تمارين متقدمة في الموسطات والدائرة

السنة الثامنة أساسي البرنامج التونسي الهندسة - الموسطات والتناظر
A B M N (C) (C')
التمرين 1
الموسطات وتناظر الدوائر المتقايسة

في الرسم المقابل، $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ دائرتان متقايستان، مركزهما $A$ و $B$ على التوالي.

لدينا $BC = 8cm$ و $AC = 4cm$.

المستقيم $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.

النقطتان $M$ و $N$ هما نقطتا تقاطع الدائرتين.

1) الموسط المشترك:

أ) بيّن أن $(MN)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.

ب) استنتج أن الدائرتين $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $(MN)$.

2) المحيط والتناظر:

لتكن النقطة $D$ مناظرة النقطة $C$ بالنسبة إلى المستقيم $(MN)$.

احسب محيط المثلث $ABD$ معللاً جوابك.

3) مركز الدائرة المحيطة:

ابن $\Delta'$ الموسط العمودي للقطعة $[BC]$ والذي يقطع $(MN)$ في نقطة $O$.

أ) ماذا تمثل $O$ بالنسبة للمثلث $ABC$ ؟ علل جوابك.

ب) بيّن أن $O$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABD$.

4) تناظر النقاط:

$(AD)$ تقطع $(\mathcal{C})$ في نقطة $P$ و $[BC]$ يقطع $(\mathcal{C}')$ في نقطة $Q$.

بيّن أن $P$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $(MN)$.

✅ الحل المفصل والتعليل

1) الموسط المشترك:

أ) إثبات أن $(MN)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$:

  • الدائرتان $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متقايستان.
  • $M$ و $N$ هما نقطتا تقاطع الدائرتين.
  • بما أن $M \in (\mathcal{C})$ و $M \in (\mathcal{C}')$، فإن $MA$ و $MB$ هما نصفا قطرين.
    • $$MA = \text{rayon}(\mathcal{C}) \quad \text{و} \quad MB = \text{rayon}(\mathcal{C}')$$
  • وبما أن الدائرتين متقايستان، فإن $MA = MB$.
  • كذلك، $N \in (\mathcal{C})$ و $N \in (\mathcal{C}')$، إذن $NA = NB$.
  • النقطتان $M$ و $N$ متساويتا البعد عن طرفي القطعة $[AB]$.
  • المجموعة الوحيدة من النقاط التي تحقق هذا الشرط هي **الموسط العمودي للقطعة $[AB]$**.
  • إذن، المستقيم $(MN)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$.

ب) استنتاج تناظر $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$:

  • المستقيم $(MN)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$.
  • $(MN)$ هو **محور تناظر** بالنسبة لـ $[AB]$.
  • مناظر النقطة $A$ بالنسبة لـ $(MN)$ هو $B$، والعكس صحيح.
  • مناظر الدائرة $(\mathcal{C})$ التي مركزها $A$ هو الدائرة التي مركزها مناظر $A$ ونفس نصف القطر.
  • بما أن الدائرتين متقايستان، فإن مناظر $(\mathcal{C})$ بالنسبة لـ $(MN)$ هو $(\mathcal{C}')$ التي مركزها $B$.
    • $$S_{(MN)}(\mathcal{C}) = \mathcal{C}'$$
  • إذن، $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متناظرتان بالنسبة لـ $(MN)$.

2) المحيط والتناظر:

حساب محيط المثلث $ABD$:

  • $D$ هي مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(MN)$. $S_{(MN)}(C) = D$.
  • التناظر المحوري **يحافظ على المسافات**.
  • $AD = S_{(MN)}(A) S_{(MN)}(C)$. بما أن $S_{(MN)}(A) = B$، فإن $AD = BC$.
  • $BD = S_{(MN)}(B) S_{(MN)}(C)$. بما أن $S_{(MN)}(B) = A$، فإن $BD = AC$.
  • حساب محيط المثلث $ABD$: $P_{ABD} = AB + BD + AD$.
  • $AB$ هو طول القطعة الواصلة بين مركزي الدائرتين. (غير معطى مباشرة، لكنه ضروري).
  • لدينا $AC = 4cm$ و $BC = 8cm$.
  • $BD = AC = 4cm$ (بالتناظر).
  • $AD = BC = 8cm$ (بالتناظر).
  • إذا كان $AB = L$، فإن $P_{ABD} = L + 4 + 8 = L + 12cm$.
  • **نحتاج طول $AB$ من الرسم البياني أو المعطيات الناقصة.**
  • **في غياب قيمة $AB$، التعبير عن المحيط هو: $AB + 12cm$**

3) مركز الدائرة المحيطة:

أ) ماذا تمثل $O$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟:

  • $O$ هي نقطة تقاطع $\Delta'$ (الموسط العمودي لـ $[BC]$) و $(MN)$ (الموسط العمودي لـ $[AB]$).
  • نقطة تقاطع الموسطين العموديين لمثلث هي **مركز الدائرة المحيطة** بهذا المثلث.
  • إذن، $O$ هي **مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$**.

ب) إثبات أن $O$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABD$:

  • $O$ هو مركز الدائرة المحيطة بـ $ABC$، إذن $OA = OB = OC$.
  • لدينا $\Delta = (MN)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$. $O$ تنتمي لـ $(MN)$، إذن $OA = OB$.
  • $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(MN)$، و $O \in (MN)$.
  • بما أن $S_{(MN)}(C) = D$ و $S_{(MN)}(O) = O$، وبما أن التناظر يحافظ على المسافة.
    • $$OD = S_{(MN)}(O) S_{(MN)}(C) = OC$$
  • وبما أن $OA = OC$، فإن $OA = OD$.
  • لدينا $OA = OB$ (لأن $O \in (MN)$) و $OA = OD$ (بالتناظر).
    • $$OA = OB = OD$$
  • النقطة $O$ متساوية البعد عن رؤوس المثلث $ABD$.
  • إذن، **$O$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABD$**.

4) تناظر النقاط:

إثبات أن $P$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $(MN)$:

  • الفرضيات: $S_{(MN)}(C) = D$ و $S_{(MN)}(\mathcal{C}) = \mathcal{C}'$.
  • النقطة $P$ تنتمي إلى $(\mathcal{C})$ و $P \in (AD)$.
  • مناظر $P$ بالنسبة لـ $(MN)$ هو $S_{(MN)}(P)$.
  • بما أن $P \in (\mathcal{C})$، فإن $S_{(MN)}(P) \in S_{(MN)}(\mathcal{C}) = (\mathcal{C}')$.
  • بما أن $P \in (AD)$، فإن $S_{(MN)}(P) \in S_{(MN)}((AD))$.
  • $S_{(MN)}((AD)) = (S_{(MN)}(A) S_{(MN)}(D)) = (B C)$ (لأن $S_{(MN)}(A)=B$ و $S_{(MN)}(D)=C$).
  • إذن، $S_{(MN)}(P)$ هي نقطة تقاطع $(\mathcal{C}')$ و $(BC)$.
    • $$S_{(MN)}(P) \in (\mathcal{C}') \cap (BC)$$
  • لدينا $Q$ هي نقطة تقاطع $[BC]$ و $(\mathcal{C}')$.
  • وبما أن $P$ تقع على الدائرة $(\mathcal{C})$, $P \in (\mathcal{C})$ .
  • إذا كانت النقطة $P$ محددة بشكل فريد، فإن $S_{(MN)}(P) = Q$.
  • لذا، $P$ و $Q$ متناظرتان بالنسبة لـ $(MN)$.