R S T U

مجموعة تمارين الهندسة

التناظر المحوري والوسط العمودي مع التصحيح المفصل

التمرين رقم 30

1) أ) ارسم قطعة مستقيم [RS] حيث \( SR = 4 \)cm.

التصحيح:

نرسم قطعة مستقيم طولها 4 سم ونسمي طرفيها R و S.

ب) ارسم الدائرة التي مركزها \( R \) وشعاعها \( 3 \)cm، والدائرة التي مركزها \( S \) وشعاعها \( 6 \)cm. الدائرتان تتقاطعان في نقطتين \( T \) و \( U \).

التصحيح:

نرسم دائرة مركزها R ونصف قطرها 3 سم، ثم دائرة مركزها S ونصف قطرها 6 سم.

شرط التقاطع: بما أن المسافة بين المركزين RS = 4 سم، فإن الدائرتين تتقاطعان لأن 3 + 4 > 6 و 6 - 4 < 3

نقطتا التقاطع هما T و U.

2) أ) قارن البعدين \( TR \) و \( UR \).

التصحيح:

بما أن T و U نقطتا تقاطع الدائرتين، وكلاهما يقع على بعد 3 سم من R:

TR = UR = 3 سم
السبب: جميع النقاط على دائرة مركزها R تبعد نفس المسافة عن R
ب) هل أن النقطة \( S \) متساوية البعد عن النقطتين \( T \) و \( U \)؟

التصحيح:

نعم، لأن T و U تقعان أيضاً على الدائرة مركزها S وشعاعها 6 سم.

ST = SU = 6 سم
ج) هل أن المستقيم \( (SR) \) هو المتوسط العمودي لقطعة المستقيم [UT]؟

التصحيح:

نعم، المستقيم (SR) هو المحور العمودي للقطعة [UT]
السبب: النقطتان T و U هما نقطتا تقاطع دائرتين مركزاهما R و S، والمستقيم (SR) يمر بمركزي الدائرتين ويشطر قطعة [UT] إلى نصفين متساويين ويعامدها.
د) هل أن النقطتين \( T \) و \( U \) متناظرتين بالنسبة إلى المستقيم \( (SR) \)؟

التصحيح:

نعم، النقطتان T و U متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (SR)
السبب: لأن (SR) هو محور قطعة [UT]، وكل نقطة تقع على أحد جانبي المحور يكون لها نظير على الجانب الآخر بنفس المسافة.
3) هل أن نصف المستقيم \( [SR) \) هو منصف الزاوية \( \widehat{UST} \)؟

التصحيح:

نعم، نصف المستقيم [SR) هو منصف الزاوية \widehat{UST}
السبب: لأن (SR) هو محور التناظر بين T و U، والمنصف للزاوية في مثل هذا الوضع يكون هو نفسه محور التناظر.

التمرين رقم 4 (النسخة الأولى)

المعطيات: [AB] قطعة طولها 4cm، و Δ متوسطها العمودي، C الدائرة مركزها A وشعاعها 3cm، و C' الدائرة مركزها B وشعاعها 3cm.
1) بين أن الدائرتين C و C' متناظرتين بالنسبة إلى Δ.

التصحيح المفصل:

Δ هو الوسط العمودي لـ [AB] إذن A و B متناظرتان بالنسبة إلى Δ

خاصية التناظر للدوائر: إذا كانت دائرتان لهما نفس الشعاع ومركزاهما متناظران بالنسبة لمحور، فإن هاتين الدائرتين متناظرتان بالنسبة لنفس المحور.
الدائرتان لهما نفس الشعاع 3 ومركزاهما متناظران بالنسبة إلى Δ، فإن هاتين الدائرتين متناظرتان بالنسبة إلى Δ
2) C تقطع [AB] في النقطة E، و C' تقطع [AB] في النقطة F. بين أن النقطتين E و F متناظرتان بالنسبة إلى Δ.

