استكشاف مفاهيم أعمق في الرياضيات

A Au Av 40°
1
التناظر المحوري - الصف السابع أساسي (الصفحات 5 و6)
2
التمرين رقم 1

نعتبر زاوية [Au, Av] قيسها 40° والنقطة I تنتمي إلى [Av] حيث AI=3cm.

أ) ارسم المستقيم (A) المار من I والعمودي على (Av) وحيث يقطع (Au) في النقطة C.

ب) ارسم النقطة B مناظرة النقطة A بالنسبة إلى المستقيم (A). بين أن B تنتمي إلى [Av].

ج) بين أن ABC = 40°.

د) ما هي طبيعة المثلث ABC؟

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. لرسم المستقيم (A):
    • نرسم الزاوية [Au, Av] بقيس 40°
    • نحدد النقطة I على [Av] بحيث AI = 3cm
    • نرسم عموداً على (Av) من النقطة I
    • هذا العمود يقطع (Au) في النقطة C

الجزء ب:

  1. لرسم B مناظرة A بالنسبة إلى (A):
    • نرسم عموداً من A على (A) ونسمي نقطة التقاطع M
    • نمد [AM] بنفس الطول على الجانب الآخر لـ(A) لنحصل على B
  2. B تنتمي إلى [Av] لأن:
    • (A) عمودي على (Av)
    • الانعكاس حول (A) يحول (Av) إلى نفسه

الجزء ج:

الزاوية ABC = 40° لأن:

  • الزاوية بين [BA] و [BC] تساوي الزاوية بين [Au] و [Av]
  • حسب خصائص الانعكاس، الزوايا محفوظة

الجزء د:

طبيعة المثلث ABC:

  • مثلث متقايس الضلعين في B لأن BA = BC (خاصية الانعكاس)
  • قائم الزاوية في A لأن (A) عمودي على (Av) و B مناظرة A
3
التمرين رقم 1

نعتبر زاوية [Au, Av] قيسها 40° والنقطة I تنتمي إلى [Av] حيث AI=3cm.

أ) ارسم المستقيم (A) المار من I والعمودي على (Av) وحيث يقطع (Au) في النقطة C.

ب) ارسم النقطة B مناظرة النقطة A بالنسبة إلى المستقيم (A). بين أن B تنتمي إلى [Av].

ج) بين أن ABC = 40°.

د) ما هي طبيعة المثلث ABC؟

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. لرسم المستقيم (A):
    • نرسم الزاوية [Au, Av] بقيس 40°
    • نحدد النقطة I على [Av] بحيث AI = 3cm
    • نرسم عموداً على (Av) من النقطة I
    • هذا العمود يقطع (Au) في النقطة C

الجزء ب:

  1. لرسم B مناظرة A بالنسبة إلى (A):
    • نرسم عموداً من A على (A) ونسمي نقطة التقاطع M
    • نمد [AM] بنفس الطول على الجانب الآخر لـ(A) لنحصل على B
  2. B تنتمي إلى [Av] لأن:
    • (A) عمودي على (Av)
    • الانعكاس حول (A) يحول (Av) إلى نفسه

الجزء ج:

الزاوية ABC = 40° لأن:

  • الزاوية بين [BA] و [BC] تساوي الزاوية بين [Au] و [Av]
  • حسب خصائص الانعكاس، الزوايا محفوظة

الجزء د:

طبيعة المثلث ABC:

  • مثلث متقايس الضلعين في B لأن BA = BC (خاصية الانعكاس)
  • قائم الزاوية في A لأن (A) عمودي على (Av) و B مناظرة A
4
التمرين رقم 2

ارسم مثلث ABC حيث ACB = 40° و ABC = 70° و BC = 5cm.

أ) ما هي صورة الزاوية ABC بالنسبة للتناظر المحوري الذي محوره (BC)؟

ب) استنتج أن [BD] هو منصف الزاوية ABD.

ج) احسب BDC.

د) ارسم النقطة E مسقط العمودي لـ C على (AB) ثم النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى (BC).

هـ) بين أن المثلث BCF قائم الزاوية.

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

صورة الزاوية ABC بالنسبة لمحور (BC) هي الزاوية DBC حيث:

  • صورة النقطة A هي D بالنسبة إلى (BC)
  • صورة [BA] هي [BD]
  • إذن صورة الزاوية ABC هي الزاوية DBC

الجزء ب:

[BD] هو منصف الزاوية ABD لأن:

  1. الزاوية ABC = 70° (معطى)
  2. الزاوية DBC = 70° (من الانعكاس)
  3. إذن الزاوية ABD = 140°
  4. [BD] يقسمها إلى زاويتين متساويتين (70° لكل منهما)

الجزء ج:

حساب BDC:

  • في المثلث BDC: الزاوية DBC = 70°
  • الزاوية BCD = 40° (معطى)
  • إذن BDC = 180° - (70° + 40°) = 70°

الجزء د:

  1. لرسم مسقط العمودي E:
    • نرسم عموداً من C على (AB)
    • نقطة التقاطع هي E
  2. لرسم F مناظرة E بالنسبة إلى (BC):
    • نرسم عموداً من E على (BC)
    • نمد القطعة بنفس الطول على الجانب الآخر

الجزء هـ:

المثلث BCF قائم الزاوية في C لأن:

  • F مناظرة E بالنسبة إلى (BC)
  • E مسقط عمودي C على (AB)
  • إذن الزاوية BCF = الزاوية BCE = 90°
5
التمرين رقم 2

ارسم مثلث ABC حيث ACB = 40° و ABC = 70° و BC = 5cm.

