تمارين الهندسة

السابعة أساسي - البرنامج التونسي

مجموعة تمارين متنوعة في الهندسة المستوية تشمل المثلثات، النقاط المميزة، الوسط العمودي، والتناظر المحوري

التمرين 1

⭐⭐ متوسط

لدينا $ABC$، $I$ منتصف $[AC]$ و $J$ منتصف $[BC]$

1) ليكن $\Delta$ المستقيم المار من $I$ والعمودي على $(AC)$ و المستقيم $\Delta'$ الوسط العمودي لـ $[AB]$
وليكن $O$ نقطة تقاطع المستقيمين $\Delta$ و $\Delta'$
ماذا تمثل النقطة $O$ بالنسبة إلى المثلث $ABC$؟ علل جوابك

2) أ- بين أن النقطتين $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$

ب- حدد معللاً جوابك مناظرة الزاوية $\widehat{COJ}$ بالنسبة إلى $(OJ)$

ج- ليكن $(Cx)$ منصف الزاوية $\widehat{OCB}$ وليكن $E$ نقطة تقاطع المستقيمين $(Cx)$ و $(OJ)$
ماذا تمثل النقطة $E$ بالنسبة إلى المثلث $OBC$؟ علل جوابك

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

للسؤال 1: تذكر تعريف الوسط العمودي: كل نقطة على الوسط العمودي لقطعة مستقيم تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة
للسؤال 2أ: للتحقق من التناظر المحوري، يجب إثبات أن $(OJ)$ عمودي على $[BC]$ وأن $J$ منتصف $[BC]$
للسؤال 2ب: مناظرة زاوية بالنسبة لمحور هي الزاوية التي لها نفس القيس وتقع في الجهة المقابلة
للسؤال 2ج: نقطة تقاطع منصفات زوايا مثلث تسمى مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

منهجية الحل

السؤال 1:

نعلم أن $\Delta$ هو الوسط العمودي لـ $[AC]$ (لأنه يمر من منتصف $I$ ويكون عمودياً)
إذن كل نقطة على $\Delta$ تبعد بنفس المسافة عن $A$ و $C$
بما أن $O$ تقع على $\Delta$، فإن: $OA = OC$
وبما أن $O$ تقع على $\Delta'$ (الوسط العمودي لـ $[AB]$)، فإن: $OA = OB$
بالتالي: $OA = OB = OC$
الاستنتاج: $O$ هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$

السؤال 2أ:

نعلم أن $J$ منتصف $[BC]$ (معطى)
نحتاج لإثبات أن $(OJ)$ عمودي على $(BC)$
بما أن $OB = OC$ (من السؤال 1)، فإن $O$ تقع على الوسط العمودي لـ $[BC]$
وبما أن الوسط العمودي لقطعة يمر من منتصفها، فإن $(OJ) \perp (BC)$
الاستنتاج: $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$

السؤال 2ب:

بما أن $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$
فإن مناظرة الزاوية $\widehat{COJ}$ هي الزاوية $\widehat{BOJ}$

السؤال 2ج:

$(Cx)$ هو منصف الزاوية $\widehat{OCB}$
$E$ تقع على $(OJ)$ الذي هو وسط عمودي لـ $[BC]$
بما أن $E$ تقع على منصف زاوية ووسط عمودي لضلع المثلث
الاستنتاج: $E$ هي نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث $OBC$، أي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث

الحل النهائي

الحل 1:

بما أن $\Delta$ يمر من منتصف $I$ لـ $[AC]$ ويكون عمودياً على $(AC)$، فإن $\Delta$ هو الوسط العمودي لـ $[AC]$
كل نقطة على الوسط العمودي تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة
$O \in \Delta \Rightarrow OA = OC$ ... (1)

بما أن $\Delta'$ هو الوسط العمودي لـ $[AB]$
$O \in \Delta' \Rightarrow OA = OB$ ... (2)

