تمارين التناظر المحوري

✅ الحل الكامل

1) إثبات العمودية (AE) ⊥ (D) و (BF) ⊥ (D):

بما أن E هي نظيرة A بالنسبة لـ (D)، فإنه حسب تعريف التناظر المحوري، يكون المستقيم (D) هو الواسط العمودي للقطعة [AE]. إذن، (AE) عمودي على (D).

وبالمثل، بما أن F هي نظيرة B بالنسبة لـ (D)، فإن (D) هو الواسط العمودي للقطعة [BF]. إذن، (BF) عمودي على (D).

2) استنتاج أن الرباعي AEFB شبه منحرف:

من السؤال الأول، لدينا (AE) ⊥ (D) و (BF) ⊥ (D). بما أن المستقيمين (AE) و (BF) عموديان على نفس المستقيم (D)، فإنهما متوازيان: (AE) || (BF).

الرباعي AEFB له ضلعان متقابلان متوازيان (هما [AE] و [BF])، إذن AEFB هو شبه منحرف قاعدتاه [AE] و [BF].

3) إثبات أن AB=EF:

بما أن E هي نظيرة A و F هي نظيرة B بالنسبة لـ (D)، وبما أن التناظر المحوري يحافظ على المسافات، فإن المسافة بين النقطتين الأصليتين AB تساوي المسافة بين نظيرتيهما EF.

إذن، AB = EF.

4) إثبات أن BE=AF:

لقد أثبتنا أن AEFB شبه منحرف، وأن ساقيه غير المتوازيين [AB] و [EF] متقايسان (AB=EF). إذن، AEFB هو شبه منحرف متقايس الضلعين.

في شبه المنحرف متقايس الضلعين، يكون قطراه متقايسين. قطرا الرباعي AEFB هما [AF] و [BE].

إذن، AF = BE.

5) تحديد نظيرة الزاوية ∠EAB:

لإيجاد نظيرة الزاوية ∠EAB، نوجد نظيرة كل نقطة من نقاطها:

• نظيرة E بالنسبة لـ (D) هي A
• نظيرة A بالنسبة لـ (D) هي E
• نظيرة B بالنسبة لـ (D) هي F

إذن، نظيرة الزاوية ∠EAB هي الزاوية ∠AEF.

6) تحديد قيس الزاوية ∠EAB:

في شبه المنحرف متقايس الضلعين AEFB، مجموع زاويتين متتاليتين تقعان على نفس الساق يساوي 180 درجة.

أي أن ∠EAB + ∠AEF = 180°.

نعلم أن ∠AEF = 123°.

إذن، ∠EAB = 180° - 123° = 57°.

التعليل: لأن AEFB شبه منحرف متقايس الضلعين فيه (AE) || (BF)، فإن مجموع الزاويتين المتحالفتين يساوي 180°.

✅ الحل الكامل

1) الرسم:

نرسم مثلث ABC. لرسم الواسط العمودي Δ للقطعة [BC]، نعين منتصف [BC] ثم نرسم المستقيم العمودي على (BC) في تلك النقطة.

2) تعيين A' وتحديد نظيرة [AC]:

أ- نظيرة القطعة [AC]:

لإيجاد نظيرة القطعة [AC]، يجب أن نجد نظيرة كل من طرفيها A و C.

• نظيرة A بالنسبة لـ Δ هي A' (حسب المعطيات)
• نظيرة C بالنسبة لـ Δ: بما أن Δ هو الواسط العمودي للقطعة [BC]، فإن B هي نظيرة C وC هي نظيرة B بالنسبة لـ Δ

إذن، نظيرة القطعة [AC] هي القطعة [A'B].

ب- مقارنة AC و A'B:

التناظر المحوري هو تقايس، أي أنه يحافظ على الأطوال.

بما أن القطعة [A'B] هي نظيرة القطعة [AC] بالنسبة لـ Δ، فإن لهما نفس الطول.

إذن، AC = A'B.

الخاصية المستخدمة: خاصية حفظ المسافات (الأطوال) في التناظر المحوري.

3) نقطة التقاطع I والاستقامة:

أ- تحديد نظيرتي A و C:

• نظيرة A بالنسبة لـ Δ هي A'
• نظيرة C بالنسبة لـ Δ هي B

ب- إثبات أن A', I, B على استقامة واحدة:

لدينا I هي نقطة تقاطع (AC) و Δ. هذا يعني أن I ∈ (AC) وأيضًا I ∈ Δ.

