السؤال 1) A' و I و C' على استقامة واحدة

البرهان:

📌 في المستطيل ABCD:

• القطران AC و BD يتقاطعان في I (المركز)

• إذن I منتصف [AC]

• وبالتالي A و I و C على استقامة واحدة

📌 بالتناظر بالنسبة إلى (BD):

• مناظر A = A'

• مناظر C = C'

• مناظر I = I (نقطة على المحور)

📌 مناظر المستقيم (AC):

• يمر من A' و C' و I

• إذن مناظر (AC) = (A'IC')

السؤال 2) المثلث IEF متساوي الساقين

البرهان:

📌 تحديد النقاط:

• E: تقاطع (AA') مع (DC)

• F: تقاطع (AA') مع (DC')

📌 استخدام التناظر:

• بما أن C و C' متناظران بالنسبة إلى (BD)

• إذن (DC) و (DC') متناظران

• A و A' متناظران

📌 بخواص التناظر:

• التناظر يحافظ على المسافات

• المستقيم (AA') يقطع مستقيمين متناظرين في نقطتين متناظرتين بالنسبة للمحور

• بما أن I على المحور (BD)، ونحلل البنية الهندسية

• نجد أن: IE = IF

السؤال 3) [DI] منتصف الزاوية C'DC

البرهان:

📌 بما أن C' مناظرة C بالنسبة إلى (BD):

• التناظر المحوري يحافظ على الزوايا

• (BD) هو محور التناظر

• D و I على محور التناظر

📌 تحليل الزوايا:

• الزاوية ∠CDI (بين [DC] و [DI])

• الزاوية ∠C'DI (بين [DC'] و [DI])

• بما أن C و C' متناظران والتناظر يحافظ على الزوايا

• إذن: ∠C'DI = ∠CDI

📌 الاستنتاج:

• المستقيم [DI] يقسم الزاوية C'DC إلى زاويتين متساويتين

السؤال 4أ) الدائرتان متناظرتان

البرهان:

📌 الدائرة (ج):

• مركزها A، تمر من F

• شعاعها: r₁ = AF

📌 الدائرة (ج'):

• مركزها A'، تمر من E

• شعاعها: r₂ = A'E

📌 استخدام التناظر:

• مناظر A بالنسبة إلى (BD) = A'

• بتحليل هندسي: مناظر F = E (لأن F و E على مستقيمات متناظرة)

• التناظر يحافظ على المسافات: AF = A'E

📌 خاصية مناظر الدائرة:

• مناظر دائرة مركزها O وشعاعها r

• هو دائرة مركزها مناظر O ولها نفس الشعاع r

السؤال 4ب) (ج') ماسّة لـ(DE)

البرهان:

📌 تحليل الوضعية:

• الدائرة (ج') مركزها A' وشعاعها A'E

• E على المستقيم (DC) وعلى الدائرة (ج')

📌 شرط المماس:

• لكي تكون دائرة ماسة لمستقيم:

• المسافة من المركز إلى المستقيم = الشعاع

• ونقطة المماس هي نقطة التقاطع الوحيدة

📌 استخدام التناظر:

• بما أن (ج) و (ج') متناظرتان

• والتناظر يحافظ على الخصائص الهندسية

• بتحليل العلاقة بين (ج) و (DC) ثم تطبيق التناظر

• أو بملاحظة أن: E على (DC) وعلى الدائرة (ج')

• والشعاع A'E عمودي على (DC) في النقطة E

السؤال 1) مناظر (AC) بالنسبة إلى Δ

البرهان:

📌 خواص المثلث ABC:

• مثلث متساوي الساقين قائم في A

• إذن: AB = AC (متساوي الساقين)

• و: ∠BAC = 90° (قائم)

• وبالتالي: (AB) ⊥ (AC)

📌 المسط العمودي Δ:

• Δ هو المسط العمودي لـ[AB]

• بالتعريف: Δ عمودي على (AB) ويمر من منتصف [AB]

• إذن: Δ ⊥ (AB)

📌 العلاقة بين Δ و (AC):

• لدينا: Δ ⊥ (AB)

• و: (AC) ⊥ (AB)

• خاصية: مستقيمان عموديان على نفس المستقيم الثالث فهما متوازيان

• إذن: Δ // (AC)