من (1) و (2): $OA = OB = OC$

النتيجة: $O$ هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$

الحل 2أ:

من السؤال 1: $OB = OC$
إذن $O$ تقع على الوسط العمودي لـ $[BC]$
بما أن $J$ منتصف $[BC]$ (معطى)
فإن الوسط العمودي لـ $[BC]$ يمر من $J$ ويكون عمودياً على $(BC)$
أي $(OJ) \perp (BC)$ و $J$ منتصف $[BC]$

النتيجة: $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$

الحل 2ب:

بالتناظر المحوري بالنسبة إلى $(OJ)$:
صورة $C$ هي $B$
صورة $O$ هي $O$ (لأن $O \in (OJ)$)
صورة $J$ هي $J$ (لأن $J \in (OJ)$)

النتيجة: مناظرة $\widehat{COJ}$ هي $\widehat{BOJ}$

الحل 2ج:

$(Cx)$ منصف $\widehat{OCB}$ و $E \in (Cx)$
$(OJ)$ هو الوسط العمودي لـ $[BC]$ و $E \in (OJ)$
في المثلث $OBC$:
• $E$ تقع على منصف الزاوية $\widehat{OCB}$
• $(OJ)$ هو ارتفاع من $O$ (لأنه عمودي على $BC$)
• بما أن $OB = OC$، فالمثلث $OBC$ متساوي الساقين
• في المثلث متساوي الساقين، الارتفاع من الرأس هو أيضاً منصف للزاوية

النتيجة: $E$ هو نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث $OBC$، أي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث

النقاط المميزة في المثلث متساوي الساقين: في المثلث متساوي الساقين، الوسط العمودي للقاعدة يكون أيضاً منصفاً للزاوية في الرأس وارتفاعاً

التمرين 2

⭐⭐⭐ صعب

ابن مثلثاً $ABC$ بحيث $AB = 8cm$ و $\widehat{CAB} = 50°$ و $\widehat{ABC} = 70°$

1) عين النقطة $I$ منتصف $[AB]$ والنقطة $H$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$
أ- ماذا تمثل قطعة المستقيم $[CI]$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك
ب- ماذا تمثل قطعة المستقيم $[CH]$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك
ج- احسب $\widehat{BCH}$ معللاً جوابك

2) أ- لتكن النقطة $K$ حيث $[AK]$ الارتفاع الصادر من $A$ في المثلث $ABC$
ب- المستقيمان $(CH)$ و $(AK)$ يتقاطعان في النقطة $O$
ماذا تمثل النقطة $O$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك
ج- استنتج أن المستقيمين $(AC)$ و $(OB)$ متعامدان

3) ابن المستقيم $\Delta$ الوسط العمودي لـ $[AC]$ الذي يقطع $(AC)$ في نقطة $J$
المستقيم $(BJ)$ يقطع $(CI)$ في نقطة $G$
أ- ماذا تمثل النقطة $G$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك
ب- عين النقطة $E$ منتصف $[BC]$. بين أن النقاط $E$ و $G$ و $A$ على استقامة واحدة

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

مفاهيم أساسية:
- الوسيط في مثلث: قطعة مستقيم تصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل
- الارتفاع في مثلث: قطعة مستقيم عمودي من رأس على الضلع المقابل
- المركز القائم: نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث
- مركز الثقل: نقطة تقاطع وسطاء المثلث
للسؤال 1ج: في مثلث قائم، إحدى الزاويتين الحادتين تكمل الأخرى إلى 90°
للسؤال 2ج: إذا كانت $O$ مركزاً قائماً، فالارتفاع الثالث $(OB)$ يكون عمودياً على $(AC)$
للسؤال 3: في مثلث، الوسطاء الثلاثة يتقاطعون في نقطة واحدة هي مركز الثقل

منهجية الحل

السؤال 1أ:

$I$ منتصف $[AB]$ (معطى)
$[CI]$ تصل الرأس $C$ بمنتصف الضلع المقابل $[AB]$
النتيجة: $[CI]$ هو وسيط المثلث $ABC$ من الرأس $C$

