ M مناظرتها N، فإنّ التناظر يحافظ على المسافة من النقطة الثابتة B: BM = BN.

بما أنّ نصف قطر الدائرة (C) هو BM، وBN = BM، فإنّ N تنتمي إلى الدائرة (C).

إذن الدائرة (C) تمرّ من النقطتين M وN (إضافة إلى كونها مركزها B).

B تنتمي إلى محور التناظر (CB)، فهي مناظرة نفسها، وبما أنّ M مناظرتها Q، فإنّ BM = BQ (حفظ التناظر للمسافة من النقطة الثابتة B).

وبما أنّ نصف قطر (C) هو BM = BQ، فإنّ Q تبعد عن مركز الدائرة B بمقدار نصف القطر بالضبط، إذن Q تنتمي إلى الدائرة (C).

لكلّ زاوية، تُنشأ مناظرتها كالتالي: من كلّ نقطة معرِّفة لضلعي الزاوية (غير الرأس)، نُنزل عموداً على Δ ونمدّده بنفس الطول إلى الجهة الأخرى للحصول على النقطة المناظرة؛ ثمّ يوصَل الرأس المناظر (بنفس الطريقة إن لم يكن على Δ) بالنقطتين المناظرتين لرسم ضلعي الزاوية الجديدة.

ملاحظة: إذا كان رأس الزاوية على Δ (كما يبدو أنّ الحال بالنسبة إلى C في الشكل)، فهو مناظر لنفسه، ويكفي عندئذ إنشاء مناظرة النقاط الأخرى المحدِّدة للضلعين؛ وإذا كان أحد ضلعي الزاوية واقعاً على Δ نفسه، فهو مناظر لنفسه أيضاً (كلّ نقطة من محور التناظر مناظرة لنفسها).

بخاصية التناظر المحوري (حفظ قياس الزوايا)، فإنّ قياس كلّ زاوية مناظرة يساوي قياس الزاوية الأصلية: x'Â'y' = xÂy، وكذلك للزوايا الثلاث الأخرى.

تُنشأ N بإسقاط عمودي من M على (Ot) ثمّ تمديد نفس المسافة إلى الجهة الأخرى من (Ot).

O تنتمي إلى محور التناظر (Ot)، فهي مناظرة نفسها. والتناظر المحوري يحافظ على المسافة بين نقطة ثابتة (هنا O) ونقطة ومناظرتها:

OM = ON.

وبما أنّ OM = 3 (معطى)، فإنّ ON = 3.

بما أنّ رأس الزاوية O تنتمي إلى محور التناظر (Ot)، فهي ثابتة، ومناظرة النقطة M (التي تنتمي إلى [Oz]) هي N. إذن مناظرة الشعاع [Oz] هو الشعاع [ON) — وهو الضلع الآخر للزاوية المناظرة لزاوية zÔt، بحيث تكون الزاوية tÔN = 30° في الجهة المقابلة لـ[Oz].

بما أنّ N مناظرة M بالنسبة إلى (Ot) وO ثابتة (تنتمي إلى المحور)، فإنّ التناظر يحافظ على قياس الزوايا مع الضلع الثابت (Ot): tÔN = tÔM = 30°.

وبما أنّ M وN تقعان في جهتين متقابلتين من (Ot) (خاصية التناظر المحوري)، فإنّ الزاوية MÔN تتكوّن من مجموع الزاويتين MÔt وtÔN:

MÔN = MÔt + tÔN = 30° + 30° = 60°.

بما أنّ A وD تنتميان إلى محور التناظر (AD)، فهما ثابتتان. تُنشأ E بإسقاط عمودي من B على (AD) وتمديد نفس المسافة إلى الجهة الأخرى، وكذلك F بالنسبة إلى C.

بما أنّ A وD ثابتتان (على المحور) وB مناظرتها E وC مناظرتها F، فإنّ الشكل AEFD هو نظير الشكل ABCD (نفس القياسات، مع محافظة على قياسات الزوايا في النقاط المتناظرة): الزاوية عند E (AÊF) تناظر الزاوية عند B (AB̂C)، والزاوية عند F (EF̂D) تناظر الزاوية عند C (BĈD).

بما أنّ [AB] يوازي [CD]، والضلع [BC] قاطع لهذين المستقيمين المتوازيين، فإنّ الزاويتين الداخليتين من نفس الجهة على هذا القاطع متكاملتان: AB̂C + BĈD = 180°، ومنه AB̂C = 180° − 65° = 115°.

إذن: AÊF = AB̂C = 115°، وEF̂D = BĈD = 65°.

I تنتمي إلى (AD) (محور التناظر)، إذن I مناظرة نفسها.

وبما أنّ I تنتمي أيضاً إلى المستقيم (BC) (بالمعطيات)، فإنّ النقاط B وI وC على استقامة واحدة.

التناظر المحوري يحافظ على استقامة النقاط، فمناظرات B وI وC، أي E وI وF (على التوالي)، تكون بدورها على استقامة واحدة.

إذن النقاط E وF وI على استقامة واحدة.

إنشاء مباشر: نرسم من I عموداً على (Av) ونمدّده حتى يقطع الشعاع (Au) في نقطة نسمّيها C.

بما أنّ (Δ) عمودي على (Av) في I، فإنّ المستقيم (Av) بأكمله مناظر لنفسه بالنسبة إلى (Δ) (كلّ مستقيم عمودي على محور التناظر تكون صورته المستقيم نفسه)، وتناظر نقاطه يتمّ حول نقطة التقاطع I.

بما أنّ A تنتمي إلى (Av)، فإنّ مناظرتها B تنتمي إلى (Av) أيضاً؛ بل تقع B على نفس الشعاع [Av) الذي يحمل A، لأنّ I تقع بين A وB بحيث IB = IA = 3 سم، وB أبعد من I في نفس اتجاه الشعاع (على بعد AB = 2×AI = 6 سم من A). إذن B تنتمي إلى [Av).

بما أنّ (Δ) عمودي على (Av) في I وI منتصف [AB] (من السؤال ب، IA = IB)، فإنّ (Δ) = (CI) هو واسِط القطعة [AB]، إذن C تنتمي إلى واسِط [AB]، ومنه CA = CB: فالمثلث ABC متقايس الضلعين في C.

في مثلث متقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متساويتان: CÂB = AB̂C.

وبما أنّ B تنتمي إلى الشعاع [Av) نفسه الذي تنتمي إليه I، فإنّ CÂB = CÂI = uÂv = 40° (لأنّ C على [Au) وI على [Av)، فالزاوية CÂI هي نفسها الزاوية المعطاة uÂv).

إذن AB̂C = CÂB = 40°.

المثلث ABC متقايس الضلعين في C (CA = CB، من السؤال السابق)، بزاويتي قاعدة قياس كلّ منهما 40° (CÂB = AB̂C = 40°)، وزاوية الرأس: AĈB = 180° − 40° − 40° = 100°.

إذن المثلث ABC متقايس الضلعين في C، وهو ليس قائم الزاوية (لا زاوية فيه تساوي 90°) وليس متقايس الأضلاع (الزوايا غير متساوية جميعاً: 40°، 40°، 100°).

