التناظر المحوري والوسط العمودي مع التصحيح المفصل
نرسم قطعة مستقيم طولها 4 سم ونسمي طرفيها R و S.
نرسم دائرة مركزها R ونصف قطرها 3 سم، ثم دائرة مركزها S ونصف قطرها 6 سم.
نقطتا التقاطع هما T و U.
بما أن T و U نقطتا تقاطع الدائرتين، وكلاهما يقع على بعد 3 سم من R:
نعم، لأن T و U تقعان أيضاً على الدائرة مركزها S وشعاعها 6 سم.
Δ هو الوسط العمودي لـ [AB] إذن A و B متناظرتان بالنسبة إلى Δ
الدائرة (C) تقطع [AB] في E
بالنسبة إلى Δ، مناظرة E هي نقطة تقاطع مناظرة (C) ومناظرة [AB]
وبالتالي مناظرة E هي نقطة تقاطع [AB] و (C')
1) Δ ⊥ [BC] (لأن Δ وسيط عمودي لـ [BC])
2) Δ ⊥ [AA'] (لأن Δ وسيط عمودي لـ [AA'])
3) إذا كان مستقيم عمودي على مستقيمين، فإن هذين المستقيمين متوازيان أو متطابقان
تحديد المناظرات بالنسبة إلى Δ:
- مناظر A بالنسبة إلى Δ هو A'
- مناظر I بالنسبة إلى Δ هو I (لأن I ∈ Δ)
- مناظر C بالنسبة إلى Δ هو B (لأن Δ وسيط عمودي لـ [BC])
تطبيق خاصية المحافظة على الاستقامة:
- النقاط A، I، B على استقامة واحدة (على المستقيم (AB))
- بتطبيق التناظر المحوري بالنسبة إلى Δ
المعطى الأساسي: A ∈ (c) (لأن الدائرة (c) تمر من A حسب المعطى)
تطبيق خاصية التناظر:
- بما أن A ∈ (c)
- وأن A' هو مناظر A بالنسبة إلى Δ
- وأن (c') هي مناظرة (c) بالنسبة إلى Δ
نرسم مثلثًا بالأطوال المعطاة باستخدام المسطرة والفرجار:
بما أن O هي مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم (IJ)، فإن:
• من تعريف المنتصف: IA = IB = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 سم
• أي: IO = IA
• بما أن J منتصف [AC] و O مناظرة A بالنسبة إلى (IJ)
• والنقطة J تقع على محور التناظر (IJ)
• فإن المسافة من J إلى A تساوي المسافة من J إلى O
• أي: JA = JO
• وبما أن J منتصف [AC]، فإن: JA = JC
• الزوايا الثلاثة \widehat{BOI}, \widehat{IOJ}, \widehat{JOC} هي زوايا متجاورة
• هذه الزوايا تشكل معاً زاوية مستقيمة حول النقطة O على المستقيم (BC)
بما أن النقطة O تنتمي إلى Δ، و Δ هو الواسط العمودي للقطعة [AB]، فإن النقطة O متساوية البعد عن طرفي القطعة A و B.
هذا يعني أن المثلث OAB هو مثلث متقايس الضلعين في الرأس O. وفي المثلث متقايس الضلعين، تكون زوايا القاعدة متقايسة.
إذن: ∠OAB = ∠OBA
في المثلث ABC القائم في A: ∠ABC + ∠ACB = 90°
ولدينا أيضاً: ∠OAB + ∠OAC = ∠BAC = 90°
وبما أننا أثبتنا أن ∠OAB = ∠ABC، يمكننا الحصول على:
هذه المساواة تعني أن المثلث OAC هو أيضاً مثلث متقايس الضلعين في الرأس O.
لدينا C' هي مناظرة C بالنسبة للمحور Δ. ولدينا A هي مناظرة B بالنسبة للمحور Δ (لأن Δ هو الواسط العمودي لـ [AB]).
لنبحث عن مناظر القطعة [BC]:
• مناظرة B هي A
• مناظرة C هي C'
إذن، مناظرة القطعة [BC] هي القطعة [AC'].
نحن نعلم من السؤال الأول أن O هي منتصف القطعة [BC].
إذن، مناظرة النقطة O يجب أن تكون منتصف القطعة [AC'].
لكن، النقطة O تنتمي إلى محور التناظر Δ. أي نقطة تنتمي للمحور هي مناظرة نفسها.
في الرباعي ABC'C، لننظر إلى قطريه [AC] و [BC'].
من السؤال الأول، O منتصف [BC]. من السؤال الثاني، O منتصف [AC'].
بما أن القطرين [BC] و [AC'] يتقاطعان في منتصفهما O، فإن الرباعي ACC'B هو متوازي أضلاع.