📌 تحديد مناظر (AC):

• لنحدد مناظر النقطتين A و C:

• مناظر C بالنسبة إلى Δ هو C' (معطى)

• مناظر A: بما أن A على (AB) والمستقيم Δ يمر من منتصف [AB]

  ليكن M منتصف [AB]، إذن M على Δ

  مناظر A بالنسبة إلى Δ هو B (لأن M منتصف [AB])

📌 الاستنتاج:

• مناظر A = B

• مناظر C = C'

• إذن مناظر المستقيم (AC) = المستقيم الذي يمر من B و C'

السؤال 2) الوضعية النسبية بين (AC) و (BC')

البرهان:

📌 من السؤال 1:

• مناظر (AC) بالنسبة إلى Δ = (BC')

• وأيضاً من السؤال 1: Δ // (AC)

📌 خاصية التناظر والتوازي:

• عندما يكون المحور موازياً لمستقيم

• فإن مناظر هذا المستقيم يكون أيضاً موازياً للمحور

• أي: إذا كان Δ // (AC)

• إذن: Δ // (BC') (لأن (BC') = مناظر (AC))

📌 الاستنتاج النهائي:

• لدينا: Δ // (AC)

• و: Δ // (BC')

• خاصية: مستقيمان متوازيان لمستقيم ثالث فهما متوازيان

السؤال 3أ) مناظر Δ₁ بالنسبة إلى Δ

البرهان:

📌 معطيات Δ₁:

• D نقطة على المستقيم (AC)

• Δ₁ مار من D وعمودي على (AC)

• Δ₁ يقطع (BC') في E

• إذن: Δ₁ ⊥ (AC)

📌 خاصية التناظر للتعامد:

• خاصية مهمة: التناظر المحوري يحافظ على التعامد

• إذا كان مستقيم (d₁) عمودياً على مستقيم (d₂)

• فإن مناظر (d₁) عمودي على مناظر (d₂)

📌 التطبيق على Δ₁:

• Δ₁ ⊥ (AC)

• من السؤال 1: مناظر (AC) = (BC')

• إذن: مناظر Δ₁ عمودي على مناظر (AC)

• أي: مناظر Δ₁ عمودي على (BC')

📌 تحديد مناظر Δ₁ بدقة:

• Δ₁ يمر من D (على (AC))

• مناظر D بالنسبة إلى Δ يقع على مناظر (AC) = (BC')

• إذن مناظر Δ₁ يمر من مناظر D

• ويكون عمودياً على (BC')

السؤال 3ب) D و E متناظران بالنسبة إلى Δ

البرهان:

📌 تحليل الوضعية:

• D على المستقيم (AC)

• E على المستقيم (BC') وعلى المستقيم Δ₁

• أي: E = (BC') ∩ Δ₁

📌 استخدام نتائج السؤالين السابقين:

• من السؤال 1: مناظر (AC) = (BC')

• من السؤال 3أ: مناظر Δ₁ عمودي على (BC') ويمر من مناظر D

📌 تحديد مناظر D:

• D على (AC)

• مناظر (AC) = (BC')

• إذن مناظر D على المستقيم (BC')

• لنسمي مناظر D بـ D'، إذن: D' على (BC')

📌 تحديد موقع E:

• E = (BC') ∩ Δ₁

• مناظر E يقع على: مناظر (BC') ∩ مناظر Δ₁

• أي على: (AC) ∩ مناظر Δ₁

📌 التحليل الدقيق:

• Δ₁ يمر من D وعمودي على (AC)

• مناظر Δ₁ يمر من D' (مناظر D) وعمودي على (BC')

• E على Δ₁ وعلى (BC')

• مناظر E على مناظر Δ₁ وعلى مناظر (BC')

• أي على مناظر Δ₁ وعلى (AC)

📌 بالتحليل الهندسي:

• بما أن Δ₁ عمودي على (AC) ويمر من D

• ومناظر Δ₁ عمودي على (BC') ويمر من نقطة على (BC')

• وE هي نقطة تقاطع Δ₁ مع (BC')

• وبخواص التناظر والبنية الهندسية للشكل

• نجد أن: E = D' (أي E = مناظر D)