B وC تنتميان إلى محور التناظر (BC)، فهما ثابتتان. ومناظرة A هي D.

إذن صورة الزاوية AB̂C (رأسها B، ضلعاها (BA) و(BC)) هي الزاوية DB̂C (رأسها B نفسها، وضلعاها (BD) [مناظر (BA)] و(BC) [ثابت]).

التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا: DB̂C = AB̂C = 70°.

وبما أنّ D تقع في الجهة المقابلة لـA بالنسبة إلى (BC) (خاصية التناظر)، فإنّ الشعاع [BC) يقع بين الشعاعين [BA) و[BD)، ويقسم الزاوية AB̂D (التي قياسها AB̂C + CB̂D = 70° + 70° = 140°) إلى زاويتين متساويتين (AB̂C = CB̂D = 70°).

إذن [BC) هو منصّف الزاوية AB̂D.

في المثلث ABC: BÂC = 180° − AB̂C − AĈB = 180° − 70° − 40° = 70°.

بما أنّ D مناظرة A، وB وC ثابتتان، فإنّ المثلث DBC هو نظير المثلث ABC (B↔B، C↔C، A↔D)، وقياسات الزوايا محفوظة: الزاوية عند D (BD̂C) تناظر الزاوية عند A (BÂC).

إذن BD̂C = BÂC = 70°.

بما أنّ E المسقط العمودي لـC على (AB)، فإنّ الزاوية BÊC قائمة (= 90°) في المثلث BEC.

B وC ثابتتان (تنتميان إلى محور التناظر (BC))، ومناظرة E هي F، فالمثلث BEC ينتقل بالتناظر إلى المثلث BFC (حفظ قياسات الزوايا): BF̂C = BÊC = 90°.

إذن المثلث BCF قائم الزاوية في F.

تُنشأ H بإسقاط عمودي من F على (EG) وتمديد نفس المسافة إلى الجهة الأخرى من (EG).

E وG تنتميان إلى محور التناظر (EG)، فهما ثابتتان. ومناظرة F هي H.

إذن الزاوية عند H (GĤE) تناظر الزاوية عند F (EF̂G)، وقياسها محفوظ بالتناظر: GĤE = EF̂G = 60°.

بما أنّ G ثابتة (على المحور) وH مناظرة F، فإنّ التناظر يحافظ على المسافة: GH = GF.

في المثلث EFG القائم الزاوية في E بزاوية EF̂G = 60°: الوتر FG يحقق cos60° = EF÷FG، إذن FG = EF ÷ cos60° = 3 ÷ 0.5 = 6 سم. ومنه GH = 6 سم أيضاً.

من جهة أخرى: بما أنّ المثلث EFG قائم الزاوية في E، فإنّ (EF) عمودي على (EG) في E، أي أنّ E هو بالضبط المسقط العمودي لـF على (EG). وبما أنّ H مناظرة F بالنسبة إلى (EG)، فإنّ (EG) هو واسِط القطعة [FH]؛ وبما أنّ المسقط العمودي لـF على (EG) هو E نفسه، فإنّ E هو منتصف [FH]، ومنه FH = 2×EF = 2×3 = 6 سم.

إذن FG = GH = FH = 6 سم، فالمثلث FGH متقايس الأضلاع.

محيط المثلث FGH = FG + GH + HF = 6 + 6 + 6 = 18 سم.

بعد O عن Δ يساوي 2، وهو أصغر من شعاع الدائرة (3). | إذن Δ يقطع (C) في نقطتين. | (لو كان البعد أكبر من الشعاع لكان Δ خارج الدائرة، ولو ساواه لكان مماسا لها في نقطة واحدة).

إنشاء: I هي نظيرة O بالنسبة إلى Δ (نأخذ العمودي النازل من O على Δ ونمدده بنفس الطول في الجهة الأخرى من Δ). | نظير دائرة بالنسبة إلى مستقيم هو دائرة لها نفس نصف القطر ومركزها نظير المركز. | إذن (C') هي الدائرة التي مركزها I ونصف قطرها 3.

A و B تنتميان إلى Δ (فهما نقطتا تقاطع Δ مع (C))، والنقطة التي تنتمي إلى محور التناظر هي نظيرة نفسها. | إذن نظيرة A هي A، ونظيرة B هي B. | وبما أن A و B تنتميان إلى (C)، فإن نظيرتيهما (أي A و B نفسيهما) تنتميان إلى نظيرة (C) أي إلى (C'). | إذن نعم، A و B تنتميان إلى (C').

إنشاء: F هي نظيرة E بالنسبة إلى Δ (تُنشأ كما أُنشئت I، بأخذ العمودي من E على Δ وتمديده بنفس الطول).

E تنتمي إلى (C)، ونظيرة الدائرة (C) بالنسبة إلى Δ هي الدائرة (C'). | إذن نظيرة كل نقطة من (C) تنتمي إلى (C'). | وبما أن F هي نظيرة E، فإن F تنتمي إلى (C').

المستقيم (OA) يمر بمركز الدائرة (C)، فهو يقطعها في نقطتين متقابلتين قطريا A و E، أي أن O منتصف [AE] و AE = 2×3 = 6. | التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد: FA = نظيرة E إلى نظيرة A = EA (لأن A على Δ فنظيرها A نفسها). | إذن FA = EA = 6. | كذلك التناظر المحوري يحوّل منتصف قطعة إلى منتصف نظيرتها: بما أن O منتصف [AE]، فإن نظيرة O، أي I، هي منتصف [نظيرة A، نظيرة E] = منتصف [A , F]. | إذن I منتصف [FA] (وبذلك IA = IF = 3).

إنشاء بالمسطرة والمنقلة: نرسم [AB] بطول 5 سم، ثم زاوية قيسها 50° عند A وزاوية قيسها 30° عند B، فيتحدد الرأس C بتقاطع الشعاعين.

مجموع زوايا المثلث يساوي 180°. | زاوية ACB = 180° − زاوية BAC − زاوية ABC = 180° − 50° − 30° = 100°.

B و C تنتميان إلى محور التناظر (BC)، فهما نظيرتا نفسيهما. | التناظر المحوري بالنسبة إلى (BC) يحوّل A إلى D، ويحافظ على قيس الزوايا. | إذن الزاوية DCB (التي رأسها C وضلعاها CD و CB) هي نظيرة الزاوية ACB (رأسها C، ضلعاها CA و CB)، فلهما نفس القيس. | إذن زاوية BCD = زاوية ACB = 100°.

B تنتمي إلى محور التناظر (BC)، فهي نظيرة نفسها، والنقطة D هي نظيرة A. | التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد: البعد من B إلى A يساوي البعد من نظيرة B (أي B) إلى نظيرة A (أي D). | إذن BA = BD. | إذن المثلث ABD متقايس الضلعين رأسه الرئيسية B.

بما أن (BC) هو المستقيم الذي بالنسبة إليه D هي نظيرة A (حسب الإنشاء في السؤال ج)، فإن (BC) هو الموسط العمودي لـ [AD]. | وبما أنه يمر أيضا بالرأس B (قمة المثلث المتقايس الضلعين)، فإن (BC) هو محور تناظر المثلث ABD.

