سلسلة تمارين عدد 11

مادة الرياضيات - الهندسة والتناظر

دفواراتي
A B C
المثلث القائم والمتوسط العمودي
تمرين 1

ليكن ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث AC = 6cm, AB = 4cm.

B

|\

| \ 4cm

| \

A----C

6cm

أ) ابن Δ المتوسط العمودي للقطعة [AC] الذي يقطع [BC] في النقطة I و يقطع [AC] في النقطة J

ب) ماذا يمثل المستقيم Δ بالنسبة إلى القطعة [BD]؟

ج) ما هي مناظرة قطعة المستقيم [AB] بالنسبة إلى Δ؟

د) أحسب CD مع التعليل.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقاط أساسية للحل:

  • المتوسط العمودي هو المستقيم الذي يمر بمنتصف قطعة ويكون عمودياً عليها
  • نقطة على المتوسط العمودي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة
  • التناظر المحوري يحافظ على المسافات والزوايا
  • تذكّر أنّ التناظر يحافظ على الأطوال

ابدأ بـ: رسم المتوسط العمودي باستخدام الفرجار، ثم فكر في خصائص التناظر

📝 الطريقة خطوة بخطوة

أ) بناء المتوسط العمودي Δ:

  1. نفتح الفرجار بنصف قطر أكبر من 3cm (نصف AC)
  2. نرسم قوساً من A وقوساً من C
  3. نصل نقطتي التقاطع للحصول على Δ
  4. Δ يقطع [BC] في I و [AC] في J (منتصف AC)

ب) طبيعة Δ بالنسبة لـ [BD]:

بما أن D مناظرة B بالنسبة إلى Δ، فإن Δ هو المتوسط العمودي لـ [BD]

ج) مناظرة [AB]:

مناظرة A هي C، ومناظرة B هي D، إذن مناظرة [AB] هي [CD]

د) حساب CD:

[CD] مناظِرة [AB]، والتناظر يحفظ الأطوال ← CD = AB

✅ الحل الكامل

الجزء (أ) - بناء المتوسط العمودي:

  1. نفتح الفرجار بنصف قطر أكبر من نصف طول AC (أكبر من 3cm)
  2. نرسم قوساً من النقطة A
  3. بنفس نصف القطر، نرسم قوساً من النقطة C
  4. نصل تقاطع القوسين لنحصل على المستقيم Δ
  5. J هي نقطة تقاطع Δ مع [AC] (منتصف AC)
  6. I هي نقطة تقاطع Δ مع [BC]

الجزء (ب) - طبيعة Δ بالنسبة لـ [BD]:

المستقيم Δ هو المتوسط العمودي للقطعة [BD] لأن:

  • D هي مناظرة B بالنسبة إلى Δ
  • بالتالي Δ يمر بمنتصف [BD] وعمودي عليها
  • كل نقطة على Δ تبعد نفس المسافة عن B و D

الجزء (ج) - مناظرة [AB]:

مناظرة [AB] هي [CD] لأن:

  • مناظرة A هي C (لأن J منتصف [AC])
  • مناظرة B هي D
  • التناظر المحوري يحافظ على القطع المستقيمة

الجزء (د) - حساب CD:

  1. استخدام خاصية التناظر:
    بما أن [CD] مناظرة [AB] بالنسبة إلى Δ
    فإن CD = AB = 4cm
  2. التحقق: يمكن التحقق أيضاً من خلال ملاحظة أن التناظر المحوري يحافظ على الأطوال
ملاحظة مهمة: CD = AB = 4cm وليس CD = BC لأن التناظر يحافظ على أطوال القطع المناظرة فقط.
المناظرة والاستقامة
تمرين 2

لتكن E نقطة من [AB] حيث AE = 5cm.

أ) بين النقطة F مناظرة النقطة E بالنسبة إلى Δ.

ب) بين أن النقاط F، I، C على استقامة واحدة.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مفاهيم أساسية:

  • لإيجاد مناظرة نقطة: ارسم عموداً على محور التناظر ثم مد بنفس المسافة
  • النقاط على استقامة واحدة إذا كانت الزاوية بينهما 180°
  • التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة
  • E تقع على [AB]، فكر في مناظرة القطعة [AB]

تلميح: استخدم معرفتك من التمرين السابق حول مناظرة [AB]

📝 الطريقة

أ) إيجاد F مناظرة E:

  1. ارسم عموداً من E على المستقيم Δ
  2. سم نقطة التقاطع M
  3. مد [EM] بنفس الطول على الجانب الآخر
  4. النقطة النهائية هي F

ب) إثبات الاستقامة F، I، C:

نستخدم خاصية أن مناظرة نقطة على قطعة تقع على مناظرة القطعة

بما أن E ∈ [AB] و مناظرة [AB] هي [CD]...