لكي نثبت أنه مستطيل، يجب أن نثبت أن له زاوية قائمة.
نحن نعلم أن المثلث ABC قائم في A، أي ∠BAC = 90°.
حسب تعريف التناظر المحوري:
• A' هي مناظرة A بالنسبة لـ Δ، إذن المستقيم (AA') عمودي على Δ
• B' هي مناظرة B بالنسبة لـ Δ، إذن المستقيم (BB') عمودي على Δ
لتحديد مناظر المستقيم (A'B)، نحدد مناظرات النقاط:
• مناظرة A' هي A
• مناظرة B هي B'
لدينا I هي نقطة تقاطع (AB) و (A'B').
من السؤال السابق، رأينا أن المستقيم (A'B') هو مناظر المستقيم (AB) بالنسبة للمحور Δ.
إذن، I هي نقطة تقاطع مستقيم مع مناظره.
المعطيات: J هي نقطة تقاطع (AB) و Δ.
لنحلل المعطيات:
• بما أن J نقطة تقاطع (AB) و Δ، فإن J ∈ (AB) و J ∈ Δ
بما أن J ∈ Δ، فإن مناظرة J بالنسبة لـ Δ هي J نفسها.
وبما أن J ∈ (AB)، فإن مناظرتها (التي هي J) يجب أن تنتمي إلى مناظر المستقيم (AB).
ونعلم أن مناظر المستقيم (AB) هو المستقيم (A'B').
لننظر إلى المثلث OAB:
• O هو مركز الدائرة (C)، و A و B نقطتان على هذه الدائرة
إذن، OA = OB لأنهما شعاعان في نفس الدائرة
• هذا يعني أن المثلث OAB هو مثلث متقايس الضلعين في الرأس O
• من المعطيات، I هي منتصف القاعدة [AB]. إذن، المستقيم (OI) هو المتوسط المتعلق بالقاعدة
إذن، نستنتج أن المستقيم (OI) هو الواسط العمودي للقطعة [AB].
محور التناظر الذي نعمل عليه هو المستقيم (OI).
لدينا E نقطة من نصف المستقيم [OA)، و F نقطة من نصف المستقيم [OB). كما أن E و F تنتميان للدائرة (C') التي مركزها O.
وهذا يعني أن OE = OF (لأنهما شعاعان في الدائرة C')
إذن، صورة E هي نقطة (E') تقع على المستقيم (OB) وتحقق OE' = OE.
لكننا نعلم من المعطيات أن F هي نقطة على (OB) وتحقق OF = OE.
هذا السؤال هو تطبيق مباشر لخاصية من أهم خصائص التناظر المحوري.
لنحدد صورة الزاوية ∠AEI بالتناظر الذي محوره (OI):
• صورة النقطة A هي B
• صورة النقطة E هي F
• صورة النقطة I هي I (لأنها تنتمي للمحور)
إذن، صورة الزاوية ∠AEI هي الزاوية ∠BFI.
هذا السؤال يعتمد مباشرة على تعريف التناظر المحوري.
لدينا في المعطيات أن O هي نقطة تنتمي إلى المستقيم Δ.
لإيجاد صورة شكل هندسي، نجد صور النقاط الأساسية المكونة له.
في إطار المعطيات المنطقية التي وضعناها، هذا السؤال هو معطى وليس مطلوب إثباته.
تم وضع السؤال بهذه الطريقة في النص الأصلي. في سياق تمرين صحيح، D هي مناظرة C هو معطى أساسي لحل بقية الأسئلة.
• لدينا B هي صورة A حول Δ. إذن، المستقيم (AB) عمودي على المحور Δ. أي (AB) ⊥ Δ
• ولدينا D هي صورة C حول Δ. إذن، المستقيم (CD) عمودي على المحور Δ. أي (CD) ⊥ Δ
هذا السؤال هو تطبيق رائع لخاصية حفظ الاستقامة.
المعطى: المستقيم (BC) يقطع Δ في M. هذا يعني أن النقاط الثلاث B و M و C تقع على نفس الخط المستقيم.
لنجد صور النقاط B, M, C بالنسبة للمحور Δ:
• صورة B هي A
• صورة M هي M (لأن M تنتمي للمحور Δ)
• صورة C هي D
هذا السؤال هو تطبيق مباشر لخاصية حفظ الزوايا.
لإثبات تساوي الزاويتين، سنبين أن إحداهما هي صورة الأخرى.
لنحدد صورة الزاوية ∠OBC بالتناظر الذي محوره Δ:
• صورة رأس الزاوية B هي A
• صورة النقطة O على الضلع الأول هي O
• صورة النقطة C على الضلع الثاني هي D
إذن، صورة الزاوية ∠OBC هي الزاوية ∠OAD.