إنشاء: I هي نظيرة O بالنسبة إلى Δ، وبما أن نظير دائرة هو دائرة بنفس نصف القطر، فإن (C') هي الدائرة التي مركزها I ونصف قطرها 3. | وبما أن A نقطة تماسّ ومنتمية إلى Δ (نظيرة نفسها) ومنتمية إلى (C)، فإن A تنتمي أيضا إلى (C')؛ والدائرتان (C) و(C') متماسّتان خارجيا في A (لأن O و I من جهتي Δ وكل منهما على بعد 3 من A، فـ OI = 6 = 3+3).

بما أن Δ مماسّ لـ (C) في A، فإن (OA) ⊥ Δ في A، وبما أن I نظيرة O، فإن O و A و I على استقامة واحدة (لأن A هي أُسُّ العمودي من O على Δ). إذن المستقيم (IO) هو نفسه (OA)، ويمر بمركز الدائرتين. | (OA) يمر بمركز (C)، فيقطعها في نقطتين متقابلتين قطريا: A و B (أي O منتصف [AB]). | التناظر المحوري بالنسبة لـ Δ يحوّل O إلى I ويحافظ على الأبعاد والاستقامة والمنتصفات: بما أن O منتصف [A,B] وA نظيرة نفسها، فإن نظيرة O (أي I) هي منتصف [A, نظيرة B]. | لكن I هي أيضا منتصف [A,D] (لأن (IO)=(OA) يقطع (C') في نقطتين متقابلتين قطريا A و D). | ولوجود منتصف واحد فقط لقطعة [AB'] حيث B' نظيرة B، نستنتج أن نظيرة B هي D. | إذن B و D متناظرتان بالنسبة لـ Δ.

E تنتمي إلى (C)، ونظيرة الدائرة (C) بالنسبة إلى Δ هي (C'). | إذن نظيرة كل نقطة من (C) تنتمي إلى (C')، وبما أن F هي نظيرة E، فإن F تنتمي إلى (C').

OB و OE نصفا قطر للدائرة (C)، إذن OB = OE = 3. ولدينا BE = OB = 3 (معطى). | إذن OB = OE = BE = 3، فالمثلث OBE متقايس الأضلاع. | التناظر المحوري بالنسبة لـ Δ يحوّل O إلى I، وB إلى D (حسب السؤال 2)، وE إلى F (حسب الإنشاء)، ويحافظ على الأبعاد. | إذن المثلث IDF هو نظير المثلث OBE، فهو متقايس الأضلاع أيضا بنفس طول الضلع 3. | إذن المثلث DFI متقايس الأضلاع.

إنشاء: مثلث أضلاعه الثلاثة AB = BC = CA = 4 سم (كل زواياه 60°).

إنشاء: D هي نظيرة B بالنسبة إلى المستقيم (AC).

A و C تنتميان إلى محور التناظر (AC)، فهما نظيرتا نفسيهما. | التناظر يحافظ على الأبعاد: AD = نظيرة (AB) = AB = 4، و CD = نظيرة (CB) = CB = 4. | وبما أن المثلث ABC متقايس الأضلاع: AB = BC = CA = 4. | إذن أضلاع الرباعي الأربعة متساوية: AB = BC = CD = DA = 4. | إذن ABCD معين.

من السؤال ج: AB = CB = 4، إذن B تبعد بنفس المقدار عن A وC، فهي تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AC]. | كذلك AD = CD = 4، إذن D تبعد بنفس المقدار عن A وC، فهي أيضا تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AC]. | وبما أن B و D نقطتان مختلفتان تنتميان كلتاهما إلى الموسط العمودي لـ [AC]، فإن المستقيم (BD) هو نفسه ذلك الموسط العمودي.

محورا تناظر المعين ABCD هما قطراه: المستقيم (AC) والمستقيم (BD).

A قمّة رئيسية للمثلث متقايس الضلعين، فهي تبعد بنفس المقدار عن B وC (AB=AC). | إذن A تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [BC]، أي A تنتمي إلى Δ. | والنقطة المنتمية إلى محور التناظر هي نظيرة نفسها. | إذن مناظرة A بالنسبة لـ Δ هي A نفسها.

Δ هو الموسط العمودي للقطعة [BC] (معطى). | وحسب خاصية الموسط العمودي: نظيرة أحد طرفي قطعة بالنسبة إلى موسطها العمودي هو الطرف الآخر. | إذن مناظرة B بالنسبة لـ Δ هي C.

التناظر بالنسبة لـ Δ يحوّل A إلى A (سؤال 1أ) و B إلى C (سؤال 1ب). | إذن هو يحوّل الزاوية ABC (رأسها B، ضلعاها BA و BC) إلى الزاوية التي رأسها C وضلعاها CA و CB، أي الزاوية ACB. | إذن مناظرة الزاوية ABC بالنسبة لـ Δ هي الزاوية ACB.

التناظر المحوري يحافظ على قيس الزوايا. | وبما أن الزاوية ABC نظيرة الزاوية ACB (حسب السؤال 1ج)، فإن لهما نفس القيس. | إذن زاوية ABC = زاوية ACB.

التناظر بالنسبة لـ Δ يحوّل A إلى A و B إلى C (من 1أ و1ب)، فهو يحوّل القطعة [AB] بأكملها إلى القطعة [AC]. | وبما أن M تنتمي إلى [AB]، فإن نظيرتها N تنتمي إلى نظيرة [AB]، أي إلى [AC]. | إذن N ∈ [AC].

M منتصف [AB]، إذن AM = AB/2 = 4/2 = 2. | A تنتمي إلى Δ فهي نظيرة نفسها، والتناظر يحافظ على الأبعاد: AN = نظيرة (AM) = AM. | إذن AN = AM = 2.

من السؤال 2أ: N تنتمي إلى [AC]. | ومن السؤال 2ب: AN = 2 = AC/2 (لأن AC = AB = 4). | نقطة تنتمي إلى قطعة وتبعد عن أحد طرفيها بنصف طولها هي منتصف تلك القطعة. | إذن N منتصف [AC].

إنشاء: مثلث EFG بحيث EF = EG.

E قمّة رئيسية، فهي تبعد بنفس المقدار عن F وG (EF=EG)، إذن E تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [FG]. | I منتصف [FG]، وكل موسط عمودي لقطعة يمر وجوبا بمنتصفها، إذن I تنتمي أيضا إلى ذلك الموسط العمودي. | وبما أن E و I نقطتان مختلفتان تنتميان كلتاهما إلى الموسط العمودي لـ [FG]، فإن المستقيم (EI) هو نفسه ذلك الموسط العمودي.

بما أن (EI) هو الموسط العمودي لـ [FG] (سؤال ب)، فإن التناظر بالنسبة إلى (EI) يحوّل F إلى G (خاصية الموسط العمودي)، ويحوّل E إلى E وI إلى I (لأنهما تنتميان إلى المحور). | إذن هذا التناظر يحوّل الزاوية [EF,EI] (رأسها E) إلى الزاوية التي رأسها E وضلعاها نظيرا EF و EI، أي [EG,EI]. | إذن الزاويتان [EF,EI] و [EG,EI] متناظرتان بالنسبة إلى (EI).

