تمارين متقدمة في التناظر المحوري وخصائص الموسطات

ب) مناظر $(AM)$ بالنسبة لـ $\Delta$:

• $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[MN]$، إذن $\Delta$ هو **محور التناظر** الذي سنستخدمه $S_{\Delta}$.
• مناظر النقطة $M$ بالنسبة لـ $\Delta$ هي $N$ ($S_{\Delta}(M)=N$).
• النقطة $A$ تنتمي إلى $\Delta$ (تعيين النقطة)، إذن مناظر $A$ هي $A$ نفسها ($S_{\Delta}(A)=A$).
• مناظر المستقيم $(AM)$ بالنسبة لـ $\Delta$ هو المستقيم الذي يمر بمناظري $A$ و $M$.
$$S_{\Delta}((AM)) = (S_{\Delta}(A) S_{\Delta}(M)) = (AN)$$

ب) مناظر $\Delta_1$ بالنسبة لـ $\Delta$:

• $\Delta_1$ هو الموسط العمودي لـ $[AI]$. النقطة $A$ على $\Delta$ (محور التناظر).
• $\Delta$ هو محور تناظر لقطعة $[MN]$، إذن $AM = AN$ (لأن $A \in \Delta$).
• المثلث $AMN$ هو **متساوي الساقين** في $A$.
• $S_{\Delta}((AM)) = (AN)$ و $S_{\Delta}((AN)) = (AM)$.
• $\Delta_1 \perp (AI)$. مناظر $\Delta_1$ هو $S_{\Delta}(\Delta_1)$.
• لدينا $S_{\Delta}(A)=A$ و $S_{\Delta}(I)=I$ (لأن $I \in \Delta$).
• المستقيم $(AI)$ ينطبق على $\Delta$. مناظر المستقيم $(AI)$ هو $(AI)$ نفسه.
• **مناظر الموسط العمودي $\Delta_1$** هو موسط عمودي لقطعة مستقيم، لذا هو عمودي على مناظر القطعة $(AI)$، أي عمودي على $(AI)$.
• مناظر $\Delta_1$ هو $\Delta_1$ نفسه، لأنه عمودي على محور التناظر $\Delta$ في $I$.
$$S_{\Delta}(\Delta_1) = \Delta_1 \quad \text{ car } \Delta_1 \perp \Delta$$

ج) إثبات أن $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$:

• $B$ هي نقطة تقاطع $[AM]$ و $\Delta_1$.
$$B = [AM] \cap \Delta_1$$
• مناظر $B$ هو $S_{\Delta}(B) = S_{\Delta}([AM] \cap \Delta_1)$.
• بما أن التناظر يحافظ على التقاطع: $S_{\Delta}(B) = S_{\Delta}([AM]) \cap S_{\Delta}(\Delta_1)$.
• رأينا أن $S_{\Delta}([AM]) = [AN]$ و $S_{\Delta}(\Delta_1) = \Delta_1$.
$$S_{\Delta}(B) = [AN] \cap \Delta_1$$
• وبما أن $C = [AN] \cap \Delta_1$ (حسب المعطيات)، فإن: $S_{\Delta}(B) = C$.
• إذن، **$B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$**.

د) إثبات أن $B$ و $O$ و $N$ على استقامة واحدة:

• لدينا $O \in \Delta$ (من المعطيات).
• بما أن $S_{\Delta}(B) = C$ و $S_{\Delta}(M) = N$، فإن مناظر المستقيم $(MC)$ هو المستقيم $(S_{\Delta}(M) S_{\Delta}(C)) = (NC)$.
• النقطة $O$ هي نقطة تقاطع $(MC)$ و $\Delta$.
$$O = (MC) \cap \Delta$$
• بما أن $O \in \Delta$ و $O$ هي نقطة ثابتة في التناظر حول $\Delta$.
• مناظر $O$ هو $O$ نفسه: $S_{\Delta}(O) = O$.
• بما أن $O \in (MC)$، فإن مناظرها $O$ يجب أن ينتمي إلى مناظر المستقيم $(NC)$.
• إذن، $O \in (NC)$.
• النقطة $C$ تنتمي إلى $[AN]$ و $B$ تنتمي إلى $[AM]$ (من المعطيات).
• بما أن $B$ و $C$ متناظرتان، المثلث $ABC$ متساوي الساقين في $A$ و $(BC) \perp \Delta$.
• (خطأ: الاستقامة تتعلق بـ $B, O, N$. $S_{\Delta}(B)=C$، $S_{\Delta}(O)=O$، $S_{\Delta}(N)=M$. هذا لا ينفع.)
• لدينا $O \in \Delta$ و $O \in (MC)$. لدينا $S_{\Delta}(B)=C$.
• بما أن $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$ (الذي يمر بـ $O$), $OB=OC$ et $\widehat{BOC}$ est angle droit. (Non, pas nécessairement).
• من نتيجة التناظر $S_{\Delta}(B)=C$ و $S_{\Delta}(N)=M$: مناظر $(BN)$ هو $(CM)$.
• إذا كانت $B, O, N$ على استقامة واحدة، فإن $O$ تنتمي إلى $(BN)$.
• و $O$ تنتمي إلى $(MC)$ (من المعطيات).
• بما أن $S_{\Delta}((BN)) = (CM)$، وبما أن $O \in (CM)$ و $O \in \Delta$ (نقطة ثابتة)، فإن $O$ تنتمي بالضرورة إلى مناظر $(CM)$ وهو $(BN)$.
• بما أن $O \in (MC)$ و $O \in (BN)$، والنقاط $B, N$ لا تنتميان لـ $\Delta$ (sauf si $A=O$), إذن $(MC)$ و $(BN)$ هما مستقيمان متناظران يتقاطعان على محور التناظر $\Delta$ في $O$.
• وبما أن $O$ هي نقطة تقاطع $(MC)$ و $\Delta$، و $O$ تنتمي إلى مناظر $(MC)$، أي $(BN)$.
• إذن، **$O \in (BN)$**، وهذا يعني أن النقاط $B$ و $O$ و $N$ **على استقامة واحدة**.

أ) إثبات أن $AD = AN$:

• $D$ هي مناظرة $N$ بالنسبة لـ $(AM)$، أي $(AM)$ هو محور تناظر للقطعة $[DN]$.
$$S_{(AM)}(N) = D$$
• التناظر المحوري **يحافظ على المسافات**.
• $AD$ هي المسافة بين مناظر $A$ و مناظر $N$.
• النقطة $A$ تنتمي إلى محور التناظر $(AM)$، إذن $S_{(AM)}(A) = A$.
$$AD = S_{(AM)}(A) S_{(AM)}(N) = AN$$
• إذن، **$AD = AN$**.

ب) استنتاج أن المثلث $AMD$ متقايس الضلعين:

• من السؤال 3-أ، لدينا $AD = AN$.
• من السؤال 1-ب (أو بالتعليل $A \in \Delta$ الموسط العمودي لـ $[MN]$)، لدينا $AM = AN$.
• بالمقارنة: $AM = AN$ و $AD = AN$.
$$AM = AD$$
• المثلث $AMD$ فيه ضلعان متقايسان هما $AM$ و $AD$.
• إذن، المثلث $AMD$ هو **متقايس الضلعين** في $A$.