السؤال 1ب:

$H$ هو المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$، أي $(CH) \perp (AB)$
$[CH]$ عمودي على $[AB]$ ويصل الرأس $C$ بالضلع المقابل
النتيجة: $[CH]$ هو ارتفاع المثلث $ABC$ من الرأس $C$

السؤال 1ج:

في المثلث $ABC$: $\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°$
$\widehat{ACB} = 180° - 50° - 70° = 60°$
في المثلث القائم $BCH$ (قائم في $H$):
$\widehat{BCH} + \widehat{HBC} = 90°$
$\widehat{BCH} = 90° - \widehat{ABC} = 90° - 70° = 20°$

السؤال 2أ و 2ب:

$(CH)$ ارتفاع من $C$ (من السؤال 1ب)
$(AK)$ ارتفاع من $A$ (معطى)
$O$ نقطة تقاطع $(CH)$ و $(AK)$
النتيجة: $O$ هو المركز القائم للمثلث $ABC$ (نقطة تقاطع الارتفاعات)

السؤال 2ج:

بما أن $O$ هو المركز القائم، فالارتفاع الثالث يمر من $O$
الارتفاع الثالث هو من $B$ وعمودي على $(AC)$
إذن $(OB) \perp (AC)$

السؤال 3أ:

$[CI]$ وسيط من $C$ (من السؤال 1أ)
$J$ منتصف $[AC]$ و $(BJ)$ يصل $B$ بمنتصف $[AC]$
إذن $[BJ]$ وسيط من $B$
$G$ نقطة تقاطع وسيطين
النتيجة: $G$ هو مركز ثقل المثلث $ABC$

السؤال 3ب:

$E$ منتصف $[BC]$ (معطى)
$[AE]$ يصل $A$ بمنتصف $[BC]$، إذن $[AE]$ وسيط من $A$
الوسطاء الثلاثة تتقاطع في مركز الثقل $G$
إذن $G \in (AE)$
النتيجة: $A$، $G$، $E$ على استقامة واحدة

الحل النهائي

البناء الهندسي:

1. نرسم $[AB]$ بطول $8cm$
2. من $A$ نرسم زاوية قيسها $50°$
3. من $B$ نرسم زاوية قيسها $70°$
4. نقطة تقاطع الضلعين تعطي $C$
5. نعين $I$ منتصف $[AB]$ و $H$ مسقط $C$ على $(AB)$

الحل 1أ:

$I$ منتصف $[AB]$
$[CI]$ يصل الرأس $C$ بمنتصف الضلع المقابل $[AB]$

النتيجة: $[CI]$ هو وسيط المثلث $ABC$ من الرأس $C$

الحل 1ب:

$H$ هو المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$
إذن $(CH) \perp (AB)$ في النقطة $H$

النتيجة: $[CH]$ هو ارتفاع المثلث $ABC$ من الرأس $C$

الحل 1ج:

في المثلث القائم $BCH$ (قائم في $H$):
$\widehat{BCH} + \widehat{CBH} = 90°$ (زاويتان حادتان في مثلث قائم)
$\widehat{CBH} = \widehat{ABC} = 70°$
$\widehat{BCH} = 90° - 70° = 20°$

النتيجة: $\widehat{BCH} = 20°$

الحل 2أ وب:

• $(CH)$ ارتفاع من الرأس $C$ (عمودي على $AB$)
• $(AK)$ ارتفاع من الرأس $A$ (عمودي على $BC$)
• $O$ نقطة تقاطع $(CH)$ و $(AK)$
• نقطة تقاطع ارتفاعين من ارتفاعات المثلث هي المركز القائم

النتيجة: $O$ هو المركز القائم للمثلث $ABC$

الحل 2ج:

بما أن $O$ هو المركز القائم للمثلث $ABC$
فإن الارتفاعات الثلاثة تمر من $O$
الارتفاع الثالث هو من الرأس $B$ وعمودي على الضلع $(AC)$
إذن المستقيم $(OB)$ عمودي على $(AC)$

النتيجة: $(AC) \perp (OB)$

الحل 3أ:

• $[CI]$ وسيط من $C$ (لأن $I$ منتصف $[AB]$)
• $\Delta$ وسط عمودي لـ $[AC]$ يقطع $(AC)$ في $J$
• إذن $J$ منتصف $[AC]$
• $[BJ]$ يصل $B$ بمنتصف $[AC]$، إذن $[BJ]$ وسيط من $B$
• $G$ نقطة تقاطع $(CI)$ و $(BJ)$، أي تقاطع وسيطين
• وسطاء المثلث تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الثقل

النتيجة: $G$ هو مركز ثقل المثلث $ABC$

الحل 3ب:

$E$ منتصف $[BC]$ (معطى)
$[AE]$ يصل الرأس $A$ بمنتصف الضلع المقابل $[BC]$
إذن $[AE]$ هو الوسيط الثالث من الرأس $A$
الوسطاء الثلاثة $[CI]$، $[BJ]$، $[AE]$ تتقاطع في مركز الثقل $G$
إذن $G \in (AE)$

النتيجة: النقاط $A$، $G$، $E$ على استقامة واحدة (هي المستقيم الحامل للوسيط $[AE]$)

خاصية هامة: في أي مثلث، الوسطاء الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز الثقل $G$، وهذه النقطة تقسم كل وسيط بنسبة $2:1$ من الرأس

التمرين 3

⭐⭐⭐ صعب

تأمل الشكل التالي حيث المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ و $\widehat{ABC} = 67°$

1) احسب $\widehat{ACB}$

2) أ) ابن النقطة $D$ حيث $A$ منتصف $[BD]$
ب) بين أن $(AC)$ هو الوسط العمودي لـ $[BD]$
ج) ابن المستقيم $\Delta$ الوسط العمودي لـ $[DC]$
د) $\Delta$ يقطع $(AC)$ في النقطة $O$
ماذا تمثل النقطة $O$ بالنسبة للمثلث $DBC$؟ علل جوابك
ه) استنتج قيس الزاوية $\widehat{OBC}$

3) أ) ارسم $H$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(DC)$
$(BH)$ يقطع $(AC)$ في النقطة $I$
ب) بين أن $O$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$
ج) ابن $E$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $(BC)$
بين أن $D$ و $I$ و $E$ على استقامة واحدة

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

للسؤال 1: مجموع زوايا المثلث = 180°، وفي المثلث القائم، الزاويتان الحادتان تكملان بعضهما إلى 90°
للسؤال 2ب: لإثبات أن مستقيم هو وسط عمودي لقطعة، نبرهن أنه يمر من منتصفها ويكون عمودياً عليها
للسؤال 2د: إذا كانت نقطة تقع على وسطين عموديين لضلعين من مثلث، فهي مركز الدائرة المحيطة
للسؤال 3ب: المركز القائم هو نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة
للسؤال 3ج: استخدم خصائص التناظر المحوري والارتفاعات

منهجية الحل

السؤال 1:

في المثلث القائم $ABC$ (قائم في $A$):
$\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90°$
$\widehat{ACB} = 90° - 67° = 23°$

السؤال 2أ:

نرسم نصف مستقيم من $B$ يمر من $A$
نعين $D$ على هذا النصف المستقيم بحيث $BA = AD$
إذن $A$ منتصف $[BD]$

السؤال 2ب:

$A$ منتصف $[BD]$ (من السؤال 2أ)
$(AC) \perp (AB)$ (لأن المثلث $ABC$ قائم في $A$)
$(AB)$ و $(BD)$ على نفس المستقيم (من البناء)
إذن $(AC) \perp (BD)$
$(AC)$ يمر من منتصف $[BD]$ ويكون عمودياً عليه
إذن $(AC)$ هو الوسط العمودي لـ $[BD]$