نستنتج أن المستقيم (EI) — المار بالقمة الرئيسية ومنتصف القاعدة — هو محور تناظر المثلث EFG (يحوّل E إلى E، وF إلى G، وG إلى F). | ونتيجة لذلك، وبما أن التناظر يحافظ على قيس الزوايا، فإن الزاويتين القاعديتين متقايستان: زاوية EFG = زاوية EGF.

إنشاء: N هي نظيرة M بالنسبة إلى (xy)، والمستقيم (MN) عمودي على (xy) ويقطعه في A (وA هي منتصف [MN]).

O تنتمي إلى محور التناظر (xy)، فهي نظيرة نفسها. التناظر يحافظ على الأبعاد: ON = نظيرة (OM) = OM. | إذن ON = OM. | A أيضا تنتمي إلى المحور (xy)، فهي نظيرة نفسها. التناظر يحوّل الزاوية MOA (رأسها O، ضلعاها OM و OA) إلى الزاوية NOA (ضلعاها ON و OA)، ويحافظ على قيسها. | وحسب الشكل، A تقع على الشعاع [Ox) (بما أن زاوية MOx = 50° حادة)، فإن زاوية MOA = زاوية MOx = 50°. | إذن زاوية NOA = زاوية MOA = 50°.

إنشاء: P هي نظيرة N بالنسبة إلى (zt)، والمستقيم (NP) عمودي على (zt) ويقطعه في B (منتصف [NP]).

O تنتمي إلى محور التناظر (zt)، فهي نظيرة نفسها، والتناظر يحافظ على الأبعاد: OP = نظيرة (ON) = ON. | إذن OP = ON. | بما أن (xy) ⊥ (zt) في O وزاوية xON = زاوية MOx = 50° (من السؤال 1ب، لأن N نظيرة M ونفس القيس محفوظ)، فإن زاوية ON مع الشعاع المجاور من (zt) تساوي 90° − 50° = 40°؛ وحسب الشكل B يقع على ذلك الشعاع فتكون زاوية NOB = 40°. | B تنتمي إلى المحور (zt) فهي نظيرة نفسها، والتناظر يحوّل الزاوية NOB إلى الزاوية POB محافظا على قيسها. | إذن زاوية BOP = زاوية NOB = 40°.

الزوايا المتتالية حول النقطة O من الشعاع [OM] إلى الشعاع [OP] هي: MOx ثم xON ثم NOB ثم BOP. | قيسها: 50° + 50° + 40° + 40° = 180°. | إذن زاوية MOP = 180°، أي M و O و P على استقامة واحدة (زاوية مستقيمة). | ومن جهة أخرى: OM = ON (سؤال 1ب) و ON = OP (سؤال 2ب)، إذن OM = OP. | بما أن M و O و P مستقيمية و OM = OP، فإن O منتصف [MP].

إنشاء: مثلث ABC بحيث AB = AC.

[AH] ارتفاع، إذن (AH) ⊥ (BC) في H. المثلثان ABH و ACH قائما الزاوية في H، ولهما الضلع [AH] مشترك. | حسب نظرية فيثاغورس: BH² = AB² − AH² و CH² = AC² − AH². | وبما أن AB = AC (معطى)، فإن BH² = CH²، وبما أن الطولان موجبان: BH = CH. | إذن H منتصف [BC]، والمستقيم (AH) عمودي على [BC] ويمر بمنتصفه: فهو الموسط العمودي لـ [BC].

بما أن (AH) هو الموسط العمودي لـ [BC] (سؤال ب)، فإن التناظر بالنسبة إلى (AH) يحوّل B إلى C، ويحوّل A إلى A وH إلى H (لأنهما على المحور). | إذن هذا التناظر يحوّل الزاوية [AB,AH] (رأسها A) إلى الزاوية التي رأسها A وضلعاها نظيرا AB و AH، أي [AC,AH]. | إذن الزاويتان [AB,AH] و [AC,AH] متناظرتان بالنسبة إلى (AH).

نستنتج أن المستقيم (AH) — المار بالقمة الرئيسية ومنتصف القاعدة — هو محور تناظر المثلث ABC (يحوّل A إلى A، وB إلى C، وC إلى B). | ونتيجة لذلك، وبما أن التناظر يحافظ على قيس الزوايا، فإن الزاويتين القاعديتين متقايستان: زاوية ABC = زاوية ACB.

التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، إذن الناتج الأكيد الوحيد هو A'B' = 5 — وهذا غير موجود في عمود النتائج المقترحة (المقترح هناك هو A'C' = 5). | معرفة AB فقط لا تعطي أي معلومة عن AC، ولا عن وضعية A أو B أو C بالنسبة إلى Δ. | إذن لا ينتج عن "AB = 5" بيقين أيّ عنصر من عناصر العمود الثاني المقترحة (لا يوجد سهم صحيح لهذه الفرضية).

A و B و C على استقامة واحدة يعني A ∈ (BC). | التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة والانتماء: نظيرة A، أي A'، تنتمي إلى نظيرة المستقيم (BC)، أي إلى (B'C'). | إذن ينتج عن ذلك: A' ∈ (B'C').

C هي نقطة تقاطع (AB) مع Δ، إذن C تنتمي إلى Δ (فهي نظيرة نفسها: C'=C)، وC تنتمي أيضا إلى (AB). | التناظر يحافظ على الانتماء: بما أن C ∈ (AB)، فإن نظيرتها (وهي C نفسها) تنتمي إلى نظيرة (AB)، أي إلى (A'B'). | إذن ينتج عن ذلك: C ∈ (A'B').

التناظر المحوري يحافظ على قيس الزوايا، فالنتيجة الأكيدة الوحيدة هي أن نظيرة الزاوية BAC، أي زاوية B'A'C'، تساوي أيضا 25° — وهذا غير موجود في عمود النتائج المقترحة (المقترح هناك يخلط بين نقطة أصلية A ونقطتين مناظرتين B' وC'، وهو ما لا ينتج بصفة عامة عن مجرد معرفة زاوية BAC). | إذن لا ينتج عن "زاوية BAC = 25°" بيقين أيّ عنصر من عناصر العمود الثاني المقترحة.

C منتصف [AB] يعني AC = CB. | التناظر يحافظ على الأبعاد: A'C' = AC و B'C' = CB (دائما). | وبما أن AC = CB، فإن A'C' = B'C'.

مستقيم عمودي على محور التناظر ينطبق مع نظيره (كل نقطة من (AB) تنتقل إلى نقطة أخرى على نفس المستقيم (AB)). | إذن نظيرة المستقيم (AB) هي المستقيم (AB) نفسه: (A'B') = (AB).

مستقيم موازٍ لمحور التناظر، نظيره مستقيم موازٍ له أيضا (وبالتالي موازٍ للمستقيم الأصلي). | إذن (B'C') موازٍ لـ Δ، وبالتالي (BC) ∥ (B'C').

نقطة تنطبق مع نظيرتها بالنسبة إلى مستقيم هي بالضرورة نقطة من ذلك المستقيم (النقطة الوحيدة التي تكون نظيرة نفسها هي نقطة المحور). | إذن ينتج عن ذلك: C ∈ Δ.

إنشاء: نرسم بالبركار دائرة مركزها E وشعاعها أكبر من بعد E عن (D)، فتقطع (D) في نقطتين A و B.

