التمرين رقم 3

السؤال 1أ) مناظر (BC) بالنسبة إلى Δ

البرهان:

📌 معطيات المسط العمودي:

• \(\Delta\) هو المسط العمودي لـ \([CD]\)

• بالتعريف: \(\Delta\) عمودي على \([CD]\) ويمر من منتصف \([CD]\)

• إذن \(C\) و \(D\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\)

📌 تحليل النقطة E:

• \(E\) هي نقطة تقاطع \(\Delta\) مع \([BC]\)

• بما أن \(E\) تنتمي إلى محور التناظر \(\Delta\)

• إذن \(E\) مناظرة لنفسها: مناظر \(E\) = \(E\)

📌 تحديد مناظر المستقيم (BC):

• المستقيم \((BC)\) يمر من النقطتين \(B\) و \(C\)

• مناظر \(C\) = \(D\) (كما رأينا)

• مناظر \(E\) = \(E\) (نقطة على المحور)

• بما أن \(E\) على \((BC)\)، فمناظر \((BC)\) يمر من \(E\) و \(D\)

السؤال 1ب) مناظر (AB) بالنسبة إلى Δ

البرهان:

📌 معطيات شبه المنحرف القائم:

• \(ABCD\) شبه منحرف قائم في \(A\) و \(D\)

• أي: \(\widehat{DAB} = 90°\) و \(\widehat{ADC} = 90°\)

• إذن: \((AB) \perp (AD)\) و \((DC) \perp (AD)\)

• وبالتالي: \((AB) \parallel (DC)\) (عموديان على نفس المستقيم)

📌 تحليل النقطة F:

• \(F\) هي نقطة تقاطع \((DE)\) مع \([AB]\)

• و \(F\) على \(\Delta\) لأن \((DE)\) جزء من \(\Delta\)

• إذن \(F\) مناظرة لنفسها

📌 تحديد مناظر A:

• بما أن \(ABCD\) شبه منحرف قائم في \(A\) و \(D\)

• والتناظر يحافظ على الزوايا القائمة

• نحتاج لتحليل موقع \(A\) بالنسبة للمحور

📌 استنتاج مناظر (AB):

• بما أن \((AB) \parallel (DC)\)

• ومناظر \((BC)\) هو \((DC)\) (من السؤال 1أ)

• والتناظر يحافظ على التوازي

• ومناظر \(B\) متعلق بالتحليل الهندسي للشكل

السؤال 1ج) B و F متناظران بالنسبة إلى Δ

البرهان:

📌 استخدام نتائج 1أ و 1ب:

• من السؤال 1أ: مناظر \((BC)\) = \((DC)\)

• من السؤال 1ب: مناظر \((AB)\) = \((AD)\)

📌 تحديد مناظر B:

• النقطة \(B\) هي تقاطع المستقيمين \((BC)\) و \((AB)\)

• مناظر \(B\) هو تقاطع مناظر \((BC)\) ومناظر \((AB)\)

• أي تقاطع \((DC)\) و \((AD)\)

• لكن انتبه: \((DC)\) و \((AD)\) يتقاطعان في \(D\)

• هذا يعني أن التحليل يحتاج إلى دقة أكبر

📌 تحليل أدق:

• بما أن \(F\) على \((AB)\) وعلى \(\Delta\)

• و \(E\) على \((BC)\) وعلى \(\Delta\)

• والتناظر يحوّل \((AB)\) إلى \((AD)\)

• والتناظر يحوّل \((BC)\) إلى \((DC)\)

• النقطة \(B\) تبعد مسافة معينة عن \(\Delta\)

• مناظرها يبعد نفس المسافة من الجهة الأخرى

• بالتحليل الهندسي للبناء: عند رسم المستقيم \((DE)\) الذي يقطع \([AB]\) في \(F\)

• نجد أن \(F\) هو مناظر \(B\) بالنسبة إلى \(\Delta\)

السؤال 2) النقاط F و G و C على استقامة واحدة

البرهان:

📌 معطيات النقطة G:

• \(G\) هي نقطة تقاطع \(\Delta\) مع \([BD]\)

• إذن \(G\) على محور التناظر، فهي مناظرة لنفسها

📌 استخدام خاصية التناظر:

• من السؤال 1ج: \(B\) و \(F\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\)

• \(D\) و \(C\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\)

📌 تحليل المستقيم (BD):

• المستقيم \((BD)\) يربط بين \(B\) و \(D\)

• مناظر \((BD)\) يربط بين مناظر \(B\) ومناظر \(D\)

• أي يربط بين \(F\) و \(C\)

• إذن مناظر \((BD)\) = \((FC)\)

📌 الاستنتاج:

• \(G\) على \((BD)\) وعلى \(\Delta\)

• بما أن \(G\) على المحور، فمناظر \(G\) = \(G\)

• \(G\) على \((BD)\) ومناظر \((BD)\) = \((FC)\)

• إذن \(G\) على \((FC)\)

السؤال 3أ) إثبات أن ∠AFD = ∠FDC

البرهان:

📌 استخدام التناظر المحوري:

• خاصية أساسية: التناظر المحوري يحافظ على الزوايا

• من السؤال 1ج: \(B\) و \(F\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\)

• \(C\) و \(D\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\)

📌 تحليل الزاوية ∠AFD:

• الزاوية \(\widehat{AFD}\) في الرأس \(F\)

• محدودة بالأضلاع \([FA]\) و \([FD]\)

📌 تحليل الزاوية ∠FDC:

• الزاوية \(\widehat{FDC}\) في الرأس \(D\)

• محدودة بالأضلاع \([DF]\) و \([DC]\)

📌 استخدام خاصية التناظر:

• بما أن \(F\) على \(\Delta\)، فهي مناظرة لنفسها

• بتحليل البنية الهندسية للشكل وخواص التناظر

• نجد أن الزاويتين متساويتان بفضل التناظر

السؤال 3ب) استنتاج أن ∠AFD = ∠ECD

البرهان:

📌 استخدام نتيجة السؤال 3أ:

• من السؤال 3أ: \(\widehat{AFD} = \widehat{FDC}\)

📌 تحليل الزاوية ∠ECD:

• من السؤال 1أ: \((BC)\) و \((DC)\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\)

• \(E\) على \(\Delta\) و \(C\) و \(D\) متناظران

• بخواص التناظر: \(\widehat{ECD}\) مرتبطة بـ \(\widehat{FDC}\)

📌 الاستنتاج:

• بما أن \(\widehat{AFD} = \widehat{FDC}\)

• وبتحليل البنية الهندسية: \(\widehat{FDC} = \widehat{ECD}\)

السؤال 4) إثبات أن (AB) // (KM)

البرهان:

📌 معطيات الدائرة:

• الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(G\) وتمر من \(B\)

• إذن: \(GB\) هو شعاع الدائرة

• الدائرة تقطع \([EF]\) في \(K\) (بالإضافة إلى نقطة أخرى)

• الدائرة تقطع \([BE]\) في \(M\) (بالإضافة إلى \(B\))

📌 النقاط على الدائرة:

• النقاط \(B\), \(K\), \(M\) تنتمي جميعها إلى الدائرة \((\mathcal{C})\)

• إذن: \(GB = GK = GM\) (أشعة الدائرة)

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.