1. نظيرة المستقيم (AC) هي المستقيم (A'B) (لأن نظيرة A هي A' ونظيرة C هي B)
2. بما أن النقطة I تنتمي إلى محور التناظر Δ، فإنها نقطة صامدة، أي أن نظيرتها هي نفسها: نظيرة I هي I
3. بما أن I تنتمي إلى المستقيم (AC)، فإن نظيرتها (التي هي I) يجب أن تنتمي إلى نظيرة المستقيم (AC) (الذي هو (A'B))

إذن، نستنتج أن I ∈ (A'B). وهذا يعني أن النقط A', I, B تقع على نفس المستقيم، أي أنها على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

الافتراض: سنحل التمرين على أساس أن المثلث ABC قائم في A ومتقايس الضلعين (AB = AC).

1) إثبات أن (AI) هو الواسط العمودي لـ [BC]:

في المثلث ABC، لدينا AB = AC (متقايس الضلعين) و I هي منتصف القاعدة [BC].

الخاصية: في المثلث متقايس الضلعين، المتوسط المتعلق بالقاعدة يكون أيضاً ارتفاعاً ومنصفاً للزاوية ومحور تناظر.

بما أن (AI) هو المتوسط المتعلق بالقاعدة [BC]، فإنه أيضاً الارتفاع الموافق لها، أي (AI) ⊥ (BC).

بما أن (AI) يمر من منتصف [BC] وهو عمودي عليها، فإن (AI) هو الواسط العمودي للقطعة [BC].

2) إثبات استقامة النقط A, C, F:

لدينا E نقطة من (AB) و F هي نظيرتها بالنسبة للمحور (AI).

يجب أن نحدد نظير المستقيم (AB) بالنسبة للمحور (AI).

• نظيرة النقطة A (التي تنتمي للمحور (AI)) هي A نفسها
• نظيرة النقطة B: بما أن (AI) هو الواسط العمودي لـ [BC]، فإن نظيرة B هي C

إذن، نظير المستقيم (AB) هو المستقيم (AC).

بما أن E ∈ (AB)، فإن نظيرتها F تنتمي إلى نظير المستقيم (AB)، أي F ∈ (AC).

وبما أن F تنتمي إلى المستقيم (AC)، فإن النقط A, C, F على استقامة واحدة.

3) إكمال الجملة واستنتاج استقامة A, I, O:

لدينا O هي نقطة تلاقي (BE) و (CF). لنحدد نظير المستقيم (BE).

• نظيرة B هي C
• نظيرة E هي F

إذن، نظير المستقيم (BE) هو المستقيم (CF).

النقطة O هي نقطة تقاطع المستقيم (BE) مع نظيره (CF). حسب الخاصية، يجب أن تنتمي نقطة التقاطع هذه إلى محور التناظر.

إذن، O ∈ (AI).

وبما أن النقطتين A و I تنتميان أيضاً للمستقيم (AI)، فإن النقط A, I, O على استقامة واحدة.

الجملة كاملة:

بما أن المستقيم (CF) هو نظير المستقيم (BE)، فإن (BE) يلاقي صورته (CF) في نقطة من محور التناظر (AI). إذن O نقطة من المستقيم (AI). إذن A,I,O على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن A ∈ Δ:

نعلم أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A. هذا يعني أن AB = AC.

بما أن النقطة A متساوية البعد عن النقطتين B و C، فإنه حسب خاصية الواسط العمودي، تنتمي النقطة A إلى الواسط العمودي للقطعة [BC]، والذي هو المستقيم Δ.

إذن، A ∈ Δ.

2) صورة القطعة [AB] بالتناظر المحوري بالنسبة لـ Δ:

لإيجاد صورة القطعة [AB]، نحدد صورة طرفيها:

• صورة A: بما أن A ∈ Δ (محور التناظر)، فإنها نقطة صامدة، وصورتها هي A نفسها
• صورة B: بما أن Δ هو الواسط العمودي لـ [BC]، فإن صورة B هي C

إذن، صورة القطعة [AB] هي القطعة [AC].

3) إثبات أن N ∈ [AC]:

لدينا M نقطة من القطعة [AB] و N هي نظيرتها بالنسبة لـ Δ.

الخاصية: التناظر المحوري يحافظ على الانتماء. إذا كانت نقطة تنتمي إلى شكل، فإن نظيرتها تنتمي إلى نظير ذلك الشكل.

بما أن M ∈ [AB]، فإن نظيرتها N يجب أن تنتمي إلى نظيرة القطعة [AB].

من السؤال السابق، نعلم أن نظيرة [AB] هي [AC].

إذن، نستنتج أن N ∈ [AC].