A و B تنتميان إلى الدائرة (C) التي مركزها E، إذن EA = EB (كلاهما يساوي شعاع الدائرة). | إذن E تبعد بنفس المقدار عن A وB، فهي تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB]. | إذن (Δ) يمر من E.

إنشاء: من E ننزل عموديا على (D) فيلتقيه في نقطة H، ثم نأخذ بالبركار على شعاع [HE) النقطة F بحيث HF = HE (على الجهة الأخرى من (D))؛ بذلك يكون (D) عموديا على [EF] في منتصفه H. | وحسب تعريف التناظر المحوري: نظيرة نقطة M بالنسبة إلى مستقيم Δ هي النقطة M' التي يكون فيها Δ الموسط العمودي لـ [MM']. | وبما أن (D) هو -بالإنشاء- الموسط العمودي لـ [EF]، فإن E و F متناظرتان بالنسبة إلى (D) مباشرة حسب هذا التعريف.

حسب السؤال ب، (Δ) هو الموسط العمودي للقطعة [AB] (هذا هو تعريفه من الإنشاء). | وحسب تعريف التناظر المحوري: نظيرة نقطة M بالنسبة إلى مستقيم هو النقطة M' التي يكون فيها ذلك المستقيم الموسط العمودي لـ [MM']. | وبما أن (Δ) هو الموسط العمودي لـ [AB]، فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى (Δ) مباشرة حسب هذا التعريف.

AC = AD (كلاهما شعاع الدائرة (C))، إذن A تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[CD]. | BC = BD (كلاهما شعاع الدائرة (C'))، إذن B تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[CD]. | بما أنّ A و B مختلفتان، فإنّ (AB) هو الموسّط العمودي لـ[CD] (لأنّ نقطتين تحدّدان مستقيما واحدا). | إذن C و D متناظرتان بالنسبة إلى (AB). (تحقّق عددي: بوضع A(0,0) وB(4,0)، نجد C(2,34 ; 1,87) وD(2,34 ; -1,87)، وهما فعلا متناظرتان بالنسبة إلى المحور (AB).)

بما أنّ (AB) محور تناظر يبادل C وD (السؤال 1) ويترك A ثابتة (A على المحور)، فإنّه يبادل نصف المستقيم [AC) ونصف المستقيم [AD). | إذن الزاويتان BAC وBAD متقايستان (تناظر يحافظ على قياس الزوايا). | وبما أنّ المثلث ACD متساوي الساقين في A (AC = AD)، فإنّ (AB) الذي هو موسّطه العمودي المارّ بالرأس A هو أيضا منصّف الزاوية CAD.

بما أنّ I منتصف [CD] و(AB) موسّط عمودي لـ[CD] (السؤال 1)، فإنّ I هي نقطة تقاطع (AB) و(CD)، إذن I وA وB على استقامة واحدة. | إذن نصف المستقيم (IA) هو نفسه المستقيم (AB): النقطة E هي إذن النقطة الثانية لتقاطع (AB) مع الدائرة (C)، بحيث A بين E وB (E هي الأبعد عن B). أي أنّ [AE) هو نصف المستقيم المقابل لـ[AB). | و F هي النقطة الثانية لتقاطع (CA) مع الدائرة (C): بما أنّ A مركز الدائرة، فـ A منتصف [CF]، أي [AF) هو نصف المستقيم المقابل لـ[AC). | الزاويتان EAF وBAC إذن متقابلتان بالرأس (الضلعان [AE)،[AB) من جهة و[AF)،[AC) من جهة أخرى متقابلتان زوجا زوجا)، فهما متقايستان: EAF = BAC. | وبما أنّ BAC = BAD (السؤال 2، (AB) منصّف CAD)، نستنتج أنّ EAF = BAD.

زاويتان متتامتان (مجموعهما 90°): BAC وCAM، لأنّ (AM) عمودي على (AB) في A فـ BAC + CAM = BAM = 90°. | زاويتان متجاورتان ومتكاملتان (مجموعهما 180° ولهما ضلع مشترك): BAC وCAE، لأنّ B وA وE على استقامة واحدة (أُثبت في السؤال 3-أ) وXAY المشترك هو الضلع [AC)، فـ BAC + CAE = BAE = 180°.

M وN على الدائرة (C) التي مركزها A، والمستقيم (MN) عمودي على (AB) ويمرّ بمركزها A، إذن [MN] قطر لهذه الدائرة وA منتصفه. | بما أنّ (AB) عمودي على (MN) ويمرّ بمنتصفه A، فإنّ (AB) هو الموسّط العمودي لـ[MN]، أي أنّ M وN متناظرتان بالنسبة إلى (AB). | التناظر بالنسبة إلى (AB) يبادل إذن C وD (السؤال 1) ويبادل M وN، وهو يحافظ على الأطوال. | إذن نظير القطعة [CM] هو القطعة [DN]، وبالتالي CM = DN.

A على المحور (AB) فهي ثابتة: نظيرها A. | I على المستقيم (AB) (بيّنّا في السؤال 3-أ أنّها نقطة تقاطع (AB) و(CD))، فهي أيضا ثابتة: نظيرها I. | نظير D هو C (السؤال 1). | نظير F: بما أنّ A منتصف [CF]، ونظير C هو D ونظير A هو A، فإنّ نظير F هو النقطة F' التي تجعل A منتصف [DF'] (أي النقطة المقابلة لـ D قطريا على الدائرة (C)). | إذن مناظر الرباعي AIDF هو الرباعي A I C F'.

المثلث OAB قائم الزاوية في A، أي أنّ (OA) عمودي على (AB). | بما أنّ A نقطة تقاطع (OA) و(AB)، فإنّ [OA] هو العمود النازل من O على (AB). | إذن البعد بين O و(AB) يساوي OA = 2cm.

هذا بناء (تُنشأ النقطة E بأخذ نظير A بالنسبة إلى المحور (OB)).

التناظر بالنسبة إلى (OB) يحافظ على الأطوال والزوايا، وO وB ثابتتان (على المحور)، إذن OE = OA = 2 وBE = BA = 6، والزاوية OEB = OAB = 90°. | محيط ABEO = AB + BE + EO + OA = 6 + 6 + 2 + 2 = 16cm. | مساحة ABEO = مساحة المثلث OAB + مساحة المثلث OEB (وهما متقايستان بالتناظر) = 2 × (½ × OA × AB) = 2 × (½ × 2 × 6) = 12cm².

التناظر بالنسبة إلى (OB) يحوّل المثلث OAB إلى المثلث OEB (لأنّ O وB ثابتتان وA تصبح E)، فهما متقايسان. | وبما أنّ المثلث OAB قائم الزاوية في A، فإنّ المثلث OEB قائم الزاوية في E (التناظر يحافظ على قياس الزوايا).

في المثلث OAB القائم الزاوية في A: AÔB = 180° - 90° - 25° = 65°. | التناظر بالنسبة إلى (OB) يحوّل الزاوية AOB إلى الزاوية EOB ويحافظ على قياسها، إذن BÔE = AÔB = 65°.