التصحيح المفصل:

الدائرة (C) تقطع [AB] في E

بالنسبة إلى Δ، مناظرة E هي نقطة تقاطع مناظرة (C) ومناظرة [AB]

تطبيق التناظر: • مناظرة (C) هي (C')
• مناظرة [AB] هي [BA] أي [AB] نفسها (لأن Δ هو محور تناظر لها)

وبالتالي مناظرة E هي نقطة تقاطع [AB] و (C')

إذن مناظرة E بالنسبة لـ Δ هي F

التمرين رقم 4 (النسخة الثانية)

المعطيات: المثلث ABC و Δ الوسيط العمودي للقطعة [BC]
1. أنشئ A' مناظر A بالنسبة إلى Δ

الحل التفصيلي:

الإنشاء:
لإنشاء A' مناظر A بالنسبة إلى Δ:
1) نرسم العمودي من A على Δ
2) ليكن H نقطة تقاطع هذا العمودي مع Δ
3) نمدد القطعة [AH] بحيث AH = HA'
4) النقطة A' هي مناظر A بالنسبة إلى Δ
خاصية المناظرة: إذا كان A' مناظر A بالنسبة إلى المستقيم Δ، فإن Δ هو الوسيط العمودي للقطعة [AA']
إذن Δ هو الوسيط العمودي للقطعة [AA']
2. بين أن (AA') ⊥ (BC)

الحل التفصيلي:

المعطيات:
- Δ هو الوسيط العمودي للقطعة [BC]
- A' هو مناظر A بالنسبة إلى Δ
- من السؤال السابق: Δ هو الوسيط العمودي للقطعة [AA']
خاصية الوسيط العمودي: الوسيط العمودي لقطعة عمودي على هذه القطعة

1) Δ ⊥ [BC] (لأن Δ وسيط عمودي لـ [BC])

2) Δ ⊥ [AA'] (لأن Δ وسيط عمودي لـ [AA'])

3) إذا كان مستقيم عمودي على مستقيمين، فإن هذين المستقيمين متوازيان أو متطابقان

إذن (AA') ⊥ (BC)
3. Δ يقطع (AB) في النقطة I. بين أن C و I و A' على استقامة واحدة

الحل التفصيلي:

المعطيات:
- I هي نقطة تقاطع Δ مع (AB)
- A' مناظر A بالنسبة إلى Δ
- نريد إثبات أن C، I، A' على استقامة واحدة
خاصية التناظر المحوري: التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة: إذا كانت نقاط على استقامة واحدة، فإن مناظراتها على استقامة واحدة أيضاً

تحديد المناظرات بالنسبة إلى Δ:

- مناظر A بالنسبة إلى Δ هو A'

- مناظر I بالنسبة إلى Δ هو I (لأن I ∈ Δ)

- مناظر C بالنسبة إلى Δ هو B (لأن Δ وسيط عمودي لـ [BC])

تطبيق خاصية المحافظة على الاستقامة:

- النقاط A، I، B على استقامة واحدة (على المستقيم (AB))

- بتطبيق التناظر المحوري بالنسبة إلى Δ

النقاط A'، I، C على استقامة واحدة (لأن التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة)
4. لتكن (c) دائرة مركزها B وتمر من A، و (c') مناظرة (c) بالنسبة لـ Δ. بين أن (c') تمر من A'

الحل التفصيلي:

المعطيات:
- (c) دائرة مركزها B وتمر من A
- (c') هي مناظرة الدائرة (c) بالنسبة إلى Δ
- A' مناظر A بالنسبة إلى Δ
- نريد إثبات أن A' ∈ (c')
خاصية التناظر المحوري للدوائر: إذا كانت نقطة تنتمي إلى دائرة، فإن مناظرة هذه النقطة تنتمي إلى مناظرة الدائرة

المعطى الأساسي: A ∈ (c) (لأن الدائرة (c) تمر من A حسب المعطى)

تطبيق خاصية التناظر:

- بما أن A ∈ (c)

- وأن A' هو مناظر A بالنسبة إلى Δ

- وأن (c') هي مناظرة (c) بالنسبة إلى Δ

إذن A' ∈ (c') (حسب خاصية التناظر المحوري)

التمرين رقم 31

أ - ارسم مثلثا \(ABC\) حيث \(AB = 5\)، \(BC = 6\)، \(AC = 7\) بالسنتيمتر.

الحل:

نرسم مثلثًا بالأطوال المعطاة باستخدام المسطرة والفرجار:

AB = 5 سم، BC = 6 سم، AC = 7 سم
خطوات الرسم:
1. نرسم قطعة مستقيمة AB طولها 5 سم
2. من النقطة A، نرسم قوساً نصف قطره 7 سم
3. من النقطة B، نرسم قوساً نصف قطره 6 سم
4. تقاطع القوسين يعطي النقطة C
5. نصل A بـ C و B بـ C لنحصل على المثلث ABC
ب - لتكن \(I\) منتصف \([AB]\) و\(J\) منتصف \([AC]\). ارسم النقطة \(O\) مناظرة النقطة \(A\) بالنسبة إلى المستقيم \((IJ)\). تحقق أن \(O\) تنتمي إلى \((BC)\).

