تمارين حول التناظر المحوري

1

تمرين 1

الشكل الأصلي للتمرين

أنقل الشكل جانبه بحيث :

ABC مثلث و AB = 6 cm و ∠BAC = 70° و ∠ABC = 30°.

(D) مستقيم يمر من A.

أنشئ A′ و B′ و C′ مماثلات A و B و C على التوالي بالنسبة للمستقيم (D).
أثبت أن : A′B′ = 6 cm.
احسب معللا جوابك قيس الزاوية ∠A′C′B′.
لتكن E نقطة من المستقيم (AB) بحيث : E ∈ [AB].
أ) أنشئ E′ نظيرة E بالنسبة للمستقيم (D).
ب) أثبت أن النقط A′ و B′ و E′ مستقيمية.
حدد نظيرة الدائرة التي مركزها E وشعاعها EA.

💡 المرحلة 1 : تلميح

تذكّر أن التناظر المحوري يحافظ على الأطوال، ويحافظ على أقيسة الزوايا، ويحافظ على الاستقامة. والنقطة الواقعة على المحور تبقى ثابتة.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

نحدد أولا صور النقاط. بما أن A تنتمي إلى (D) فإن A′ = A. ثم نستعمل حفظ الطول لإثبات A′B′ = AB، ونستعمل مجموع زوايا المثلث لحساب الزاوية عند C ثم حفظ الزوايا. أما الدائرة فصورة مركزها هي E′ وشعاعها يبقى محفوظا.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن A ∈ (D) فإن A′ = A.

التناظر المحوري يحافظ على الأطوال، إذن : A′B′ = AB = 6 cm.

في المثلث ABC : ∠ACB = 180° - 70° - 30° = 80°. وبما أن التناظر يحافظ على الزوايا فإن : ∠A′C′B′ = 80°.

النقط A و B و E مستقيمية، وصورها بالتناظر هي A′ و B′ و E′، إذن هذه الصور مستقيمية.

نظيرة الدائرة مركزها E′ وشعاعها E′A′، وهو مساو لـ EA.

2

تمرين 2

ABCD متوازي الأضلاع مركزه O.

أنشئ A′ و C′ نظيرتي A و C على التوالي بالنسبة للمستقيم (BD).

ما هي نظيرة النقطة O بالنسبة للمستقيم (BD)؟ علّل جوابك.
بيّن أن النقط A′ و C′ و O مستقيمية.

💡 المرحلة 1 : تلميح

في متوازي الأضلاع، المركز O هو نقطة تقاطع القطرين، إذن O تنتمي إلى القطر (BD). وكل نقطة من المحور تبقى ثابتة بالتناظر المحوري.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

أثبت أولا أن O تنتمي إلى (BD)، ومنه صورتها هي نفسها. ثم لاحظ أن A و C و O مستقيمية لأن O ينتمي إلى القطر (AC). صورة المستقيم (AC) بالتناظر هي المستقيم المار بصور A و C و O.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن O مركز متوازي الأضلاع، فهو ينتمي إلى القطر (BD). وكل نقطة من محور التناظر تبقى ثابتة، لذلك نظيرة O هي O نفسها.

النقط A و O و C مستقيمية، وصورها بالنسبة إلى (BD) هي A′ و O و C′. وبما أن التناظر يحافظ على الاستقامة، فإن A′ و O و C′ مستقيمية.

3

تمرين 3

الشكل الأصلي للتمرين

نعتبر الشكل التالي :

أنشئ النقطة B نظيرة A بالنسبة للمستقيم (L).
قارن بين IB و IA. علّل جوابك.
نعتبر C′ نظيرة النقطة C بالنسبة للمستقيم (L).
أ) بيّن أن B و C′ و I نقط على استقامة واحدة.
ب) بيّن أن : ∠AC′B = ∠ACB.
ج) بيّن أن : (CC′) // (AB).
حدد نظير المستقيم (D) بالنسبة للمستقيم (L).