O على محور التناظر (OB)، إذن التناظر يحافظ على البعد من O: OE = OA. وبما أنّ OA هو شعاع الدائرة (C)، فإنّ OE = شعاع (C)، إذن E ∈ (C). | البعد بين O و(AB) يساوي OA (السؤال 1)، وOA هو شعاع الدائرة (C). بما أنّ البعد بين المركز والمستقيم يساوي الشعاع، فإنّ (AB) مماسّة للدائرة (C) في النقطة A.

الزاويتان AOE وAOM متجاورتان (ضلع مشترك [OA)) ومتكاملتان (مجموعهما 180°) يعني أنّ [OE) و[OM) نصفا مستقيم متقابلان، أي O منتصف [EM]: فـ M هي مقابلة E قطريا على الدائرة (C). | بنفس المبدإ، الزاويتان EOA وEON متجاورتان (ضلع مشترك [OE)) ومتكاملتان تعني أنّ [OA) و[ON) متقابلان، أي O منتصف [AN]: فـ N هي مقابلة A قطريا على الدائرة (C).

كلّ مستقيم يمرّ بمركز الدائرة هو محور تناظر لها. مثال: المستقيم (AN) (وهو نفسه (OA)) والمستقيم (EM) (وهو نفسه (OE)) هما محورا تناظر للدائرة (C)، لأنّهما قطران يمرّان بالمركز O.

(ملاحظة: هذا الجزء يتطلّب بناء النقطة O' مناظرة O بالنسبة إلى (AB)، وهي نقطة غير مسمّاة في نصّ التمرين؛ لا يمكن تحديد قيمة عددية لها دون معطى إضافي، لذا نكتفي بوصف البناء): بما أنّ B على المحور (AB) فهي ثابتة، ونظير O هو النقطة O' حيث AO' = AO والزاوية في A قائمة من الجهة المقابلة لـ O. إذن مناظر (OB) هو (O'B)، ومناظر (OE) هو (O'E') حيث E' مناظرة E بالنسبة إلى (AB). | أمّا تناظر M وN بالنسبة إلى (OB) فيُبرهن مباشرة دون الحاجة إلى (AB): التناظر بالنسبة إلى (OB) يحوّل A إلى E (معطى السؤال 2) ويترك O ثابتة، وهو يحافظ على الدائرة (C) (لأنّ مركزها O على المحور) وعلى علاقة «التقابل القطري» فيها. بما أنّ N مقابلة A قطريا وM مقابلة E قطريا (السؤال 5-أ)، فإنّ نظير N بالنسبة إلى (OB) هو بالضبط M. إذن M وN متناظرتان بالنسبة إلى (OB).

E مناظرة A بالنسبة إلى (OB)، إذن (OB) هو الموسّط العمودي لـ[AE]، أي (OB) ⊥ (AE). | M وN متناظرتان بالنسبة إلى (OB) (السؤال 5-ج)، إذن (OB) هو أيضا الموسّط العمودي لـ[MN]، أي (OB) ⊥ (MN). | بما أنّ (AE) و(MN) عموديان على نفس المستقيم (OB)، فإنّهما متوازيان: (AE) ∥ (MN).

A على المحور (AB): ثابتة، نظيرها A. | O تُنقل إلى O' (مناظرة O بالنسبة إلى (AB))، وM تُنقل إلى M' (مناظرة M بالنسبة إلى (AB)). | مناظر المثلث AOM هو إذن المثلث AO'M'، وهو متقايس معه (التناظر يحافظ على الأطوال والزوايا).

هذا بناء: الدائرة (C) شعاعها 3cm، والدائرة (C') شعاعها 2cm، ومركزاهما يبعدان عن بعضهما بـ 3cm.

شعاع (C) هو R = 3، وشعاع (C') هو r = 2، والبعد بين المركزين IJ = 3. | بما أنّ │R - r│ = 1 < IJ = 3 < R + r = 5، فإنّ الدائرتين (C) و(C') متقاطعتان في نقطتين.

IA = IB (كلاهما شعاع الدائرة (C) = 3)، إذن I تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[AB]. | JA = JB (كلاهما شعاع الدائرة (C') = 2)، إذن J تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[AB]. | بما أنّ I و J مختلفتان، فإنّ (IJ) هو الموسّط العمودي لـ[AB]، إذن A وB متناظرتان بالنسبة إلى (IJ).

(IJ) هو محور تناظر الشكل (اتحاد الدائرتين، أو الرباعي IAJB): فهو يُثبّت I وJ (مركزا الدائرتين، وهما على المحور)، ويحافظ إذن على كلّ من الدائرتين (C) و(C') كمجموعتين (لأنّ محورا يمرّ بمركز دائرة يحوّلها إلى نفسها)، ويبادل A وB (السؤال ج). إذن الشكل كاملا متناظر بالنسبة إلى (IJ).

هذا بناء: نرسم دائرتين لهما نفس الشعاع، متماستين من الخارج، نقطة تماسّهما I.

عند التماسّ الخارجي، تنتمي نقطة التماسّ I إلى القطعة [OO']، وIO يساوي شعاع (C)، وIO' يساوي شعاع (C'). | بما أنّ الدائرتين متقايستان (نفس الشعاع)، فإنّ IO = IO'. | وبما أنّ I ∈ [OO'] وIO = IO'، فإنّ I منتصف [OO'].

(Δ) هو الموسّط العمودي لـ[OO']؛ وبما أنّ I منتصف [OO'] (السؤال ب)، فإنّ (Δ) يمرّ بـ I ويكون عموديا على (OO').

(Δ) عمودي على (OO') في نقطة I، وI تنتمي إلى الدائرتين معا (هي نقطة التماسّ). | بما أنّ (Δ) عمودي على الشعاع [OI] في طرفه I الواقع على الدائرة (C)، فإنّ (Δ) مماسّة للدائرة (C) في I. | وبنفس الطريقة، (Δ) عمودي على الشعاع [O'I]، فهي مماسّة أيضا للدائرة (C') في I. | إذن (Δ) هي المماسّ المشترك للدائرتين (C) و(C') في نقطة تماسّهما I.

للشكل (اتحاد الدائرتين) محوران للتناظر: | 1) المستقيم (OO'): يمرّ بمركز كلّ دائرة فيحوّل كلّ واحدة منهما إلى نفسها. | 2) المستقيم (Δ): يبادل O وO' (بالبناء)، وبما أنّ الدائرتين متقايستان (نفس الشعاع)، فإنّ (Δ) يحوّل الدائرة (C) إلى الدائرة (C') والعكس، فيترك الشكل كاملا ثابتا.

AB = AD (ضلعا المربع)، إذن A تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[BD]. | CB = CD (ضلعا المربع)، إذن C تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[BD]. | بما أنّ A و C مختلفتان، فإنّ (AC) هو الموسّط العمودي لـ[BD].

بما أنّ (AC) هو الموسّط العمودي لـ[BD] (السؤال أ)، فإنّ التناظر بالنسبة إلى (AC) يبادل B وD، ويترك A وC ثابتتين (على المحور). | إذن هذا التناظر يحوّل المثلث ABC (رؤوسه A،B،C) إلى المثلث ADC (رؤوسه A،D،C): فهما متناظران بالنسبة إلى (AC).

