تمارين الرياضيات - السابعة أساسي

التمرين 1

⭐⭐ متوسط

تمرين عدد 2:

1) عوّض كل نقطة بالرقم المناسب ليكون العدد $7 \bullet 3 \bullet \bullet$ قابلاً للقسمة على 9 و 25 في نفس الوقت
(مقدماً جميع الحلول)

2) من بين الحلول السابقة أذكر الأعداد الذي باقي قسمتها على 4 هو 2

3) حدد قواسم العدد 64

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

القابلية للقسمة على 9: عدد قابل للقسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9
القابلية للقسمة على 25: عدد قابل للقسمة على 25 إذا كانت آخر خانتين منه تكونان عدداً قابلاً للقسمة على 25 (00, 25, 50, 75)
القابلية للقسمة على 4: عدد قابل للقسمة على 4 إذا كان العدد المكون من آخر خانتين قابلاً للقسمة على 4
باقي القسمة على 4 يساوي 2: أي أن العدد = 4k + 2 لعدد صحيح k
قواسم عدد: هي الأعداد التي تقسمه بدون باقي

منهجية الحل

السؤال 1:

الصيغة: $7 \bullet 3 \bullet \bullet$ أي $7a3bc$ حيث a، b، c أرقام من 0 إلى 9
شرط القابلية للقسمة على 25: آخر خانتين $bc$ يجب أن تكون: 00، 25، 50، 75
الحالات الممكنة: $7a300$، $7a325$، $7a350$، $7a375$
شرط القابلية للقسمة على 9: مجموع الأرقام = $7 + a + 3 + b + c$ قابل للقسمة على 9
$10 + a + b + c$ قابل للقسمة على 9
نطبق على كل حالة:
- $7a300$: $10 + a + 0 + 0 = 10 + a$ قابل للقسمة على 9 → $a = 8$ → العدد: $78300$
- $7a325$: $10 + a + 2 + 5 = 17 + a$ قابل للقسمة على 9 → $a = 1$ → العدد: $71325$
- $7a350$: $10 + a + 5 + 0 = 15 + a$ قابل للقسمة على 9 → $a = 3$ → العدد: $73350$
- $7a375$: $10 + a + 7 + 5 = 22 + a$ قابل للقسمة على 9 → $a = 5$ → العدد: $75375$

السؤال 2:

نختبر كل عدد من الحلول السابقة:
$78300 \div 4 = 19575$ (قابل للقسمة، الباقي = 0)
$71325 \div 4 = 17831$ والباقي $1$ (الباقي = 1)
$73350 \div 4 = 18337$ والباقي $2$ ✓
$75375 \div 4 = 18843$ والباقي $3$ (الباقي = 3)

السؤال 3:

نفكك 64 إلى جداء عوامل أولية: $64 = 2^6$
قواسم 64 هي: $2^0، 2^1، 2^2، 2^3، 2^4، 2^5، 2^6$
أي: 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64

الحل النهائي

الحل 1:

العدد: $7a3bc$ حيث a، b، c أرقام

شرط القسمة على 25: آخر خانتين $(bc)$ يجب أن تكون: 00، 25، 50، 75

شرط القسمة على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9
$7 + a + 3 + b + c = 10 + a + b + c$ قابل للقسمة على 9

الحالة 1: $bc = 00$ → $7a300$
$10 + a + 0 + 0 = 10 + a$ قابل للقسمة على 9
$a = 8$ (لأن $10 + 8 = 18$)
العدد الأول: $\boxed{78300}$

الحالة 2: $bc = 25$ → $7a325$
$10 + a + 2 + 5 = 17 + a$ قابل للقسمة على 9
$a = 1$ (لأن $17 + 1 = 18$)
العدد الثاني: $\boxed{71325}$

الحالة 3: $bc = 50$ → $7a350$
$10 + a + 5 + 0 = 15 + a$ قابل للقسمة على 9
$a = 3$ (لأن $15 + 3 = 18$)
العدد الثالث: $\boxed{73350}$