💡 المرحلة 1 : تلميح

إذا كانت نقطتان متناظرتين بالنسبة إلى محور، فإن هذا المحور هو الموسط العمودي للقطعة الواصلة بينهما. والنقطة I موجودة على المحور، لذلك تبقى ثابتة.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

أنشئ B بحيث يكون (L) الموسط العمودي لـ[AB]. عندها IA = IB. بما أن A و I و C مستقيمية وصورها هي B و I و C′، فإن B و I و C′ مستقيمية. القطعتان [AB] و[CC′] عموديتان على نفس المحور، إذن هما متوازيتان.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن B نظيرة A بالنسبة إلى (L) و I ∈ (L)، فإن IA = IB.

النقط A و I و C مستقيمية على المستقيم (D). صورها بالتناظر هي B و I و C′، إذن B و I و C′ مستقيمية.

التناظر يحافظ على الزوايا، لذلك نحصل على المساواة المطلوبة في الزوايا.

كل من (AB) و (CC′) عمودي على (L)، إذن (CC′) // (AB).

نظير المستقيم (D) هو المستقيم (BC′)، وهو يمر من I.

4

تمرين 4

الشكل الأصلي للتمرين

نعتبر الشكل جانبه :

أنشئ النقطة O′ نظيرة النقطة O بالنسبة للمستقيم (D).
ما هي نظيرة النقطة A بالنسبة للنقطة O؟
أنشئ الدائرة (C′) نظيرة الدائرة (C) بالنسبة للمستقيم (D).
باستعمال المسطرة فقط، أنشئ النقطة M′ نظيرة M بالنسبة للمستقيم (D) ثم علّل الجواب.
إذا علمت أن نصف قطر الدائرة يساوي 3 cm، فاحسب المسافة AM′.

💡 المرحلة 1 : تلميح

المستقيم (D) يمر من A وB. إذا كانت [AM] قطرا في الدائرة، فإن صورة M هي النقطة المقابلة على الدائرة المناظرة، والطول يحافظ عليه التناظر.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

صورة مركز الدائرة O هي O′ وصورة الدائرة هي دائرة مركزها O′ وبنفس نصف القطر. نظيرة A بالنسبة إلى O هي B لأن O منتصف [AB]. وبما أن A على المحور، فإن AM′ = AM. من الشكل AM قطر، إذن AM = 2r.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

نظيرة O هي O′ بحيث يكون (D) الموسط العمودي للقطعة [OO′].

نظيرة A بالنسبة إلى النقطة O هي B لأن O منتصف [AB].

نظيرة الدائرة (C) هي دائرة مركزها O′ ونصف قطرها يساوي نصف قطر الدائرة الأصلية، أي 3 cm.

بما أن A تقع على المحور (D)، فإن A تبقى ثابتة، والتناظر يحافظ على المسافات، لذلك AM′ = AM. ومن الشكل AM قطر في الدائرة، إذن AM = 2 × 3 = 6 cm. وبالتالي AM′ = 6 cm.

5

تمرين 5

الشكل الأصلي للتمرين

أنقل الشكل الآتي بحيث : [AB] قطعة و المستقيم (D) محورها و M نقطة من (D).

أنشئ النقطة K منتصف القطعة [BM].
أنشئ النقطة R نظيرة النقطة K بالنسبة للمستقيم (D).
أتمم ما يلي :
K منتصف [BM] إذن : = (1)
لدينا : R و K نظيرتان بالنسبة إلى (D)، و A و B نظيرتان بالنسبة إلى (D)، و M نظيرة نفسها.
استنتج أن R منتصف [AM].
بيّن أن : المستقيم (AB) يوازي المستقيم (KR).

💡 المرحلة 1 : تلميح

بما أن (D) محور [AB] فإن A وB متناظرتان. وبما أن M تنتمي إلى (D)، فهي تبقى ثابتة. صورة منتصف قطعة هي منتصف صورة تلك القطعة.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

K منتصف [BM]. صورة B هي A، وصورة M هي M، وصورة K هي R. إذن R منتصف صورة [BM]، أي منتصف [AM]. في المثلث ABM، K منتصف [BM] وR منتصف [AM]، فالقطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الضلع الثالث.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن K منتصف [BM] فإن : KB = KM.