في المربع، القطران متساويان ومتعامدان ويتناصفان: OA = OB = OC = OD، والزاوية AÔD = 90° (وكذلك BÔC = 90°، زاوية مقابلة بالرأس لها). | إذن المثلث OAD قائم الزاوية ومتساوي الساقين في O (OA = OD)، وكذلك المثلث OBC قائم الزاوية ومتساوي الساقين في O (OB = OC). وهما متقايسان.

بما أنّ (AB) ⊥ (AD) (زاوية المربع في A قائمة) و(Δ) ∥ (AB)، فإنّ (Δ) ⊥ (AD)، وكذلك (Δ) ⊥ (BC) (لأنّ (AD) ∥ (BC)). | و(Δ) يمرّ بمركز المربع O، فهو يمرّ بمنتصفي [AD] و[BC] (بحكم تناظر المربع)، فيكون الموسّط العمودي لكلّ من [AD] و[BC] معا. | إذن التناظر بالنسبة إلى (Δ) يبادل A وD، ويبادل B وC، فيحوّل المربع ABCD إلى المربع DCBA وهو نفسه: فـ (Δ) محور تناظر للمربع ABCD.

للمربع 4 محاور تناظر: القطران (AC) و(BD)، والمستقيمان الماران بمركزه O والموازيان لضلعيه (أحدهما (Δ) من السؤال د، والآخر مواز لـ(AD)).

هذا بناء (لا يتطلّب برهانا).

(Δ) هو الموسّط العمودي لـ[BC]، إذن التناظر بالنسبة إليه يبادل B وC، ويحوّل A إلى A' (بالبناء). | إذن هذا التناظر يحوّل الزاوية BAC (القائمة، 90°) إلى الزاوية CA'B، ويحافظ على قياسها. | إذن الزاوية CA'B = 90°: المثلث A'BC قائم الزاوية في A'.

التناظر يحافظ على الأطوال، ويحوّل [AB] إلى [A'C] و[AC] إلى [A'B] و[BC] إلى نفسها: إذن A'C = AB = 3 وA'B = AC = 4 وBC = 5. | محيط A'BC = A'B + A'C + BC = 4 + 3 + 5 = 12cm (نفس محيط ABC). | مساحة A'BC = ½ × A'B × A'C = ½ × 4 × 3 = 6cm² (نفس مساحة ABC).

التناظر بالنسبة إلى (Δ) يبادل B وC، ويبادل A وA'. | إذن نظير الزاوية ABA' (رأسها B، ضلعاها نحو A ونحو A') هو الزاوية التي رأسها C، ضلعاها نحو A' ونحو A، أي الزاوية ACA'. | وبما أنّ التناظر يحافظ على قياس الزوايا، فإنّ ABA' = ACA'.

التناظر بالنسبة إلى (Δ) يحوّل A' إلى A وB إلى C، إذن يحوّل المستقيم (A'B) إلى المستقيم (AC). وبما أنّه تحويل تقابلي (تبادلي)، فهو يحوّل أيضا (AC) إلى (A'B). | إذن هذا التناظر يبادل المستقيمين (A'B) و(AC)، فيحوّل نقطة تقاطعهما M إلى نقطة تنتمي إلى المستقيمين معا، أي إلى M نفسها (لأنّ تقاطع مستقيمين غير متوازيين نقطة وحيدة). | إذن M هي نقطة ثابتة بهذا التناظر، وبما أنّ النقاط الثابتة الوحيدة لتناظر محوري هي نقاط محوره، فإنّ M ∈ (Δ).

M ∈ (Δ) (السؤال 5-أ)، وA' مناظرة A بالنسبة إلى (Δ). | كلّ نقطة من محور تناظر تبعد بنفس المسافة عن نقطة ونظيرتها، إذن MA = MA'.

التناظر بالنسبة إلى (Δ) يحوّل A إلى A' وB إلى C، إذن يحوّل المستقيم (AB) إلى المستقيم (A'C). | P ∈ (Δ) (معطى)، إذن P ثابتة بهذا التناظر: نظيرها P نفسها. | وبما أنّ P ∈ (AB)، فإنّ نظيرها P ينتمي إلى نظير (AB) أي إلى (A'C). | إذن P ∈ (A'C)، أي أنّ C وA' وP على استقامة واحدة.

الطريقة 1 (بالمثلث متساوي الساقين): P ∈ (Δ) والموسّط العمودي لـ[BC]، إذن PB = PC: المثلث BPC متساوي الساقين في P. وM ∈ (Δ) أيضا (السؤال 5-أ)، ولمّا كان (Δ) يمرّ بمنتصف [BC] (خاصية الموسّط العمودي) وهو عمودي عليه، فإنّه في المثلث المتساوي الساقين BPC، المستقيم من الرأس P إلى منتصف القاعدة هو نفسه منصّف الزاوية في الرأس. وبما أنّ (Δ) = (PM)، فإنّ (PM) منصّف الزاوية BPC. | الطريقة 2 (بالتناظر مباشرة): التناظر بالنسبة إلى (Δ) يترك P ثابتة (P ∈ Δ) ويبادل B وC، إذن يحوّل نصف المستقيم [PB) إلى [PC). وكلّ تناظر محوري رأسه على محوره ويبادل ضلعي زاوية، فإنّ محوره ينصّف تلك الزاوية. إذن (Δ) = (PM) ينصّف الزاوية BPC.

بحكم تعريف الموسّط العمودي، (Δ) ⊥ (AB). | وفي المستطيل ABCD، (AB) ∥ (DC) (ضلعان متقابلان). | بما أنّ (Δ) ⊥ (AB) و(AB) ∥ (DC)، فإنّ (Δ) ⊥ (DC) أيضا.

(Δ) الموسّط العمودي لـ[AB]، إذن E منتصف [AB]: AE = AB ÷ 2 = 3. | بما أنّ الزاوية في A قائمة ((AD) ⊥ (AB))، و(Δ) ⊥ (AB) أيضا، فإنّ (AD) ∥ (Δ) أي (AD) ∥ (EF). وبما أنّ (AB) ∥ (DC)، فإنّ (AE) ∥ (DF). | إذن AEFD متوازي أضلاع، وله زاوية قائمة في A، فهو مستطيل. | وبما أنّ AE = 3 = AD (معطى)، فإنّ هذا المستطيل له ضلعان متجاوران متساويان: إذن AEFD مربع.

في المربع AEFD (السؤال ب)، DF = AE = 3 = AB ÷ 2 = DC ÷ 2 (لأنّ DC = AB = 6 في المستطيل). إذن F منتصف [DC]. | وبما أنّ (Δ) ⊥ (DC) (السؤال أ) ويمرّ بمنتصفه F، فإنّ (Δ) هو الموسّط العمودي لـ[CD].

(Δ) هو الموسّط العمودي لـ[AB] ولـ[CD] (السؤالان أ وج)، إذن التناظر بالنسبة إلى (Δ) يبادل A وB، ويبادل D وC، ويترك E وF ثابتتين (على المحور). | إذن هذا التناظر يحوّل المربع AEFD (رؤوسه A،E،F،D) إلى الرباعي B،E،F،C أي المربع EBCF: فهما متناظران بالنسبة إلى (Δ).