✅ الحل الكامل

الجزء (أ) - إيجاد F مناظرة E:

  1. بناء العمود: نرسم عموداً من E على المستقيم Δ
  2. نقطة التقاطع: نسمي نقطة التقاطع M
  3. المسافة المتساوية: نمد [EM] بحيث EM = MF
  4. النتيجة: F هي مناظرة E بالنسبة إلى Δ

الجزء (ب) - إثبات استقامة F، I، C:

الطريقة 1 - استخدام خصائص التناظر:

  1. E نقطة من [AB]
  2. من التمرين السابق: مناظرة [AB] هي [CD]
  3. إذن F مناظرة E تقع على [CD]
  4. بما أن C، D، F على استقامة واحدة
  5. و I تقع على [BC] (وبالتالي على امتداد [CD])
  6. إذن F، I، C على استقامة واحدة

الطريقة 2 - استخدام الزوايا:

  1. بما أن F مناظرة E بالنسبة إلى Δ
  2. و I تقع على Δ
  3. فإن ∠FIM = ∠EIM (خاصية التناظر)
  4. بما أن E، I، C ليست على استقامة واحدة
  5. لكن التناظر يجعل F، I، C على استقامة واحدة

البرهان الهندسي:

نظراً لأن التناظر المحوري يحافظ على العلاقات الهندسية، ولأن E تقع على [AB] التي مناظرتها [CD]، فإن F مناظرة E يجب أن تقع على [CD]. وبما أن I تقع على [BC] وهو امتداد لـ [CD]، فإن النقاط F، I، C تقع بالضرورة على استقامة واحدة.

ملاحظة: هذا البرهان يعتمد على الخصائص الأساسية للتناظر المحوري والعلاقات بين النقاط المبينة في التمرين الأول.
التناظر بالنسبة إلى مستقيم
تمرين 3

لتكن I نقطة تقاطع Δ و [BC].

أ) ما هي مناظرة النقطة I بالنسبة إلى المستقيم (AC)؟ علل جوابك.

ب) بين النقطة D مناظرة النقطة B بالنسبة إلى (AC).

ج) ما هي مناظرة قطعة المستقيم [BC] بالنسبة إلى المستقيم (AC)؟ علل جوابك.

د) ما هي طبيعة المثلث BCD؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قواعد التناظر المحوري:

  • نقطة تقع على محور التناظر تكون مناظرة نفسها
  • مناظرة نقطة: ارسم عمود على المحور ومد بنفس المسافة
  • مناظرة قطعة = قطعة مكونة من مناظرتي طرفيها
  • التناظر يحافظ على المسافات

فكر في: أين تقع I بالنسبة إلى (AC)؟ ما هي مناظرة C بالنسبة إلى (AC)؟

📝 الطريقة

أ) مناظرة I بالنسبة إلى (AC):

نحتاج لتحديد موضع I بالنسبة إلى (AC) أولاً

ب) إيجاد D مناظرة B:

  1. ارسم عموداً من B على (AC)
  2. سم نقطة التقاطع P
  3. مد [BP] بنفس الطول للحصول على D

ج) مناظرة [BC]:

مناظرة B هي D، مناظرة C هي C نفسها...

د) طبيعة المثلث BCD:

استخدم خاصية حفظ المسافات في التناظر

✅ الحل الكامل

الجزء (أ) - مناظرة I بالنسبة إلى (AC):

التحليل: نحتاج لتحديد موضع I بالنسبة إلى المستقيم (AC)

  • إذا كانت I تقع على (AC): فإن مناظرة I هي I نفسها
  • إذا لم تكن I على (AC): نرسم عموداً من I على (AC) ونمد بنفس المسافة

في هذه الحالة: I لا تقع على (AC) بشكل عام، لذا مناظرتها نقطة أخرى I' بحيث (AC) هو المتوسط العمودي لـ [II']

الجزء (ب) - إيجاد D مناظرة B بالنسبة إلى (AC):

  1. رسم العمود: نرسم عموداً من B على المستقيم (AC)
  2. نقطة التقاطع: نسمي نقطة التقاطع P
  3. المسافة المتساوية: نمد [BP] بحيث BP = PD
  4. النتيجة: D هي مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
  5. خصائص D: AD = AB و CD = CB

الجزء (ج) - مناظرة [BC] بالنسبة إلى (AC):

التحليل:

  • مناظرة B هي D (من الجزء السابق)
  • مناظرة C هي C نفسها (لأن C تقع على (AC))
  • إذن: مناظرة القطعة [BC] هي القطعة [DC]

التعليل: التناظر المحوري يحول كل نقطة إلى مناظرتها, وبالتالي يحول القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين إلى القطعة المستقيمة الواصلة بين مناظرتيهما.