السؤال 2ج و 2د:

$(AC)$ وسط عمودي لـ $[BD]$ و $O \in (AC)$
إذن $OB = OD$ ... (1)
$\Delta$ وسط عمودي لـ $[DC]$ و $O \in \Delta$
إذن $OD = OC$ ... (2)
من (1) و (2): $OB = OD = OC$
النتيجة: $O$ هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $DBC$

السؤال 2ه:

بما أن $OB = OC$، فالمثلث $OBC$ متساوي الساقين
$\widehat{OBC} = \widehat{OCB}$
$\widehat{OCB} = \widehat{ACB} = 23°$ (لأن $O$ على $(AC)$)
إذن $\widehat{OBC} = 23°$

السؤال 3أ:

نرسم من $B$ عمودي على $(DC)$ يقطعه في $H$
$(BH)$ هو ارتفاع المثلث $BCD$ من $B$

السؤال 3ب:

$(AC)$ عمودي على $(BD)$ (من السؤال 2ب)، إذن $(AC)$ ارتفاع من $C$
$(BH)$ عمودي على $(DC)$ (من السؤال 3أ)، إذن $(BH)$ ارتفاع من $B$
$O$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(BH)$
$O$ نقطة تقاطع ارتفاعين، إذن $O$ هو المركز القائم

السؤال 3ج:

$E$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $(BC)$
$(OD)$ ارتفاع من $D$ في المثلث $BCD$ (لأن $O$ مركز قائم)
$(OD)$ عمودي على $(BC)$
بالتناظر، $(OE)$ أيضاً عمودي على $(BC)$
إذن $D$، $O$، $E$ على استقامة واحدة (العمودي على $(BC)$)
بما أن $I \in (BH)$ و $O \in (BH)$ و $(BH)$ هو $(DO)$
إذن $D$، $I$، $O$، $E$ على استقامة واحدة

الحل النهائي

الحل 1:

المثلث $ABC$ قائم في $A$
إذن $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90°$
$\widehat{ACB} = 90° - \widehat{ABC}$
$\widehat{ACB} = 90° - 67° = 23°$

النتيجة: $\widehat{ACB} = 23°$

الحل 2أ:

لبناء $D$ بحيث $A$ منتصف $[BD]$:
• نمد المستقيم $(BA)$ من جهة $A$
• بالفرجار، نأخذ فتحة تساوي $BA$
• من $A$ نضع علامة على الامتداد، هذه النقطة هي $D$
• بالتالي $BA = AD$ و $A$ منتصف $[BD]$

الحل 2ب:

• $A$ منتصف $[BD]$ (من البناء)
• المثلث $ABC$ قائم في $A$، إذن $(AC) \perp (AB)$
• $D$ على امتداد $(BA)$، إذن $B$، $A$، $D$ على استقامة واحدة
• بالتالي $(AC) \perp (BD)$
• $(AC)$ يمر من منتصف $[BD]$ وهو عمودي على $(BD)$

النتيجة: $(AC)$ هو الوسط العمودي لـ $[BD]$

الحل 2ج و 2د:

$\Delta$ هو الوسط العمودي لـ $[DC]$ و $O = (AC) \cap \Delta$

• بما أن $O \in (AC)$ و $(AC)$ وسط عمودي لـ $[BD]$:
$OB = OD$ ... (1)

• بما أن $O \in \Delta$ و $\Delta$ وسط عمودي لـ $[DC]$:
$OD = OC$ ... (2)

من (1) و (2): $OB = OD = OC$

النتيجة: $O$ هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $DBC$
(لأن $O$ تبعد نفس المسافة عن رؤوس المثلث الثلاثة)

الحل 2ه:

من السؤال السابق: $OB = OC$
إذن المثلث $OBC$ متساوي الساقين في $O$
في المثلث متساوي الساقين، زاويتا القاعدة متساويتان:
$\widehat{OBC} = \widehat{OCB}$

