التمرين رقم 4 (معدّل)

السؤال 1) بناء E و F

البرهان:

📌 بناء النقطة E (مناظرة A):

• نرسم العمودي على المستقيم \((BD)\) المار من النقطة \(A\)

• ليكن \(H\) نقطة تقاطع هذا العمودي مع \((BD)\)

• نمدد العمودي من الجهة الأخرى بحيث: \(HE = HA\)

• النقطة \(E\) هي مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((BD)\)

📌 بناء النقطة F (مناظرة C):

• نفس الخطوات مع النقطة \(C\)

• نرسم العمودي على \((BD)\) المار من \(C\)

• نضع \(F\) بحيث \((BD)\) محور القطعة \([CF]\)

السؤال 2) الأطوال والزاوية

2أ) حساب BE:

📌 استخدام خاصية التناظر:

• خاصية: التناظر المحوري يحافظ على المسافات

• بما أن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((BD)\)

• و \(B\) نقطة على المحور \((BD)\)

• إذن: \(BE = BA\) (خاصية التناظر)

2ب) حساب EF:

📌 استخدام خاصية التناظر:

• \(E\) مناظرة \(A\) و \(F\) مناظرة \(C\)

• التناظر يحافظ على المسافات

• إذن: \(EF = AC\)

2ج) إثبات أن المثلث BEF قائم في E:

📌 مقارنة المثلثين BAC و BEF:

المثلث BAC:

• قائم في \(A\) (معطى)

• \(BA = 3cm\)

• \(AC = 5cm\)

• \(BC = 4cm\)

المثلث BEF:

• \(BE = 3cm\) (من 2أ)

• \(EF = 5cm\) (من 2ب)

• \(BF = BC = 4cm\) (بالتناظر: \(F\) مناظرة \(C\) و \(B\) على المحور)

📌 الاستنتاج:

• المثلثان \(BAC\) و \(BEF\) لهما نفس الأطوال

• بما أن \(BAC\) قائم في \(A\)

• والتناظر المحوري يحافظ على الزوايا

السؤال 3) إثبات أن E و I و F على استقامة واحدة

البرهان:

📌 تحديد النقطة I:

• \(I\) هي نقطة تقاطع \((BD)\) مع \((AC)\)

• إذن \(I\) تنتمي إلى المستقيم \((BD)\) (المحور)

• و \(I\) تنتمي إلى المستقيم \((AC)\)

📌 استخدام خاصية التناظر:

• مناظر المستقيم \((AC)\) بالنسبة إلى \((BD)\)

• يمر من مناظر \(A\) (وهو \(E\)) ومناظر \(C\) (وهو \(F\))

• إذن مناظر \((AC)\) = \((EF)\)

📌 موقع النقطة I:

• بما أن \(I\) على المحور \((BD)\)

• إذن \(I\) مناظرة لنفسها

• أي: مناظر \(I\) = \(I\)

📌 الاستنتاج:

• \(I\) على المستقيم \((AC)\)

• مناظر \(I\) = \(I\) (نقطة على المحور)

• مناظر \((AC)\) = \((EF)\)

• إذن \(I\) على المستقيم \((EF)\)

السؤال 4) الدائرة ومناظرتها

4أ) إثبات أن (ج) تمس (AB) في B:

📌 معطيات الدائرة:

• الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(A\)

• شعاعها \(r = 3cm\)

📌 موقع النقطة B:

• المسافة \(AB = 3cm\) (معطى)

• إذن \(AB = r\) (شعاع الدائرة)

• وبالتالي النقطة \(B\) تنتمي إلى الدائرة \((\mathcal{C})\)

📌 خاصية الماس:

• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\) (معطى)

• إذن \((AB) \perp (AC)\)

• ولكن لإثبات أن الدائرة تمس \((AB)\):

• نلاحظ أن \(B\) على الدائرة و \(A\) هو المركز

• الشعاع \([AB]\) عمودي على الدائرة في \(B\)

4ب) بناء (ج') مناظرة (ج):

📌 خاصية مناظر الدائرة:

• مناظر دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(r\)

• هو دائرة مركزها مناظر \(O\) ولها نفس الشعاع \(r\)

📌 تطبيق على (ج):

• الدائرة \((\mathcal{C})\): مركزها \(A\)، شعاعها \(3cm\)

• مناظر \(A\) بالنسبة إلى \((BD)\) هو \(E\) (من السؤال 1)

• إذن \((\mathcal{C}')\): مركزها \(E\)، شعاعها \(3cm\)

خطوات البناء:

1. نحدد النقطة \(E\) (سبق بناؤها)

2. نرسم الدائرة مركزها \(E\) وشعاعها \(3cm\)

3. هذه هي الدائرة \((\mathcal{C}')\)

4ج) مركز وشعاع (ج'):