الجزء (د) - طبيعة المثلث BCD:

التحليل بالخصائص:

  1. خاصية التناظر: D مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
  2. حفظ المسافات: CD = CB (التناظر يحافظ على المسافات)
  3. النتيجة: المثلث BCD متقايس الضلعين في C

البرهان التفصيلي:

  • بما أن D هي مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
  • فإن كل نقطة على (AC) تبعد نفس المسافة عن B و D
  • وخاصة النقطة C: CB = CD
  • إذن: المثلث BCD متقايس الضلعين قاعدته [BD] ورأسه C
  • خصائص إضافية: (AC) هو المتوسط العمودي لـ [BD] وكذلك منصف الزاوية ∠BCD
ملاحظة مهمة: المثلث BCD متقايس الضلعين في C، وليس متساوي الأضلاع إلا في حالات خاصة جداً.
المتوسط العمودي والاستقامة
تمرين 4

أ) بين النقطة E مناظرة النقطة I بالنسبة إلى (AC).

ب) بين أن النقاط C و D على استقامة واحدة.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مفاهيم للتذكر:

  • E مناظرة I: استخدم نفس طريقة إيجاد المناظرة كما في التمارين السابقة
  • لإثبات استقامة نقطتين: كل نقطتين دائماً على استقامة واحدة!
  • ربما المقصود إثبات أن 3 نقاط على استقامة؟
  • التناظر يحافظ على الاستقامة

تنبيه: راجع نص السؤال - قد يكون هناك نقطة ثالثة لم تُذكر

📝 الطريقة

أ) إيجاد E مناظرة I:

  1. ارسم عموداً من I على (AC)
  2. سم نقطة التقاطع Q
  3. مد [IQ] بنفس الطول للحصول على E

ب) استقامة C و D:

نقطتان دائماً على استقامة واحدة بحكم التعريف

لكن ربما المقصود إثبات أن B، C، D على استقامة؟

✅ الحل الكامل

الجزء (أ) - إيجاد E مناظرة I بالنسبة إلى (AC):

  1. رسم العمود: نرسم عموداً من I على المستقيم (AC)
  2. نقطة التقاطع: نسمي نقطة التقاطع Q
  3. المسافة المتساوية: نمد [IQ] بحيث IQ = QE
  4. النتيجة: E هي مناظرة I بالنسبة إلى (AC)
  5. خصائص E: EA = IA و EC = IC

الجزء (ب) - استقامة C و D:

ملاحظة أولية: نقطتان (C و D) دائماً على استقامة واحدة بحكم التعريف الهندسي الأساسي.

تفسير محتمل للسؤال:

ربما المقصود هو إثبات أن النقاط B، C، D على استقامة واحدة، أو أن نقاط أخرى تشكل مع C و D استقامة.

إثبات B، C، D على استقامة واحدة:

  1. من التمرين السابق: D هي مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
  2. خاصية التناظر: إذا كانت النقاط B، C في خط مستقيم مع محور التناظر
  3. فإن: مناظرة B (وهي D) ستكون أيضاً على نفس الخط مع C
  4. بالتالي: B، C، D على استقامة واحدة

البرهان البديل بالزوايا:

  1. بما أن D هي مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
  2. فإن (AC) هو المتوسط العمودي لـ [BD]
  3. والزاوية ∠BCA = ∠DCA (التناظر يحافظ على الزوايا)
  4. وبما أن مجموع الزوايا حول C يساوي 360°
  5. والزاويتان متساويتان ولكن في اتجاهين متضادين
  6. فإن ∠BCD = 180°، أي أن B، C، D على استقamة واحدة
تنبيه: الجزء (ب) من السؤال قد يحتاج إلى توضيح إضافي من نص المسألة الأصلي، حيث أن كل نقطتين دائماً على استقامة واحدة. التفسير المرجح هو إثبات استقامة ثلاث نقاط أو أكثر.