نعتبر $[MN]$ قطعة مستقيم حيث $MN = 6cm$.
1) إنشاء وتعليل التناظر:
أ) ابن $\Delta$ الموسط العمودي للقطعة $[MN]$ الذي يقطعها في $I$.
ب) عين النقطة $A$ من $\Delta$ حيث $AI = 5cm$ (ضع مثالاً).
ج) ما هو مناظر المستقيم $(AM)$ بالنسبة إلى $\Delta$؟ علل جوابك.
2) مناظرة النقاط والمستقيمات:
أ) ابن المستقيم $\Delta_1$ الموسط العمودي لـ $[AI]$ الذي يقطع $[AM]$ في $B$ و $[AN]$ في $C$.
ب) ما هو مناظر المستقيم $\Delta_1$ بالنسبة إلى $\Delta$؟ علل جوابك.
ج) بين أن $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$.
د) المستقيم $(MC)$ يقطع المستقيم $\Delta$ في $O$. بين أن النقاط $B$ و $O$ و $N$ على استقامة واحدة.
3) مناظرة واستنتاج:
أ) ابن النقطة $D$ مناظرة النقطة $N$ بالنسبة إلى $(AM)$.
ب) بين أن $AD = AN$.
ج) استنتج أن المثلث $AMD$ متقايس الضلعين.
1) إنشاء وتعليل التناظر:
أ) إنشاء $\Delta$:
المستقيم $\Delta$ هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة $[MN]$، أي $\Delta$ يمر من $I$ منتصف $[MN]$ ويكون عمودياً على $(MN)$.
ب) تعيين A:
بما أن $A \in \Delta$، فإن $A$ متساوية البعد عن طرفي $[MN]$ (خاصية الموسط العمودي).
ج) مناظر المستقيم $(AM)$ بالنسبة إلى $\Delta$:
نعلم أن:
إذن، مناظر المستقيم $(AM)$ بالنسبة إلى $\Delta$ هو المستقيم $(AN)$ (لأن التناظر يحافظ على استقامة النقاط).
2) مناظرة النقاط والمستقيمات:
أ) إنشاء $\Delta_1$:
المستقيم $\Delta_1$ هو الموسط العمودي لـ $[AI]$، أي $\Delta_1$ يمر من منتصف $[AI]$ ويكون عمودياً على $(AI)$.
ب) مناظر $\Delta_1$ بالنسبة إلى $\Delta$:
مناظر $A$ هو $A$. مناظر $I$ هو $I$ (لأن $I \in \Delta$). إذن مناظر القطعة $[AI]$ هو نفسها. المستقيم $\Delta_1$ هو الموسط العمودي لـ $[AI]$. بما أن $\Delta_1$ و $[AI]$ ثابتان بالتناظر $S_{\Delta}$، فإن مناظر $\Delta_1$ هو $\Delta_1$ نفسه.
ج) إثبات أن $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$:
نبحث عن مناظر $B$ بالنسبة لـ $\Delta$ ونرمز له $B'$.
بما أن $B'$ ينتمي إلى $(AN)$ وإلى $\Delta_1$، و $C$ هو نقطة تقاطع هذين المستقيمين، فإن $B' = C$.
إذن، $C$ هي مناظرة $B$ بالنسبة لـ $\Delta$، أي $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$.
د) استقامة النقاط $B$ و $O$ و $N$:
مناظر المستقيم $(MC)$ بالنسبة إلى $\Delta$ هو المستقيم $S_{\Delta}((MC))$.
بما أن $M$ مناظر $N$، و $C$ مناظرة $B$، و $O \in \Delta$ (ثابتة)، فإن مناظر $(MC)$ هو $(NB)$.
لكن $O \in (MC)$، إذن مناظر $O$ ينتمي إلى مناظر $(MC)$ أي $S_{\Delta}(O) \in (NB)$.
بما أن $O \in \Delta$، فإن $S_{\Delta}(O) = O$.
إذن، $O \in (NB)$، أي النقاط $B$ و $O$ و $N$ على استقامة واحدة.
3) مناظرة واستنتاج:
أ) إثبات أن $AD = AN$:
لدينا $D$ مناظرة $N$ بالنسبة إلى $(AM)$.
التناظر يحافظ على المسافات (الأبعاد).
وبما أن $A \in (AM)$، فإن $A$ نقطة ثابتة في هذا التناظر.
المسافة بين $A$ و $D$ هي نفسها المسافة بين $A$ ومناظرة $D$ أي $N$.
ب) استنتاج أن المثلث $AMD$ متقايس الضلعين:
لدينا $A \in \Delta$ (الموسط العمودي لـ $[MN]$)، إذن $AM = AN$ (من السؤال 1-ب).
ولدينا $AD = AN$ (من السؤال 3-أ).
بالمقارنة، نجد $AM = AD$
إذن، المثلث $AMD$ متقايس الضلعين في $A$.