أ) ما هي صورة الزاوية ABC بالنسبة للتناظر المحوري الذي محوره (BC)؟

ب) استنتج أن [BD] هو منصف الزاوية ABD.

ج) احسب BDC.

د) ارسم النقطة E مسقط العمودي لـ C على (AB) ثم النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى (BC).

هـ) بين أن المثلث BCF قائم الزاوية.

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

صورة الزاوية ABC بالنسبة لمحور (BC) هي الزاوية DBC حيث:

  • صورة النقطة A هي D بالنسبة إلى (BC)
  • صورة [BA] هي [BD]
  • إذن صورة الزاوية ABC هي الزاوية DBC

الجزء ب:

[BD] هو منصف الزاوية ABD لأن:

  1. الزاوية ABC = 70° (معطى)
  2. الزاوية DBC = 70° (من الانعكاس)
  3. إذن الزاوية ABD = 140°
  4. [BD] يقسمها إلى زاويتين متساويتين (70° لكل منهما)

الجزء ج:

حساب BDC:

  • في المثلث BDC: الزاوية DBC = 70°
  • الزاوية BCD = 40° (معطى)
  • إذن BDC = 180° - (70° + 40°) = 70°

الجزء د:

  1. لرسم مسقط العمودي E:
    • نرسم عموداً من C على (AB)
    • نقطة التقاطع هي E
  2. لرسم F مناظرة E بالنسبة إلى (BC):
    • نرسم عموداً من E على (BC)
    • نمد القطعة بنفس الطول على الجانب الآخر

الجزء هـ:

المثلث BCF قائم الزاوية في C لأن:

  • F مناظرة E بالنسبة إلى (BC)
  • E مسقط عمودي C على (AB)
  • إذن الزاوية BCF = الزاوية BCE = 90°
6
التمرين رقم 3

نعتبر مثلث EFG قائم الزاوية في E حيث EF = 3cm و EFG = 60°.

أ) ارسم النقطة H مناظرة النقطة F بالنسبة إلى المستقيم (EG).

ب) بين أن GHE = 60°.

ج) بين أن المثلث FGH متقايس الأضلاع.

د) احسب محيط المثلث FGH.

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. لرسم H مناظرة F بالنسبة إلى (EG):
    • نرسم عموداً من F على (EG)
    • نسمي نقطة التقاطع M
    • نمد [FM] بنفس الطول على الجانب الآخر لـ(EG)

الجزء ب:

الزاوية GHE = 60° لأن:

  • الزاوية EFG = 60° (معطى)
  • H مناظرة F بالنسبة إلى (EG)
  • إذن الزاوية GHE = الزاوية EFG (حفظ الزوايا بالانعكاس)

الجزء ج:

المثلث FGH متقايس الأضلاع لأن:

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

الجزء د:

حساب محيط المثلث FGH:

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

7
التمرين رقم 3

نعتبر مثلث EFG قائم الزاوية في E حيث EF = 3cm و EFG = 60°.

أ) ارسم النقطة H مناظرة النقطة F بالنسبة إلى المستقيم (EG).

ب) بين أن GHE = 60°.

ج) بين أن المثلث FGH متقايس الأضلاع.

د) احسب محيط المثلث FGH.

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. لرسم H مناظرة F بالنسبة إلى (EG):
    • نرسم عموداً من F على (EG)
    • نسمي نقطة التقاطع M
    • نمد [FM] بنفس الطول على الجانب الآخر لـ(EG)

الجزء ب:

الزاوية GHE = 60° لأن:

  • الزاوية EFG = 60° (معطى)
  • H مناظرة F بالنسبة إلى (EG)
  • إذن الزاوية GHE = الزاوية EFG (حفظ الزوايا بالانعكاس)

الجزء ج:

المثلث FGH متقايس الأضلاع لأن:

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

الجزء د:

حساب محيط المثلث FGH:

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

8
التمرين رقم 4

ارسم دائرة γ مركزها O وشعاعها 3cm ومستقيما Δ بعده عن O يساوي 2cm.

1) ما هي الوضعية النسبية لـ Δ و γ؟ علل جوابك.

2) المستقيم Δ يقطع γ في نقطتين A و B.

3) ارسم النقطة I مناظرة O بالنسبة لـ Δ والدائرة γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ.

أ) هل تنتمي كل من النقطتين A و B إلى الدائرة γ'؟ علل جوابك.

