استكشاف مفاهيم أعمق في الرياضيات

E A B (D) (C)
1
1تمرين رقم 22

نعتبر مستقيماً (D) ونقطة E لا تنتمي إليه.

- ارسم دائرة (C) مركزها E وتقطع المستقيم (D) في نقطتين A و B.

- ارسم (Δ) الوسط العمودي للقطعة [AB] وبين أن (Δ) يمر من E.

- ارسم نقطة F بحيث يكون (D) الوسط العمودي للقطعة [EF].

- بين أن النقطتين F و E متناظرتان بالنسبة إلى (D).

- بين أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (Δ).

الحل التفصيلي:

رسم الدائرة:

  1. نرسم المستقيم (D)
  2. نختار نقطة E خارج (D)
  3. نرسم الدائرة (C) مركزها E وتقطع (D) في A و B

الوسط العمودي Δ:

  • نرسم Δ الوسط العمودي لـ [AB]
  • Δ يمر بـ E لأن:
    • E مركز الدائرة المارة بـ A و B
    • EA = EB (نصف قطر الدائرة)
    • إذن E تقع على الوسط العمودي لـ [AB]

رسم النقطة F:

  1. نرسم F بحيث يكون (D) الوسط العمودي لـ [EF]
  2. أي أن F مناظرة E بالنسبة لـ (D)

إثبات التناظر بين E و F:

  • بما أن (D) هو الوسط العمودي لـ [EF]
  • فإن E و F متناظرتان بالنسبة لـ (D)

إثبات التناظر بين A و B:

  • Δ هو الوسط العمودي لـ [AB]
  • إذن A و B متناظرتان بالنسبة لـ Δ
2
2تمرين رقم 23

ارسم قطعة مستقيم [AB] طولها 4cm ثم ارسم الدائرة C التي مركزها A وشعاعها 3cm والدائرة C' التي مركزها B وشعاعها 2.5cm.

1) بين أن النقطتين C و D متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (AB).

2) بين أن [AB] هو منصف الزاوية CAD.

3) ليكن I منتصف [CD]، المستقيم (IA) يقطع (CA) في نقطة ثانية E.

4) بين أن EAF = BAD.

5) المستقيم العمودي على (AB) في النقطة A يقطع الدائرة في M و N. بين أن (AB) هو الوسط العمودي للقطعة [MN].

الحل التفصيلي:

رسم الشكل:

  1. نرسم [AB] بطول 4cm
  2. نرسم الدائرة C مركزها A نصف قطرها 3cm
  3. نرسم الدائرة C' مركزها B نصف قطرها 2.5cm
  4. الدائرتان تتقاطعان في النقطتين C و D

الجزء 1:

C و D متناظرتان بالنسبة لـ (AB) لأن:

  • AC = AD = 3cm (نصف قطر الدائرة C)
  • BC = BD = 2.5cm (نصف قطر الدائرة C')
  • إذن (AB) هو الوسط العمودي لـ [CD]

الجزء 2:

[AB] منصف الزاوية CAD لأن:

  • المثلثان ABC و ABD متطابقان
  • إذن الزاوية CAB = الزاوية DAB

الجزء 5:

(AB) هو الوسط العمودي لـ [MN] لأن:

  • (AB) عمودي على (MN) في A
  • AM = AN = 3cm (أشعة الدائرة)
3
لتمرين رقم 24

1) ارسم مثلث OAB قائم الزاوية في A حيث AB = 6cm و OA = 2cm.

2) بين أن النقطة A مناظرة النقطة O بالنسبة إلى المستقيم (AB).

3) ما هو نوع المثلث OAB؟ علل جوابك.

4) ارسم الدائرة Γ التي مركزها O وشعاعها AO.

أ) بين أن B ∈ Γ ثم اذكر وضعية المستقيم (AB) بالنسبة للدائرة Γ.

ب) عين على الدائرة Γ النقطة M حيث تكون الزاويتان AOM و AOE متكاملتين.

الحل التفصيلي:

الجزء 1:

  1. نرسم الزاوية القائمة في A
  2. نحدد OA = 2cm
  3. نحدد AB = 6cm
  4. نصل B مع O

الجزء 3:

نوع المثلث OAB:

  • مثلث قائم الزاوية في A
  • غير متقايس الضلعين لأن OA ≠ AB

الجزء 4:

وضعية (AB) بالنسبة لـ Γ:

  • (AB) مماس للدائرة Γ لأن:
    • (AB) ⊥ (OA)
    • OA هو نصف القطر
ملاحظة: هناك تحقق مطلوب من التمرين الأصلي حيث يبدو أن هناك تضارب في الأبعاد المعطاة
4
التمرين رقم 25

نعتبر قطعة مستقيم [II'] حيث II' = 3cm.

أ) ارسم الدائرة (C) التي مركزها I وشعاعها II' والدائرة (C') التي مركزها I' وشعاعها 2cm.

ب) ما هي الوضعية النسبية للدائرتين (C) و (C')؟

ج) الدائرتان (C) و (C') تتقاطعان في النقطتين A و B، بين أن A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (II').

د) ما هو محور تناظر الشكل الناتج؟ علل جوابك.

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. نرسم [II'] بطول 3cm
  2. نرسم الدائرة (C) مركزها I نصف قطرها 3cm
  3. نرسم الدائرة (C') مركزها I' نصف قطرها 2cm

الجزء ب:

الوضعية النسبية:

  • مجموع الشعاعين = 3 + 2 = 5cm
  • الفرق بين الشعاعين = 3 - 2 = 1cm
  • بعد المراكز = 3cm
  • إذن الدائرتان تتقاطعان في نقطتين

الجزء ج:

A و B متناظرتان بالنسبة لـ (II') لأن:

  • IA = IB = 3cm
  • I'A = I'B = 2cm
  • إذن (II') هو الوسط العمودي لـ [AB]

الجزء د:

محور التناظر هو المستقيم (II') لأن:

  • ينصف القطعة [AB]
  • يمثل محور تناظر للنظام بأكمله
5
التمرين رقم 26

أ) ارسم دائرتين (C) و (C') متقايستين ومتماستين خارجياً في نقطة I.

ب) لتكن O مركز الدائرة (C) و O' مركز الدائرة (C'). بين أن I منتصف [OO'].

ج) ارسم المستقيم (Δ) بحيث تكون النقطتان O و O' متناظرتين بالنسبة إلى المستقيم (Δ).

د) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (Δ) والدائرتين (C) و (C')؟

هـ) ما هي محاور تناظر الشكل الناتج؟

الحل التفصيلي:

الجزء أ:

  1. نرسم الدائرة (C) مركزها O
  2. نرسم الدائرة (C') مركزها O' بنفس نصف القطر
  3. نجعلهما متماستين خارجياً في I

الجزء ب:

I منتصف [OO'] لأن:

  • OI = O'I (أنصاف أقطار متساوية)
  • النقطة I تنتمي إلى كلا الدائرتين

الجزء ج:

لرسم (Δ):

  • (Δ) هو الوسط العمودي لـ [OO']
  • يمر بـ I لأنه منتصف [OO']

الجزء د:

الوضعية النسبية:

  • (Δ) مماس مشترك للدائرتين في I

الجزء هـ:

محاور التناظر:

  • المستقيم (Δ)
  • المستقيم (OO')