بالتناظر بالنسبة إلى (D) : صورة B هي A، وصورة M هي M لأنها على المحور، وصورة K هي R. إذن صورة القطعة [BM] هي [AM]، وصورة منتصفها K هي منتصفها R. لذلك R منتصف [AM].

في المثلث ABM، لدينا K منتصف [BM] و R منتصف [AM]. إذن المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث، ومنه : (KR) // (AB).

6

تمرين 6

IJK مثلث و M نقطة من القطعة [JK].

(∆) مستقيم يمر من النقطة I.

B و N و C هي على التوالي نظائر النقط J و M و K بالنسبة للمستقيم (∆).

أنشئ الشكل.
حدد نظيرة النقطة I بالنسبة للمستقيم (∆).
برهن أن النقط B و N و C على استقامة واحدة.
قارن المسافتين JM و BN.

💡 المرحلة 1 : تلميح

النقطة التي تنتمي إلى محور التناظر تبقى ثابتة. كما أن صورة مستقيم بالتناظر مستقيم، وصورة قطعة لها نفس الطول.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

بما أن I تنتمي إلى (∆) فهي صورتها نفسها. ولأن J وM وK مستقيمية، فإن صورها B وN وC مستقيمية. أما الطول JM فصورته هي BN، لذلك هما متساويان.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن I ∈ (∆) فإن نظيرة I بالنسبة إلى (∆) هي I نفسها.

النقط J و M و K مستقيمية لأن M ∈ [JK]. صورها بالتناظر هي B و N و C. وبما أن التناظر يحافظ على الاستقامة، فإن B و N و C مستقيمية.

صورة القطعة [JM] هي القطعة [BN]، والتناظر يحافظ على الأطوال، إذن : JM = BN.

7

تمرين 7

ABC مثلث حيث : AB = 5 cm و AC = 7 cm و BC = 6 cm و M نقطة من [BC] حيث MB = 2,5 cm.

أنشئ E و F نظيرتي B و C على التوالي بالنسبة للمستقيم (AM).
أثبت أن : (FC) // (EB).
بيّن أن : EF = 6 cm.
حدد نظير المستقيم (AB) بالنسبة للمستقيم (AM).
حدد (C′) نظيرة الدائرة (C) التي مركزها A ونصف قطرها AB بالنسبة للمستقيم (AM) ثم استنتج أن : E ∈ (C′).

💡 المرحلة 1 : تلميح

التناظر المحوري يحافظ على التوازي والأطوال، وصورة المستقيم تمر من صور نقطتين منه. بما أن A على المحور، فإن صورته هي نفسه.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

B صورته E وC صورته F. صورة القطعة [BC] هي [EF] لذلك EF = BC = 6. صورة (AB) هي المستقيم (AE). أما الدائرة مركزها A، وبما أن A على المحور فإن مركزها يبقى A ونصف قطرها يبقى AB، لذلك صورتها هي نفسها تقريبا، وE صورة B المنتمي إليها.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بالتناظر بالنسبة إلى (AM)، صورة B هي E وصورة C هي F.

القطعتان [BE] و [CF] عموديتان على نفس المحور (AM)، لذلك : (BE) // (CF) أي (FC) // (EB).

صورة القطعة [BC] هي [EF]، والتناظر يحافظ على الأطوال، إذن : EF = BC = 6 cm.

صورة المستقيم (AB) هي المستقيم المار بصورتي A و B، أي (AE) لأن A على المحور.

الدائرة مركزها A وشعاعها AB. صورة مركزها هي A وصورة النقطة B هي E، إذن الدائرة المناظرة مركزها A وشعاعها AE. وبما أن AE = AB فإن E ∈ (C′).

8

تمرين 8

ABCD متوازي الأضلاع مركزه I.

أنشئ النقطة E نظيرة B بالنسبة للنقطة C.
المستقيم (IE) يقطع [CD] في النقطة F. بيّن أن F مركز ثقل المثلث DBE.