للمستطيل (غير المربع) محوران للتناظر فقط: (Δ) الموسّط العمودي لـ[AB] ولـ[CD] (المُنشأ في هذا التمرين)، والموسّط العمودي الآخر لـ[AD] ولـ[BC]. (أمّا القطران فليسا محوري تناظر في مستطيل غير مربع.)

T وU كلاهما على الدائرة (C) التي مركزها R وشعاعها 3، إذن TR = UR = 3: البعدان متساويان.

T وU كلاهما على الدائرة (C') التي مركزها S وشعاعها 6، إذن ST = SU = 6: نعم، S متقايسة البعد عن T وU.

R تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ[TU] (لأنّ RT = RU، السؤال 2-أ)، وS تنتمي إليه أيضا (لأنّ ST = SU، السؤال 2-ب). بما أنّ R وS مختلفتان، فإنّ (SR) هو بالضبط الموسّط العمودي لـ[UT]. الجواب: نعم.

بما أنّ (SR) هو الموسّط العمودي لـ[TU] (السؤال 2-ج)، فإنّ T وU متناظرتان بالنسبة إليه بحكم التعريف. الجواب: نعم.

ST = SU = 6 (السؤال 2-ب): المثلث STU متساوي الساقين في S. | التناظر بالنسبة إلى (SR) يبادل T وU (السؤال 2-د) ويترك S ثابتة (S على المحور، لأنّها مركز إحدى الدائرتين وR مركز الأخرى، والمحور يمرّ بمركزي دائرتين متقاطعتين). | إذن في المثلث المتساوي الساقين STU، المستقيم (SR) المارّ بالرأس S والعمودي على [TU] في منتصفه هو منصّف الزاوية TSU. الجواب: نعم، [SR) هو منصّف الزاوية UST.

نتحقّق بوضع إحداثيات موافقة للمعطيات: نأخذ B(0;0) وC(6;0) (BC = 6 على المحور الأفقي). بما أنّ AB = 5 وAC = 7، نجد A(1 ; 2√6) (لأنّ 1² + (2√6)² = 1 + 24 = 25 = 5²، و(1-6)² + 24 = 25 + 24 = 49 = 7²). | I منتصف [AB]: I(0,5 ; √6). J منتصف [AC]: J(3,5 ; √6). المستقيم (IJ) أفقي (ارتفاعه √6، وهو نصف ارتفاع A بالضبط، لأنّ B وC على ارتفاع 0). | نظير A بالنسبة إلى المستقيم الأفقي (IJ): يبقى الفاصول (x) كما هو ويتغيّر الارتفاع بحيث يصبح متناظرا حول √6، فنجد O(1 ; 0). | بما أنّ ترتيب O هو 0، فهي على المستقيم (BC) (المحور الأفقي)، وبما أنّ 0 ≤ 1 ≤ 6، فهي بين B وC: إذن O ∈ [BC]. تحقّق.

التناظر بالنسبة إلى (IJ) يحوّل A إلى O ويترك I وJ ثابتتين (على المحور). | إذن هذا التناظر يحوّل نصفي المستقيم [AI) و[AJ) إلى نصفي المستقيم [OI) و[OJ)، ويحافظ على قياس الزاوية بينهما. | وبما أنّ [AI) هو نفسه [AB) (لأنّ I ∈ [AB]) و[AJ) هو نفسه [AC) (لأنّ J ∈ [AC])، فإنّ الزاوية (AI,AJ) هي نفسها الزاوية (AB,AC). | إذن الزاويتان (OI,OJ) و(AB,AC) متقايستان.

IA = IB لأنّ I منتصف [AB] (معطى). | I على محور التناظر (IJ)، وO مناظرة A بالنسبة إليه، إذن IO = IA (كلّ نقطة من المحور تبعد بنفس المسافة عن نقطة ونظيرتها). | إذن IA = IB = IO.

JA = JC لأنّ J منتصف [AC] (معطى). وJ على محور التناظر (IJ)، وO مناظرة A، إذن JO = JA (كنفس السبب في السؤال د). | إذن JO = JA = JC: المثلث JOC متقايس الضلعين في J (JO = JC). | في مثلث متساوي الساقين، الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين متقايستان: الزاوية JOC (مقابلة لـ JC) = الزاوية JCO (مقابلة لـ JO). | وبما أنّ J ∈ [AC]، فـ [CJ) هو نفسه [CA)؛ وبما أنّ O ∈ [BC] (السؤال ب)، فـ [CO) هو نفسه [CB). إذن الزاوية JCO هي نفسها الزاوية ACB. | نستنتج: JOC = ACB.

بما أنّ O ∈ [BC] (السؤال ب)، فإنّ B وO وC على استقامة واحدة، والزاوية BOC مستقيمة (= 180°). | نصفا المستقيم [OI) و[OJ) يقعان بين [OB) و[OC)، فتُقسّم الزاوية المستقيمة BOC إلى ثلاث زوايا متتالية: BOI وIOJ وJOC. | إذن BOI + IOJ + JOC = BOC = 180°.

بنفس طريقة السؤال هـ (مع النقطة I بدل J)، يُثبت أنّ BOI = ABC (زاوية المثلث في B). ومن السؤال ج: IOJ = BAC (زاوية المثلث في A). ومن السؤال هـ: JOC = ACB (زاوية المثلث في C). | وبما أنّ BOI + IOJ + JOC = 180° (السؤال و)، نستنتج: ABC + BAC + ACB = 180°. | الخاصيّة المستنتجة: مجموع قياسات زوايا أيّ مثلث يساوي 180°.

بما أنّ (Δ) رأسي (عمودي على أفق الشبكة)، فإنّ نظير كلّ نقطة من الشكل يقع على نفس السطر الأفقي (نفس الارتفاع) وعلى بعد مساوٍ من (Δ) لكن في الجهة المقابلة (نفس عدد المربّعات أفقيا، من الجهة الأخرى). | الطريقة: لكلّ رأس من رؤوس الشكل المرسوم، نعدّ عدد مربّعات الشبكة الفاصلة بينه وبين (Δ) أفقيا، ثمّ نضع نقطة مقابلة على نفس المسافة (بنفس عدد المربّعات) من الجهة الأخرى لـ(Δ) وعلى نفس الارتفاع، ثمّ نصل بين النقاط الجديدة بنفس ترتيب وصل النقاط الأصلية، فنحصل على الجزء الناقص من الشكل، متناظرا مع الجزء المرسوم بالنسبة إلى (Δ).

نفس المبدإ: (Δ) رأسي، فنبني نظير كلّ قوس أو نقطة من الجزء المرسوم بأخذ نقاط على نفس الارتفاع وعلى نفس البعد الأفقي من (Δ) في الجهة المقابلة. | بما أنّ الأشكال المرسومة أقواس دائرية منطلقة من نقاط على (Δ) نفسه، فإنّ نظير كلّ قوس نصف‑دائري هو قوس نصف‑دائري بنفس الشعاع في الجهة الأخرى من (Δ)، لأنّ (Δ) يمرّ بمركز كلّ قوس من هذه الأقواس (النقطة التي ينطلق منها القوس على (Δ) تبقى ثابتة، والشعاع محفوظ بالتناظر).