سلسلة تمارين التناظر المحوري

استكشاف مفاهيم أعمق في الرياضيات

A B (Δ)
1
الحلول المفصلة والشاملة
2
التمرين 2
تمرين عدد 1

A, B, C ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.

1) عين المستقيم Δ إذا علمت أن B و A متناظرتان بالنسبة إليه.

2) عين النقطة C' مناظرة للنقطة C بالنسبة إلى Δ.

3) أتم الجدول التالي:

[AC) [AB] (BC) ؟ ؟
صورة ؟ ؟ ؟ [CC') (BC')

4) ما هو نوع الرباعي المتحصل عليه؟ علل جوابك.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) بناء المستقيم Δ:

بما أن A و B متناظرتان بالنسبة إلى Δ، فإن Δ هو المنصف العمودي للقطعة [AB]

خطوات البناء:

  • نصل بين النقطتين A و B
  • نحدد منتصف القطعة [AB] ونسميه I
  • نرسم العمودي على [AB] المار بالنقطة I
  • هذا العمودي هو المستقيم Δ المطلوب
2) بناء النقطة C':

لبناء مناظرة النقطة C بالنسبة إلى Δ:

  • نرسم العمودي على Δ المار بالنقطة C
  • نسمي نقطة تقاطع هذا العمودي مع Δ بالنقطة H
  • على استمرار [CH] من جهة H، نحدد النقطة C' بحيث CH = HC'
3) إتمام الجدول:
[BC'] [AB] [BC] [C'C) [AC)
صورة [AC'] [AB] (AC') [C'C) [BC')

التفسير:

  • [AB] → [AB]: لأن A و B ينتميان إلى محور التناظر Δ
  • [AC] → [AC']: لأن C' هو مناظر C بالنسبة إلى Δ
  • [BC] → [BC']: لأن C' هو مناظر C بالنسبة إلى Δ
4) نوع الرباعي:

بما أن C مناظرة C' بالنسبة إلى Δ فإن Δ ⊥ (CC')

بما أن A مناظرة B بالنسبة إلى Δ فإن Δ ⊥ (AB)

النتيجة: الرباعي المتحصل عليه هو شبه منحرف لأن (AC) // (BC') (الضلعان المتقابلان متوازيان)

3
التمرين 3
تمرين عدد 2

عين على (BA) نقطة H بحيث AH = 7cm.

1) أين مناظرة H بالنسبة إلى (BI).

2) أثبت أن النقاط C و B و K على استقامة واحدة.

3) المستقيم (CH) يقطع (BI) في النقطة L. برهن أن L لا تنتمي إلى المستقيم (AK).

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) مناظرة H بالنسبة إلى (BI):

مناظرة H بالنسبة إلى (BI) هي النقطة K حيث AH = 7cm و AK = 7cm

لبناء K:

  • نرسم العمودي على (BI) المار بـ H
  • نحدد نقطة تقاطعه مع (BI)
  • نبني K على الجانب الآخر بنفس المسافة
2) إثبات أن النقاط C و B و K على استقامة واحدة:

بما أن H و K متناظرتان بالنسبة إلى (BI):

  • النقطة B تنتمي إلى محور التناظر (BI)
  • بخاصية التناظر المحوري، النقاط المتناظرة تحافظ على الخطية
  • إذن C و B و K على استقامة واحدة
3) إثبات أن L لا تنتمي إلى (AK):

المستقيم (CH) يقطع (BI) في النقطة L:

  • L هي نقطة تقاطع (CH) مع محور التناظر (BI)
  • لو كانت L تنتمي إلى (AK)، لكان لدينا نقاط A، L، K على استقامة واحدة
  • لكن هذا يتناقض مع خصائص التناظر المحوري
  • إذن L لا تنتمي إلى المستقيم (AK)
4
التمرين 4
تمرين عدد 3

DAB مثلث قائم في A و O منتصف [AB].

1) أين النقطة D' مناظرة للنقطة D بالنسبة إلى (x).

2) بين أن النقطة D' تنتمي إلى الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها [AD].

3) بين أن النقطة C مناظرة للنقطة B بالنسبة إلى (x).

4) بين أن D' يمر من O.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) بناء النقطة D':

النقطة D' مناظرة للنقطة D بالنسبة إلى المحور (x):

  • نرسم العمودي على (x) المار بـ D
  • نحدد نقطة تقاطعه مع (x)
  • نبني D' بحيث تكون على نفس المسافة من محور التناظر
2) إثبات أن D' تنتمي إلى الدائرة:

للإثبات أن D' تنتمي إلى الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها AD:

  • نحسب المسافة OD'
  • بخاصية التناظر المحوري: OD' = OD
  • في المثلث القائم DAB: OD = AD (بخاصية المثلث القائم)
  • إذن OD' = AD، أي D' تنتمي إلى الدائرة
3) إثبات أن C مناظرة B:

لإثبات أن C مناظرة B بالنسبة إلى (x):

  • نتحقق من أن (x) هو المنصف العمودي للقطعة [BC]
  • نثبت أن (x) يمر بمنتصف [BC] وعمودي عليها
4) إثبات أن D' يمر من O:

هذا السؤال يحتاج إلى توضيح أكثر في الصياغة الأصلية

5
التمرين 5
تمرين عدد 4

عين قطعة مستقيم [AC] و [AB].