الحالة 4: $bc = 75$ → $7a375$
$10 + a + 7 + 5 = 22 + a$ قابل للقسمة على 9
$a = 5$ (لأن $22 + 5 = 27$)
العدد الرابع: $\boxed{75375}$

الأعداد المطلوبة: 78300، 71325، 73350، 75375

الحل 2:

باقي القسمة على 4 = 2 يعني آخر خانتين تعطي باقي 2 عند القسمة على 4

• $78300$: آخر خانتين = 00 → $0 \div 4 = 0$ (باقي 0) ✗
• $71325$: آخر خانتين = 25 → $25 \div 4 = 6$ (باقي 1) ✗
• $73350$: آخر خانتين = 50 → $50 \div 4 = 12$ (باقي 2) ✓
• $75375$: آخر خانتين = 75 → $75 \div 4 = 18$ (باقي 3) ✗

الجواب: العدد الوحيد هو $\boxed{73350}$

الحل 3:

$64 = 2^6$

قواسم $2^6$ هي جميع قوى 2 من $2^0$ إلى $2^6$:
$2^0 = 1$
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$

قواسم 64: $\boxed{1، 2، 4، 8، 16، 32، 64}$

قواعد القابلية للقسمة أدوات قوية لحل المسائل الحسابية بدون حاجة لإجراء القسمة الفعلية

التمرين 2

⭐⭐⭐ صعب

تمرين عدد 3:

نعتبر العددين $m = (5^2)^2 \times 75 \times 27$ و $n = 4^3 \times 100 + 25 \times 64$

1) أ) فكك إلى جداء عوامل أولية الأعداد 27 و 75 ثم استنتج أن $m = 5^6 \times 3^4$

ب) بين أن $9m$ هو مكعب لعدد صحيح طبيعي.

2) أ) اكتب $n$ في صيغة جداء عوامل ثم في صيغة جداء عوامل أولية

ب) بين أن $n$ هو مكعب لعدد صحيح طبيعي $b$ أذكره

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

القوى: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
التفكيك: نفكك كل عدد إلى جداء أعداد أولية
المكعب: عدد هو مكعب إذا كانت جميع أسس عوامله الأولية قابلة للقسمة على 3

منهجية الحل

السؤال 1أ:

$27 = 3^3$
$75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3$
$m = (5^2)^2 \times 75 \times 27$
$m = 5^4 \times (5^2 \times 3) \times 3^3$
$m = 5^4 \times 5^2 \times 3 \times 3^3$
$m = 5^{4+2} \times 3^{1+3}$
$m = 5^6 \times 3^4$

السؤال 1ب:

$9m = 9 \times 5^6 \times 3^4 = 3^2 \times 5^6 \times 3^4 = 5^6 \times 3^6$
$9m = (5^2)^3 \times (3^2)^3 = (5^2 \times 3^2)^3 = (25 \times 9)^3 = 225^3$
إذن $9m$ هو مكعب العدد 225

السؤال 2أ:

$n = 4^3 \times 100 + 25 \times 64$
$= 64 \times 100 + 25 \times 64$
$= 64(100 + 25)$
$= 64 \times 125$
جداء عوامل أولية:
$64 = 2^6$
$125 = 5^3$
$n = 2^6 \times 5^3$

السؤال 2ب:

$n = 2^6 \times 5^3 = (2^2)^3 \times 5^3 = 4^3 \times 5^3 = (4 \times 5)^3 = 20^3$
إذن $n$ هو مكعب العدد $b = 20$

الحل النهائي

الحل 1أ:

تفكيك 27: $27 = 3 \times 9 = 3 \times 3^2 = 3^3$
تفكيك 75: $75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3$

$m = (5^2)^2 \times 75 \times 27$
$= 5^{2 \times 2} \times (5^2 \times 3) \times 3^3$
$= 5^4 \times 5^2 \times 3 \times 3^3$
$= 5^{4+2} \times 3^{1+3}$
$= 5^6 \times 3^4$ ✓