الحل:

المعطيات:
I منتصف [AB] و J منتصف [AC]
O متناظرة A بالنسبة للمستقيم (IJ)
إيجاد المنتصفين:
بما أن I منتصف [AB]، فإن: IA = IB = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 سم
بما أن J منتصف [AC]، فإن: AJ = JC = \frac{AC}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 سم
خاصية التناظر المحوري: بما أن A و O متناظران بالنسبة لـ (IJ)، فإن المستقيم (IJ) هو المحور المتوسط للقطعة [AO]
التحقق: بتطبيق نظرية المستقيم الأوسط، نجد أن النقطة O تقع فعلاً على المستقيم (BC)
ج - بيّن أن الزاويتين \([OI, AB]\) و\([OJ, AC]\) متقايستان.

الإثبات بالتماثل:

بما أن O هي مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم (IJ)، فإن:

خاصية التناظر المحوري:
• المستقيم (IJ) هو محور التناظر بين A و O
• التماثل المحوري يحافظ على قياسات الزوايا
• الزاويتان \widehat{AIO} و \widehat{AJO} متناظرتان بالنسبة إلى (IJ)
النتيجة: إذن \widehat{OIA} = \widehat{OJA} (الزاويتان متقايستان)
د - بيّن أن: \(IA = IB = IO\)

البرهان:

• من تعريف المنتصف: IA = IB = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 سم

خاصية التناظر: بما أن O مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم (IJ)، و I تقع على هذا المستقيم، فإن المسافة من I إلى A تساوي المسافة من I إلى O

• أي: IO = IA

الخلاصة: IA = IB = IO = 2.5 سم
إذن النقطة I هي مركز دائرة تمر بالنقاط A, B, O
هـ - بيّن أن المثلث \(JOC\) متساوي الضلعين. استنتج أن: \( \widehat{JOC} = \widehat{ACB} \)

إثبات تساوي الضلعين:

• بما أن J منتصف [AC] و O مناظرة A بالنسبة إلى (IJ)

• والنقطة J تقع على محور التناظر (IJ)

• فإن المسافة من J إلى A تساوي المسافة من J إلى O

• أي: JA = JO

• وبما أن J منتصف [AC]، فإن: JA = JC

إذن: JO = JC
استنتاج تساوي الزوايا:
• بما أن المثلث JOC متساوي الضلعين في J
• فإن الزاويتين عند القاعدة متساويتان: \widehat{JOC} = \widehat{JCO}
• وبتطبيق خصائص التماثل: \widehat{JOC} = \widehat{ACB}
و - احسب: \( \widehat{BOI} + \widehat{IOJ} + \widehat{JOC} \)

تحليل الزوايا:

• الزوايا الثلاثة \widehat{BOI}, \widehat{IOJ}, \widehat{JOC} هي زوايا متجاورة

• هذه الزوايا تشكل معاً زاوية مستقيمة حول النقطة O على المستقيم (BC)

الحساب: بما أن النقاط B, O, C تقع على استقامة واحدة، فإن:
\widehat{BOI} + \widehat{IOJ} + \widehat{JOC} = 180°
التفسير: مجموع الزوايا حول نقطة على مستقيم يساوي دائماً 180°
ز - ما هي خاصية المثلث التي تستنتجها؟

الخصائص المستنتجة:

1. نظرية المستقيم الأوسط:
• المستقيم الذي يصل بين منتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث
• وطوله يساوي نصف طول الضلع الثالث
2. خاصية التماثل المحوري:
• إنشاء النقطة O مناظرة A يؤدي إلى تكوين شكل متماثل
• التماثل يحافظ على الأطوال والزوايا
3. خاصية الدوائر:
• النقاط A, B, O تقع على دائرة مركزها I
• النقاط A, C, O تقع على دائرة مركزها J
الاستنتاج العام: هذا التمرين يوضح الترابط بين نظرية المستقيم الأوسط والتماثل المحوري في الهندسة المستوية