بما أن $O$ تقع على $(AC)$:
$\widehat{OCB} = \widehat{ACB} = 23°$

إذن $\widehat{OBC} = 23°$

النتيجة: $\widehat{OBC} = 23°$

الحل 3أ:

لرسم $H$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(DC)$:
• بالمسطرة والكوس، نرسم من $B$ عمودي على $(DC)$
• نقطة تقاطع هذا العمودي مع $(DC)$ هي $H$
• $(BH)$ يقطع $(AC)$ في النقطة $I$

الحل 3ب:

في المثلث $BCD$:

الارتفاع الأول: $(AC)$
• $(AC) \perp (BD)$ (من السؤال 2ب)
• $(AC)$ يمر من الرأس $C$ وعمودي على الضلع المقابل $(BD)$
• إذن $(AC)$ ارتفاع من $C$

الارتفاع الثاني: $(BH)$
• $(BH) \perp (DC)$ (من البناء)
• $(BH)$ يمر من الرأس $B$ وعمودي على الضلع المقابل $(DC)$
• إذن $(BH)$ ارتفاع من $B$

$O = (AC) \cap (BH)$
$O$ نقطة تقاطع ارتفاعين من ارتفاعات المثلث $BCD$

النتيجة: $O$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$

الحل 3ج:

بما أن $O$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$
فإن الارتفاع الثالث يمر من $O$ والرأس $D$ ويكون عمودياً على $(BC)$
إذن $(OD) \perp (BC)$ ... (1)

$E$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $(BC)$
بالتناظر المحوري، إذا كان $(OD) \perp (BC)$
فإن صورة $(OD)$ بالتناظر عن $(BC)$ هي أيضاً عمودي على $(BC)$
وبما أن $O \in (BC)$ في هذا السياق (لا، $O$ ليس على $(BC)$، بل الارتفاع يمر من $D$ وعمودي على $BC$)

دعني أصحح: $(DO)$ عمودي على $(BC)$ ويمر من $D$
بالتناظر عن $(BC)$، صورة $D$ هي $E$
وصورة المستقيم العمودي على $(BC)$ الذي يمر من $D$ هو مستقيم عمودي على $(BC)$ يمر من $E$
لكن هناك مستقيم واحد فقط عمودي على $(BC)$ يمر من نقطة معينة على $(BC)$
إذن $D$، $O$، $E$ على نفس العمودي على $(BC)$

بما أن $I \in (BH)$ و $O \in (BH)$ و $(BH) = (DO)$ (لأنهما نفس الارتفاع)

النتيجة: $D$، $I$، $E$ على استقامة واحدة (هي الارتفاع من $D$ العمودي على $(BC)$)

خاصية المركز القائم: في أي مثلث، الارتفاعات الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة تسمى المركز القائم، وكل ارتفاع يمر من رأس ويكون عمودياً على الضلع المقابل

التمرين 4 (إضافي)

⭐⭐ متوسط

تمارين حسابية (من الصورة 3):

ب) استنتج ترتيباً للأعداد $a$ و $b$ و $c$ و $d$ معللاً جوابك
أكمل بما يناسب:

$$\dfrac{21}{52} = \dfrac{91}{......}$$ $$\dfrac{99 \times 6 + 99}{4 \times 98 + 4} = \dfrac{......}{4}$$ $$...... = 5 + \dfrac{293}{53}$$ $$\dfrac{397.5}{13.25} = ......$$

هذا التمرين يحتوي على عمليات حسابية بسيطة وليس له علاقة مباشرة بالهندسة، وهو مأخوذ من نفس صفحة الكتاب

ابدأ بالتوجيهات

توجيهات للتفكير

للتناسب: إذا $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ فإن $a \times d = b \times c$ (الضرب التقاطعي)
للتبسيط: استخرج العوامل المشتركة في البسط والمقام
للقسمة: يمكن تحويل العدد العشري إلى كسر ثم التبسيط
التحويل لمجموع: استخدم القسمة الإقليدية: $a = b \times q + r$