ب) المستقيم (OA) يقطع γ' في نقطة ثانية E.

ج) بين النقطة F مناظرة E بالنسبة لـ Δ.

د) بين أن F تنتمي إلى الدائرة γ.

هـ) أوجد البعد FA واستنتج أن IA منتصف [FA].

الحل التفصيلي:

الجزء 1:

الوضعية النسبية لـ Δ و γ:

  • بعد Δ عن O = 2cm
  • شعاع الدائرة = 3cm
  • بما أن 2 < 3، إذن المستقيم Δ يقطع الدائرة γ في نقطتين

الجزء 2:

لرسم تقاطع Δ مع γ:

  1. نرسم الدائرة γ مركزها O شعاعها 3cm
  2. نرسم المستقيم Δ على بعد 2cm من O
  3. نقطتا التقاطع هما A و B

الجزء 3:

لرسم I مناظرة O بالنسبة لـ Δ:

  1. نرسم عموداً من O على Δ
  2. نمد القطعة بنفس الطول على الجانب الآخر

الجزء أ:

نعم، A و B تنتميان إلى γ' لأن:

  • γ' هي مناظرة γ بالنسبة لـ Δ
  • A و B تنتميان إلى γ وتقعان على Δ
  • إذن مناظرتهما هي نفسها وتنتمي إلى γ'

الجزء ب:

(OA) يقطع γ' في E لأن:

  • O تنتمي إلى γ
  • مناظرتها I تنتمي إلى γ'
  • (OA) يمر بـ I (مركز γ')

الجزء ج:

F مناظرة E بالنسبة لـ Δ هي نفسها A لأن:

  • E مناظرة O بالنسبة لـ Δ (بما أن γ' مناظرة γ)
  • إذن مناظرة E هي O
  • لكن السؤال يحتاج إلى توضيح أكثر

الجزء د:

F تنتمي إلى γ لأن:

  • F مناظرة E بالنسبة لـ Δ
  • E تنتمي إلى γ' المناظرة لـ γ
  • إذن F تنتمي إلى γ

الجزء هـ:

حساب FA:

  • باستخدام خصائص التناظر، FA = 2 × المسافة من A إلى Δ
  • IA هو نصف FA لأن I منتصف [OF]
9
التمرين رقم 4

ارسم دائرة γ مركزها O وشعاعها 3cm ومستقيما Δ بعده عن O يساوي 2cm.

1) ما هي الوضعية النسبية لـ Δ و γ؟ علل جوابك.

2) المستقيم Δ يقطع γ في نقطتين A و B.

3) ارسم النقطة I مناظرة O بالنسبة لـ Δ والدائرة γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ.

أ) هل تنتمي كل من النقطتين A و B إلى الدائرة γ'؟ علل جوابك.

ب) المستقيم (OA) يقطع γ' في نقطة ثانية E.

ج) بين النقطة F مناظرة E بالنسبة لـ Δ.

د) بين أن F تنتمي إلى الدائرة γ.

هـ) أوجد البعد FA واستنتج أن IA منتصف [FA].

الحل التفصيلي:

الجزء 1:

الوضعية النسبية لـ Δ و γ:

  • بعد Δ عن O = 2cm
  • شعاع الدائرة = 3cm
  • بما أن 2 < 3، إذن المستقيم Δ يقطع الدائرة γ في نقطتين

الجزء 2:

لرسم تقاطع Δ مع γ:

  1. نرسم الدائرة γ مركزها O شعاعها 3cm
  2. نرسم المستقيم Δ على بعد 2cm من O
  3. نقطتا التقاطع هما A و B

الجزء 3:

لرسم I مناظرة O بالنسبة لـ Δ:

  1. نرسم عموداً من O على Δ
  2. نمد القطعة بنفس الطول على الجانب الآخر

الجزء أ:

نعم، A و B تنتميان إلى γ' لأن:

  • γ' هي مناظرة γ بالنسبة لـ Δ
  • A و B تنتميان إلى γ وتقعان على Δ
  • إذن مناظرتهما هي نفسها وتنتمي إلى γ'

الجزء ب:

(OA) يقطع γ' في E لأن:

  • O تنتمي إلى γ
  • مناظرتها I تنتمي إلى γ'
  • (OA) يمر بـ I (مركز γ')

الجزء ج:

F مناظرة E بالنسبة لـ Δ هي نفسها A لأن:

  • E مناظرة O بالنسبة لـ Δ (بما أن γ' مناظرة γ)
  • إذن مناظرة E هي O
  • لكن السؤال يحتاج إلى توضيح أكثر

الجزء د:

F تنتمي إلى γ لأن:

  • F مناظرة E بالنسبة لـ Δ
  • E تنتمي إلى γ' المناظرة لـ γ
  • إذن F تنتمي إلى γ

الجزء هـ:

حساب FA:

  • باستخدام خصائص التناظر، FA = 2 × المسافة من A إلى Δ
  • IA هو نصف FA لأن I منتصف [OF]