1) عين نقطة E و F مناظرتين لبعضهما بالنسبة إلى Δ.

2) أتم الجدول التالي:

[AC] [AB] [BC] [CC']
صورة ؟ ؟ ؟ ؟

3) ما نوع الرباعي المتحصل عليه؟ علل.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) بناء النقاط E و F:

لبناء نقطتين E و F متناظرتين بالنسبة إلى Δ:

  • نختار نقطة E خارج المستقيم Δ
  • نبني F مناظرة E بالطريقة المعتادة
  • نتحقق من أن Δ هو المنصف العمودي لـ [EF]
2) إتمام الجدول:

حسب المعطيات المحددة في التمرين، نحتاج إلى المزيد من التوضيح لإتمام الجدول بدقة

3) نوع الرباعي:

نوع الرباعي يعتمد على الشكل المحدد في التمرين والنقاط المستخدمة

6
التمرين 6
تمرين عدد 5

ABC مثلث حيث AC = 4cm و AB = 5cm.

1) أثبت أن النقطة D مناظرة للنقطة B بالنسبة إلى (BC).

2) بين أن نقطة تقاطع A و [BC] هي منصف الضلعين.

3) إذا علمت أن IAC = ICA، استنتج قياس المثلث.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) إثبات التناظر:

لإثبات أن D مناظرة B بالنسبة إلى (BC):

  • نثبت أن (BC) هو المنصف العمودي للقطعة [BD]
  • نتحقق من أن (BC) يمر بمنتصف [BD] وعمودي عليها
2) نقطة التقاطع:

لتكن I نقطة تقاطع Δ و [BC]:

  • نثبت أن I هي منصف للضلعين المعنيين
  • نستخدم خصائص التناظر المحوري
3) قياس المثلث:

إذا علمت أن IAC = ICA:

  • هذا يعني أن المثلث IAC متقايس الضلعين
  • نستنتج خصائص المثلث من هذه المعطية
7
التمرين 7
تمرين عدد 6

ارسم مثلث ABC حيث AB = 7cm، BC = 6cm و ∠ABC = 70° و ∠ACB = 50°.

1) أين النقطة D مناظرة للنقطة A بالنسبة إلى (BC).

2) ما هي مناظرة الزاوية ∠ABC بالنسبة إلى (BC).

3) استنتج أن (BC) هو منصف الزاوية ∠ABD.

4) احسب ∠BDC.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
0) رسم المثلث:
  • نرسم القطعة BC = 6cm
  • في B نرسم زاوية قدرها 70°
  • في C نرسم زاوية قدرها 50°
  • نقطة تقاطع الضلعين هي A
1) بناء النقطة D:

لبناء مناظرة A بالنسبة إلى (BC):

  • نرسم العمودي على (BC) المار بـ A
  • نسمي نقطة تقاطعه مع (BC) بالنقطة H
  • على استمرار [AH] من جهة H، نحدد D بحيث AH = HD
2) مناظرة الزاوية ABC:

مناظرة الزاوية ABC بالنسبة إلى (BC) هي الزاوية DBC

السبب: لأن B ينتمي إلى محور التناظر (BC)، وC ينتمي أيضا إلى (BC)، و D هو مناظر A

إذن: ∠ABC = ∠DBC = 70°

3) إثبات أن (BC) منصف الزاوية ABD:

بما أن ∠ABC = ∠DBC = 70°، و[BC] يفصل بين الشعاعين [BA) و [BD):

النتيجة: (BC) هو منصف الزاوية ∠ABD

4) حساب ∠BDC:

في المثلث ABC: ∠BAC = 180° - 70° - 50° = 60°

بما أن D مناظرة A بالنسبة إلى (BC):

∠BDC = ∠BAC = 60° (خاصية التناظر المحوري)

8
التمرين 8
تمرين عدد 7

ارسم مثلث ABE حيث AB = 6cm، EB = 7cm و ∠ABE = 45°.

1) أين النقطة F مناظرة للنقطة E بالنسبة إلى (AB).

2) بين أن BCF مثلث قائم في F.

3) أين المسقط العمودي للنقطة E على (AB)؟

4) أين النقطة F مناظرة للنقطة E بالنسبة إلى (BC).

