مخطط التمرين (للتصور الهندسي)
في الرسم، $(\mathcal{C})$ مركزها $A$ و $(\mathcal{C}')$ مركزها $B$ دائرتان متقايستان تتقاطعان في $M$ و $N$.
المثلث $ABC$ فيه $AB = 5cm$ و $BC = 8cm$ و $AC = 4cm$.
1) الموسط العمودي والتناظر:
أ) بيّن أن $(MN)$ الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.
ب) استنتج أن الدائرتين $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $(MN)$.
2) مناظرة نقطة وحساب محيط:
ابن النقطة $D$ مناظرة النقطة $C$ بالنسبة إلى المستقيم $(MN)$. احسب محيط المثلث $ABD$ معللاً جوابك.
3) مركز الدائرة المحيطة:
أ) ابن $\Delta$ الموسط العمودي للقطعة $[BC]$ والذي يقطع $(MN)$ في نقطة $O$. ماذا تمثل $O$ بالنسبة للمثلث $ABC$ ؟ علل جوابك.
ب) بيّن أن $O$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABD$.
4) مناظرة نقاط التقاطع:
$(AD)$ تقطع $(\mathcal{C})$ في $P$ و $[BC]$ تقطع $(\mathcal{C}')$ في $Q$. بيّن أن $P$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $(MN)$.
1) الموسط العمودي والتناظر:
أ) إثبات أن $(MN)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$:
لدينا $M \in (\mathcal{C})$ و $M \in (\mathcal{C}')$، وبما أن $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متقايستان (لهما نفس نصف القطر $r$) ومركزهما $A$ و $B$ على التوالي، فإن:
وبالمثل، $N \in (\mathcal{C})$ و $N \in (\mathcal{C}')$، فإن $AN = BN$.
بما أن $M$ و $N$ نقطتان متساويتا البعد عن طرفي القطعة $[AB]$، فإنهما تنتميان إلى **الموسط العمودي** لـ $[AB]$، وهو المستقيم $(MN)$.
ب) استنتاج تناظر الدائرتين:
مناظر $(\mathcal{C})$ بالنسبة للمستقيم $(MN)$ هو الدائرة التي مركزها مناظر $A$ ونصف قطرها نفس نصف القطر.
بما أن $(MN)$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$، فإن مناظر $A$ بالنسبة لـ $(MN)$ هو $B$.
وبما أن الدائرتين متقايستان، فإن $S_{(MN)}((\mathcal{C}))$ هي الدائرة ذات المركز $B$ ونصف القطر $r$، أي $(\mathcal{C}')$.
2) مناظرة نقطة وحساب محيط:
أ) حساب محيط المثلث $ABD$:
لدينا $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(MN)$. التناظر المحوري **يحافظ على المسافات**.
إذن:
نعلم أن $AB = 5cm$، $BC = 8cm$، $AC = 4cm$.
إذن $AD = 8cm$ و $BD = 4cm$.
محيط المثلث $ABD$ هو $P_{ABD} = AB + BD + AD$.
3) مركز الدائرة المحيطة:
أ) ماذا تمثل $O$ بالنسبة للمثلث $ABC$ ؟
المستقيم $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$.
$O$ هي نقطة تقاطع الموسط العمودي $[BC]$ (وهو $\Delta$) و الموسط العمودي $[AB]$ (وهو $(MN)$).
نقطة تقاطع الموسطات العمودية لأضلاع المثلث هي **مركز الدائرة المحيطة** بالمثلث.
إذن، **$O$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$**. (تعليل: $O$ تنتمي إلى موسطين عموديين).
ب) إثبات أن $O$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABD$:
بما أن $O$ مركز الدائرة المحيطة بـ $ABC$، فإن $OA = OB = OC$.
من السؤال 2، $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(MN)$، و $O \in (MN)$.
بما أن $O$ تنتمي إلى محور التناظر، فإن $O$ هي نقطة ثابتة. المسافة $OC$ تساوي المسافة $OD$.
إذن، $OA = OB = OC = OD$.
بما أن $OA = OB = OD$، فإن $O$ متساوية البعد عن رؤوس المثلث $ABD$.
إذن، **$O$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABD$**.
4) مناظرة نقاط التقاطع:
أ) إثبات أن $P$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $(MN)$ (بواسطة التناظر $S_{(MN)}$):
1. مناظر $(AD)$ بالنسبة لـ $(MN)$ هو المستقيم $S_{(MN)}((AD))$.
نعلم أن $S_{(MN)}(A) = B$ و $S_{(MN)}(D) = C$. إذن $S_{(MN)}((AD)) = (BC)$.
2. مناظر الدائرة $(\mathcal{C})$ هو $(\mathcal{C}')$ (من السؤال 1-ب).
3. $P$ هي نقطة تقاطع $(AD)$ و $(\mathcal{C})$، أي:
4. مناظر $P$ هو:
5. بما أن $Q$ هي نقطة تقاطع $[BC]$ و $(\mathcal{C}')$، وهي جزء من $(BC) \cap (\mathcal{C}')$، فإن مناظر $P$ هو $Q$.
إذن، **$P$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $(MN)$**.