💡 المرحلة 1 : تلميح

نظيرة B بالنسبة إلى C تعني أن C منتصف [BE]. ومركز متوازي الأضلاع I هو منتصف [BD]. في المثلث DBE، تقاطع متوسطين هو مركز الثقل.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

في المثلث DBE: بما أن C منتصف [BE]، فإن (DC) متوسط. وبما أن I منتصف [BD]، فإن (EI) متوسط. يتقاطع المتوسطان في F، إذن F مركز ثقل المثلث.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن E نظيرة B بالنسبة إلى النقطة C، فإن C منتصف [BE].

وبما أن I مركز متوازي الأضلاع ABCD، فهو منتصف القطر [BD].

في المثلث DBE، المستقيم (DC) متوسط لأنه يمر من الرأس D ومن منتصف [BE]، والمستقيم (EI) متوسط لأنه يمر من الرأس E ومن منتصف [BD]. وبما أن F هو تقاطع هذين المتوسطين، فإن F مركز ثقل المثلث DBE.

9

تمرين 9

(C) دائرة مركزها O ونصف قطرها 2 cm.

A و B نقطتان من الدائرة (C) غير متقابلتين قطريا.

E نقطة من الدائرة (C) بحيث AEB مثلث قائم الزاوية في A.

أنشئ O′ نظيرة O بالنسبة للمستقيم (AB).
أنشئ F نظيرة E بالنسبة للمستقيم (AB).
حدد نظيرة الدائرة (C) بالنسبة للمستقيم (AB) مع الإنشاء.
أثبت أن : BE = BF.
بيّن أن A منتصف [EF].

💡 المرحلة 1 : تلميح

النقطتان A وB تنتميان إلى محور التناظر (AB)، لذلك تبقيان ثابتتين. وصورة E هي F. استعمل حفظ المسافات والزاوية القائمة عند A.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

بما أن B على المحور، فالمسافة من B إلى E تساوي المسافة من B إلى صورة E أي F. وبما أن A أيضا على المحور و ∠EAB قائمة، فإن (EA) عمودي على المحور، وصورة E على نفس المستقيم من الجهة الأخرى مع AE = AF، لذلك A منتصف [EF].

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

نظيرة الدائرة (C) هي دائرة مركزها O′ ونصف قطرها 2 cm.

بما أن B ∈ (AB)، فإن B تبقى ثابتة بالتناظر. وبما أن F نظيرة E، فإن التناظر يحافظ على المسافات، ومنه : BE = BF.

كذلك A ∈ (AB)، وبما أن المثلث AEB قائم في A، فإن (AE) ⟂ (AB). صورة E هي F على العمود نفسه، و AE = AF. إذن A منتصف [EF].

10

تمرين 10

ABC مثلث و I منتصف [BC].

لتكن J نظيرة C بالنسبة للنقطة A.

ارسم شكلا مناسبا.
أثبت أن المستقيم (AI) يوازي المستقيم (BJ).
المستقيم المار من A والموازي للمستقيم (BC) يقطع [BJ] في K. أثبت أن K منتصف [BJ].

💡 المرحلة 1 : تلميح

J نظيرة C بالنسبة إلى A تعني أن A منتصف [CJ]. استعمل نظرية منتصفي ضلعين في المثلث BCJ.

🧭 المرحلة 2 : الطريقة

في المثلث BCJ، لدينا A منتصف [CJ] وI منتصف [BC]. إذن المستقيم (AI) يوازي الضلع الثالث (BJ). ثم في المثلث BJ C، المستقيم المار من منتصف [CJ] والموازي لـ(BC) يقطع [BJ] في منتصفه K.

✅ المرحلة 3 : التصحيح المفصّل

بما أن J نظيرة C بالنسبة إلى النقطة A، فإن A منتصف [CJ].

في المثلث BCJ، لدينا I منتصف [BC] و A منتصف [CJ]. إذن حسب نظرية منتصفي ضلعين في مثلث : (AI) // (BJ).

المستقيم المار من A والموازي لـ (BC) يقطع [BJ] في K. وفي المثلث BCJ، بما أن A منتصف [CJ] وهذا المستقيم مواز لـ (BC)، فإنه يقطع الضلع الثالث [BJ] في منتصفه. لذلك K منتصف [BJ].