5) بين أن المسقط العمودي للنقطة E على (AB) هو F.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) بناء النقطة F:

لبناء مناظرة E بالنسبة إلى (AB):

  • نرسم العمودي على (AB) المار بـ E
  • نحدد نقطة تقاطعه مع (AB)
  • نبني F على الجانب الآخر بنفس المسافة
2) إثبات أن BEF قائم ومتقايس الضلعين:

بما أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى (AB):

  • BE = BF (خاصية التناظر)
  • AE = AF (خاصية التناظر)
  • المثلث BEF متقايس الضلعين في B
3) المسقط العمودي:

المسقط العمودي للنقطة E على (AB) هو النقطة H حيث:

  • H نقطة تقاطع العمودي من E على (AB)
  • EH ⊥ AB
4) و 5) تطابق المسقط مع F:

إذا كانت F مناظرة E بالنسبة إلى (AB)، فإن المسقط العمودي لـ E على (AB) يتطابق مع منتصف [EF]

9
التمرين 9
تمرين عدد 8

ارسم مثلث ABC حيث AB = 5cm، BC = 4cm و AC = 6cm.

1) أين المنصف العمودي [AC]؟ ثم عين النقطة B' مناظرة للنقطة B بالنسبة إلى [AC].

2) لتكن M نقطة تقاطع Δ و (BC).

3) أتم الجدول التالي:

[AB] [BC] [AC]
صورة ؟ ؟ ؟

4) إذا علمت أن E و F على استقامة واحدة، و AE = 4cm و EC = 5cm، استنتج طول [AF].

5) المستقيمين (AB) و (EC) يتقاطعان في النقطة N. بين أن N نقطة من Δ.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
1) بناء المنصف العمودي والنقطة B':

بناء المنصف العمودي Δ للقطعة [AC]:

  • نحدد منتصف القطعة [AC] ونسميه H
  • نرسم العمودي على [AC] المار بـ H
  • هذا العمودي هو Δ

بناء النقطة B':

  • نرسم العمودي على Δ المار بـ B
  • نبني B' مناظرة B بالنسبة إلى Δ
2) نقطة التقاطع M:

M هي نقطة تقاطع الوسط العمودي Δ مع القطعة (BC)

3) إتمام الجدول:
[AB] [BC] [AC]
صورة [AB'] [B'C] [AC]
4) حساب طول AF:

بما أن E مناظرة B بالنسبة إلى الوسط العمودي لـ [AC]:

  • EA = BC = 4cm
  • EC = AB = 5cm
  • يمكن حساب AF بناء على الخصائص الهندسية للشكل
5) إثبات أن N من Δ:

لإثبات أن النقطة N تنتمي إلى محور التناظر Δ، نثبت أن NA = NC:

  • N هي نقطة تقاطع (AB) و (EC)
  • بخصائص التناظر المحوري والنقاط المتناظرة
  • نستنتج أن N تقع على الوسط العمودي لـ [AC]
10
التمرين 10
تمرين عدد 9

ارسم مثلث OAB قائم الزاوية في O حيث OA = 6cm و OB = 5cm.

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
رسم المثلث القائم:
  • نرسم زاوية قائمة في النقطة O
  • على أحد ضلعي الزاوية نحدد A بحيث OA = 6cm
  • على الضلع الآخر نحدد B بحيث OB = 5cm
  • نصل بين A و B للحصول على المثلث OAB
11
التمرين 11
تمرين عدد 10

ارسم مثلث ABC متقايس الضلعين في A حيث AB = AC = 7cm و BC = 5cm.

1) عين النقطة M منتصف [BC].

2) أين مناظرة النقطة A بالنسبة إلى (AM)؟

3) أين مناظرة النقطة B بالنسبة إلى (AM)؟

4) أين مناظرة النقطة C بالنسبة إلى (AM)؟

5) استنتج أن النقطة F مناظرة للنقطة E بالنسبة إلى (AM).

الحل التفصيلي:

الحل المفصل
0) رسم المثلث متقايس الضلعين:
  • نرسم القطعة BC = 5cm
  • نحدد منتصف BC ونسميه M
  • نرسم العمودي على BC المار بـ M
  • على هذا العمودي نحدد A بحيث AB = AC = 7cm
1) تحديد منتصف M:

M هو منتصف القطعة [BC] حيث BM = MC = 2.5cm

2) مناظرة النقطة A:

مناظرة النقطة A بالنسبة إلى (AM) هي A نفسها لأن A تنتمي إلى محور التناظر (AM)

3) مناظرة النقطة B:

مناظرة النقطة B بالنسبة إلى (AM) هي النقطة C

السبب: في المثلث متقايس الضلعين، المستقيم (AM) هو محور تماثل المثلث

4) مناظرة النقطة C:

مناظرة النقطة C بالنسبة إلى (AM) هي النقطة B

التحقق: (AM) هو المنصف العمودي للقطعة [BC]

5) استنتاج تناظر F و E:

حسب المعطيات المحددة في التمرين عن النقطتين E و F، يمكن الاستنتاج أنهما متناظرتان بالنسبة إلى (AM) إذا كانتا تحققان شروط التناظر المحوري