الحل 1ب:

$9m = 9 \times 5^6 \times 3^4$
$= 3^2 \times 5^6 \times 3^4$
$= 5^6 \times 3^{2+4}$
$= 5^6 \times 3^6$
$= (5 \times 3)^6$ خطأ، التصحيح:
$= (5^2)^3 \times (3^2)^3$
$= (5^2 \times 3^2)^3$
$= (25 \times 9)^3$
$= 225^3$

إذن $9m = 225^3$ (مكعب العدد 225)

الحل 2أ:

$n = 4^3 \times 100 + 25 \times 64$

صيغة جداء عوامل:
$= 64 \times 100 + 25 \times 64$ (لأن $4^3 = 64$)
$= 64(100 + 25)$ (نخرج العامل المشترك 64)
$= 64 \times 125$

صيغة جداء عوامل أولية:
$64 = 2^6$
$125 = 5^3$

$n = 2^6 \times 5^3$

الحل 2ب:

$n = 2^6 \times 5^3$
$= (2^2)^3 \times 5^3$
$= 4^3 \times 5^3$
$= (4 \times 5)^3$
$= 20^3$

النتيجة: $n$ هو مكعب العدد الصحيح الطبيعي $b = 20$

لمعرفة إذا كان عدد مكعباً: نكتبه في صيغة جداء عوامل أولية، إذا كانت جميع الأسس قابلة للقسمة على 3، فالعدد مكعب

التمرين 3

⭐⭐⭐ صعب

تمرين رقم 3:

في الرسم التالي: (ج) دائرة مركزها $O$ وشعاعها $OA = 4cm$
$B$ نقطة من الدائرة (ج) حيث: $\widehat{OAB} = 30°$

1) أ) احسب $\widehat{AOB}$

ب) عين النقطة $H$ منتصف القطعة $[AB]$
احسب $\widehat{OHB}$ علل جوابك

2) أ) عين $I$ منتصف $[OB]$ وأحسب $HI$

ب) احسب $\widehat{BHI}$ معللاً الإجابة

3) المستقيم $(OB)$ يقطع الدائرة (ج) في نقطة ثانية $D$
$[OA]$ و $[DH]$ يتقاطعان في نقطة $G$
ما ذا تمثل النقطة $G$ بالنسبة إلى المثلث $ABD$؟ علل جوابك

4) المستقيم $(BG)$ يقطع $[AD]$ في نقطة $J$. بين أن $J$ منتصف $[AD]$

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

المثلث متساوي الساقين: $OA = OB$ (شعاعا الدائرة)
الوسيط في مثلث متساوي الساقين: هو أيضاً ارتفاع ووسط عمودي
مجموع زوايا المثلث: 180°
مركز الثقل: نقطة تقاطع وسطاء المثلث

منهجية الحل

السؤال 1أ:

المثلث $OAB$ متساوي الساقين لأن $OA = OB = 4cm$ (شعاعا الدائرة)
إذن $\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 30°$
$\widehat{AOB} + 30° + 30° = 180°$
$\widehat{AOB} = 120°$

السؤال 1ب:

في المثلث متساوي الساقين $OAB$، الوسيط من الرأس $O$ عمودي على القاعدة
$H$ منتصف $[AB]$، إذن $(OH)$ وسيط
$(OH) \perp (AB)$
$\widehat{OHB} = 90°$

الحل النهائي

الحل 1أ:

$OA = OB = 4cm$ (شعاعا نفس الدائرة)
إذن المثلث $OAB$ متساوي الساقين في $O$

في المثلث متساوي الساقين، زاويتا القاعدة متساويتان:
$\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 30°$

مجموع زوايا المثلث = 180°:
$\widehat{AOB} + \widehat{OAB} + \widehat{OBA} = 180°$
$\widehat{AOB} + 30° + 30° = 180°$
$\widehat{AOB} = 120°$

الحل 1ب:

$H$ منتصف $[AB]$ (معطى)
المثلث $OAB$ متساوي الساقين في $O$

في المثلث متساوي الساقين، الوسيط من الرأس عمودي على القاعدة
$(OH)$ وسيط من $O$ إلى القاعدة $[AB]$
إذن $(OH) \perp (AB)$ في $H$

النتيجة: $\widehat{OHB} = 90°$

هذا التمرين يجمع بين خصائص الدائرة، المثلث متساوي الساقين، ومركز الثقل. يتطلب رسماً دقيقاً لفهم العلاقات الهندسية

التمرين 4

⭐⭐ متوسط

التمرين رقم 3:

1/ ارسم مثلثاً $ABC$ بحيث $AB = 6cm$ و $\widehat{ABC} = 70°$ و $\widehat{BAC} = 55°$

2/ احسب $\widehat{ACB}$ علل جوابك

3/ ما هي طبيعة المثلث $ABC$؟ علل جوابك

4/ ارسم $[BH]$ ارتفاع المثلث $ABC$ الموافق للضلع $[AC]$
أ/ ما هو نوع المثلث $ABH$؟ علل جوابك

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

مجموع زوايا المثلث = 180°
المثلث الحاد: جميع زواياه أقل من 90°
المثلث القائم في ارتفاعه يحتوي على زاوية قائمة

منهجية الحل

السؤال 2:

$\widehat{ACB} = 180° - 70° - 55° = 55°$

السؤال 3:

$\widehat{BAC} = \widehat{ACB} = 55°$
المثلث له زاويتان متساويتان
إذن المثلث متساوي الساقين

الحل النهائي

الحل 2:

مجموع زوايا المثلث = 180°
$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°$
$55° + 70° + \widehat{ACB} = 180°$
$\widehat{ACB} = 180° - 125° = 55°$

الحل 3:

$\widehat{BAC} = \widehat{ACB} = 55°$
المثلث الذي له زاويتان متساويتان هو مثلث متساوي الساقين
إذن $AB = BC$

طبيعة المثلث: متساوي الساقين في $B$

التمرين 5

⭐⭐⭐ صعب

تمرين عدد 3:

ابن مثلثاً $ABC$ بحيث $AB = 8cm$ و $\widehat{CAB} = 50°$ و $\widehat{ABC} = 70°$

2) ليكن $[CI]$ الوسيط الصادر من $C$ والموافق لـ $[AB]$ و $[CH]$ الارتفاع الصادر من $C$ والموافق للضلع $[AB]$
أ- احسب $AI$ معللاً جوابك
ب- احسب $\widehat{BCH}$ معللاً جوابك

3) أ- لتكن $K$ المسقط العمودي لـ $I$ على $(AC)$
ب- المستقيمان $(CH)$ و $(IK)$ يتقاطعان في النقطة $O$
ماذا تمثل النقطة $O$ بالنسبة للمثلث $AIC$؟ علل جوابك

4) بين أن المستقيمين $(CI)$ و $(OA)$ متعامدان

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

الوسيط: يصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل
الارتفاع: عمودي من رأس على الضلع المقابل
المركز القائم: نقطة تقاطع الارتفاعات

منهجية الحل

السؤال 2أ:

$I$ منتصف $[AB]$ (لأن $CI$ وسيط)
$AI = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4cm$

السؤال 2ب:

في المثلث القائم $BCH$: $\widehat{BCH} = 90° - 70° = 20°$

الحل النهائي

الحل 2أ:

$[CI]$ وسيط من $C$ موافق لـ $[AB]$
إذن $I$ منتصف $[AB]$
$AI = \frac{AB}{2} = \frac{8cm}{2} = 4cm$

الحل 2ب:

$[CH]$ ارتفاع، إذن $(CH) \perp (AB)$ في $H$
في المثلث القائم $BCH$ (قائم في $H$):
$\widehat{BCH} + \widehat{HBC} = 90°$
$\widehat{BCH} = 90° - \widehat{ABC} = 90° - 70° = 20°$

تمارين الرياضيات - الجزء 3

السابعة أساسي - البرنامج التونسي