(Δ) γ O A

التناظر المحوري - الصف السابع أساسي (الصفحات 7 و8)

التمرين رقم 15

ارسم دائرة γ مركزها O وقطرها 3cm وعين عليها نقطة A والمستقيم Δ المماس للدائرة γ في A.

1) ارسم الدائرة γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ، لتكن I مركز γ'.

2) المستقيم (IO) يقطع γ' في B و D، أثبت أن D و B متناظرتان بالنسبة لـ Δ.

3) عين نقطة E على γ' حيث BE = OB و F متناظرها بالنسبة لـ Δ.

أ) بين أن F ∈ γ.

ب) بين أن المثلث DFI متقايس الأضلاع.

الحل التفصيلي:

الجزء 1:

  1. لرسم γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ:
    • نرسم عموداً من O على Δ (يمر بـ A لأن Δ مماس في A)
    • نحدد I بحيث OA = AI (أي I مناظرة O بالنسبة لـ Δ)
    • نرسم الدائرة γ' مركزها I ونصف قطرها 3cm

الجزء 2:

لإثبات أن B و D متناظرتان بالنسبة لـ Δ:

  1. (IO) هو المستقيم المار بمركزي الدائرتين
  2. يقطع γ' في نقطتين B و D
  3. بما أن γ' مناظرة لـ γ بالنسبة لـ Δ
  4. فإن Δ هو المتوسط العمودي لجميع القطع الواصلة بين النقاط ونظائرها
  5. إذن B و D متناظرتان بالنسبة لـ Δ

الجزء 3أ:

لإثبات أن F ∈ γ:

  • F مناظرة E بالنسبة لـ Δ
  • E ∈ γ' (منشأة من γ)
  • بما أن γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ
  • فإن مناظرة أي نقطة على γ' تكون على γ

الجزء 3ب:

لإثبات أن DFI متقايس الأضلاع:

  1. DI = FI لأن D و F متناظرتان بالنسبة لـ (IO)
  2. DF = FI لأن F مناظرة E وخصائص التناظر
  3. إذن جميع أضلاع المثلث متساوية

التمرين رقم 16

- ارسم مثلث ABC متقايس الأضلاع حيث AB = 4cm.

- ارسم النقطة D مناظرة النقطة B بالنسبة إلى المستقيم (AC).

- بين أن الرباعي ABCD هو معين.

- بين أن المستقيم (BD) هو المتوسط العمودي للقطعة [AC].

- ما هو محور تناظر المعين ABCD؟

الحل التفصيلي:

رسم الشكل:

  1. نرسم المثلث متساوي الأضلاع ABC مع AB = BC = AC = 4cm
  2. نرسم D مناظرة B بالنسبة لـ (AC):
    • نرسم عموداً من B على (AC)
    • نمد القطعة بنفس الطول على الجانب الآخر

إثبات أن ABCD معين:

  1. AB = BC = CD = DA = 4cm (لأن ABC متساوي الأضلاع و D مناظرة B)
  2. جميع الأضلاع متساوية، إذن الشكل معين

إثبات أن (BD) متوسط عمودي لـ [AC]:

  • B و D متناظرتان بالنسبة لـ (AC)
  • إذن (AC) هو المتوسط العمودي لـ [BD]
  • وبالعكس (BD) متوسط عمودي لـ [AC]

محور التناظر:

  • المستقيم (BD) هو محور التناظر للمعين ABCD

التمرين رقم 17

ارسم مثلث ABC متقايس الساقين قمته الرئيسية A حيث AB = AC = 4cm و Δ المتوسط العمودي لـ [BC].

أ) ما هي مناظرة النقطة A بالنسبة لـ Δ؟ علل جوابك.

ب) ما هي مناظرة النقطة B بالنسبة لـ Δ؟ علل جوابك.

ج) ما هي مناظرة الزاوية ABC بالنسبة لـ Δ؟ علل جوابك.

د) استنتج أن ABC = ACB.

هـ) عين النقطة M منتصف [AB] وارسم مناظرتها N بالنسبة لـ Δ.

و) بين أن N ∈ [AC].

ز) بين أن AN = 2cm.

ح) استنتج أن N منتصف [AC].