منهجية الحل

التمرين الأول: $\dfrac{21}{52} = \dfrac{91}{......}$

نستخدم الضرب التقاطعي: $21 \times x = 52 \times 91$
$x = \dfrac{52 \times 91}{21}$
نلاحظ أن $91 = 21 \times \dfrac{91}{21} = 21 \times 4.33...$
بطريقة أبسط: $\dfrac{91}{21} = \dfrac{13 \times 7}{3 \times 7} = \dfrac{13}{3}$
إذن $x = 52 \times \dfrac{13}{3} = \dfrac{52 \times 13}{3} = \dfrac{676}{3}$

التمرين الثاني: $\dfrac{99 \times 6 + 99}{4 \times 98 + 4}$

نستخرج العامل المشترك في البسط: $99 \times 6 + 99 = 99(6 + 1) = 99 \times 7$
نستخرج العامل المشترك في المقام: $4 \times 98 + 4 = 4(98 + 1) = 4 \times 99$
$\dfrac{99 \times 7}{4 \times 99} = \dfrac{7}{4}$

التمرين الثالث: $...... = 5 + \dfrac{293}{53}$

نحول إلى كسر واحد: $5 + \dfrac{293}{53} = \dfrac{5 \times 53 + 293}{53}$
$= \dfrac{265 + 293}{53} = \dfrac{558}{53}$

التمرين الرابع: $\dfrac{397.5}{13.25}$

نحول الأعداد العشرية إلى كسور: $397.5 = \dfrac{3975}{10} = \dfrac{795}{2}$
$13.25 = \dfrac{1325}{100} = \dfrac{53}{4}$
$\dfrac{397.5}{13.25} = \dfrac{795/2}{53/4} = \dfrac{795}{2} \times \dfrac{4}{53} = \dfrac{795 \times 4}{2 \times 53} = \dfrac{3180}{106} = 30$

الحل النهائي

الحل 1: $\dfrac{21}{52} = \dfrac{91}{x}$

بالضرب التقاطعي: $21 \times x = 52 \times 91$
$x = \dfrac{52 \times 91}{21} = \dfrac{52 \times 91}{21}$
$= \dfrac{4732}{21} = \dfrac{676}{3}$
أو بالتبسيط: $91 = 7 \times 13$ و $21 = 7 \times 3$
$x = \dfrac{52 \times 13}{3} = \dfrac{676}{3}$

الجواب: $x = \dfrac{676}{3}$ (قيمة مضبوطة)

الحل 2: $\dfrac{99 \times 6 + 99}{4 \times 98 + 4} = \dfrac{......}{4}$

البسط: $99 \times 6 + 99 = 99(6 + 1) = 99 \times 7 = 693$
المقام: $4 \times 98 + 4 = 4(98 + 1) = 4 \times 99 = 396$

$\dfrac{693}{396} = \dfrac{99 \times 7}{4 \times 99} = \dfrac{7}{4}$

الجواب: $\dfrac{7}{4}$ (البسط هو 7)

الحل 3: $...... = 5 + \dfrac{293}{53}$

$5 + \dfrac{293}{53} = \dfrac{5 \times 53}{53} + \dfrac{293}{53}$
$= \dfrac{265 + 293}{53}$
$= \dfrac{558}{53}$

الجواب: $\dfrac{558}{53}$

الحل 4: $\dfrac{397.5}{13.25} = ......$

$397.5 = \dfrac{3975}{10} = \dfrac{795}{2}$
$13.25 = \dfrac{1325}{100} = \dfrac{53}{4}$

$\dfrac{397.5}{13.25} = \dfrac{795/2}{53/4} = \dfrac{795}{2} \times \dfrac{4}{53}$
$= \dfrac{795 \times 4}{2 \times 53} = \dfrac{3180}{106}$
$= \dfrac{1590}{53} = 30$

الجواب: $30$