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

مناظرة A بالنسبة لـ Δ هي A نفسها لأن:

  • Δ هو المتوسط العمودي لـ [BC]
  • المثلث متقايس الضلعين في A
  • إذن A تقع على Δ
  • ومناظرة النقطة الواقعة على المحور هي نفسها

الجزء ب:

مناظرة B بالنسبة لـ Δ هي C لأن:

  • Δ متوسط عمودي لـ [BC]
  • إذن B و C متناظرتان بالنسبة لـ Δ

الجزء ج:

مناظرة الزاوية ABC بالنسبة لـ Δ هي الزاوية ACB لأن:

  • مناظرة B هي C
  • مناظرة A هي A
  • مناظرة C هي B
  • إذن مناظرة ABC هي ACB

الجزء د:

ABC = ACB لأن:

  • الزاويتان متناظرتان بالنسبة لـ Δ
  • والتناظر يحافظ على قياس الزوايا

الجزء هـ:

  1. M منتصف [AB] ⇒ AM = MB = 2cm
  2. لرسم N مناظرة M بالنسبة لـ Δ:
    • نرسم عموداً من M على Δ
    • نمد القطعة بنفس الطول على الجانب الآخر

الجزء و:

N ∈ [AC] لأن:

  • M ∈ [AB]
  • مناظرة [AB] هي [AC] بالنسبة لـ Δ

الجزء ز:

AN = 2cm لأن:

  • AM = 2cm
  • والتناظر يحافظ على الأطوال

الجزء ح:

N منتصف [AC] لأن:

  • AC = 4cm
  • AN = 2cm
  • إذن NC = 2cm

التمرين رقم 18

أ) ارسم مثلث EFG متقايس الساقين قمته الرئيسية E.

ب) ارسم النقطة I منتصف [FG]. بين أن المستقيم (EI) هو الوسط العمودي لـ [FG].

ج) بين أن الزاويتين [EF, EI] و [EG, EI] متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (EI).

د) ما هي خاصية المثلث متقايس الساقين التي تستنتجها؟

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. نرسم مثلث EFG حيث EF = EG
  2. نحدد القاعدة [FG]

الجزء ب:

(EI) هو الوسط العمودي لـ [FG] لأن:

  1. I منتصف [FG] (معطى)
  2. المثلث متقايس الضلعين ⇒ الارتفاع [EI] ينصف القاعدة
  3. إذن (EI) ⊥ [FG] في منتصفها

الجزء ج:

الزاويتان متناظرتان لأن:

  • (EI) هو محور التناظر للمثلث
  • الزاوية FEI تتناظر مع الزاوية GEI

الجزء د:

خاصية المثلث متقايس الضلعين:

  • له محور تناظر واحد هو الوسط العمودي للقاعدة
  • الزاويتان عند القاعدة متساويتان
  • الارتفاع الرئيسي ينصف القاعدة والزاوية الرأسية

التمرين رقم 21

نعتبر نقاط A و B و C ومناظراتها A' و B' و C' على التوالي بالنسبة لمستقيم Δ.

اربط بسهم كل جملة من العمود الأول بما يناسبها في العمود الثاني:

العمود الأول العمود الثاني
(BC) // (B'C') AB = 5
A'C' = B'C' A و B و C على استقامة واحدة
C ∈ (A'B') C ∈ Δ
A'C' = 5 إذا كان BAC = 25°
(AB') = (AB) [AB] منصف C
(AB) ⊥ Δ
(BC) // Δ
C ∈ Δ

الحل التفصيلي:

التطابق الصحيح بين العبارات:

  1. (BC) // (B'C') ← (BC) // Δ
  2. A'C' = B'C' ← [AB] منصف C
  3. C ∈ (A'B') ← A و B و C على استقامة واحدة
  4. A'C' = 5 ← AB = 5 (لأن التناظر يحافظ على الأطوال)
  5. (AB') = (AB) ← (AB) ⊥ Δ
  6. إذا كان BAC = 25° ← C ∈ Δ

التفسير:

  • عندما يكون (BC) // Δ، فإن (B'C') // (BC) لأن التناظر يحافظ على التوازي
  • عندما يكون C منتصف [AB]، فإن A'C' = B'C'
  • إذا كانت النقاط على استقامة واحدة، فإن C تقع على (A'B')