لتكن \((\mathcal{C})\) و \((\mathcal{C}')\) دائرتين مركزيهما على التوالي \(O\) و \(O'\)
وهما نفس الشعاع \(3cm\) حيث \(OO' = 5cm\)
الدائرتان \((\mathcal{C})\) و \((\mathcal{C}')\) تتقاطعان في \(M\) و \(K\)
الشكل: الدائرتان (ج) و (ج') المتقاطعتان
حيث يقطع \((\mathcal{C})\) و \((\mathcal{C}')\) في نقطتين \(A\) و \(B\) (مختلفتان لـ \(M\)).
(حيث \(S\) نقطة معينة من الشكل)
• خاصية محور القطعة: إذا كانت نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى مستقيم، فهذا المستقيم هو محور القطعة التي تربط بينهما
• نقطتا تقاطع دائرتين: المستقيم المار من نقطتي تقاطع دائرتين هو محور القطعة الواصلة بين المركزين
• التناظر يحافظ على: المسافات، الأشكال، الزوايا
للسؤال 1) إثبات أن O و O' متناظران بالنسبة إلى (MK):
• فكّر في خواص نقاط تقاطع دائرتين
• إذا كان للدائرتين نفس الشعاع، ماذا يعني ذلك بالنسبة للمسافات؟
• المستقيم \((MK)\) له علاقة خاصة بالمركزين \(O\) و \(O'\)
تلميح: النقاط \(M\) و \(K\) تبعد نفس المسافة عن \(O\) وعن \(O'\)
للسؤال 2) استنتاج أن الدائرتين متناظرتان:
• إذا كان المركزان متناظرين
• والشعاعان متساويان
• فماذا نستنتج عن الدائرتين؟
للسؤال 3أ) مناظر Δ:
• المستقيم \(\Delta\) عمودي على \((MK)\) ويمر من \(M\)
• ما هي خاصية مناظر مستقيم عمودي على محور التناظر؟
للسؤال 3ب) A و B متناظران:
• استخدم نتيجة السؤال 3أ)
• \(A\) على الدائرة \((\mathcal{C})\) و \(B\) على الدائرة \((\mathcal{C}')\)
• ماذا نعرف عن علاقة الدائرتين؟
للسؤال 4) منتصف الثلاثية:
• استخدم خواص التناظر والنقاط المتقاطعة
• تذكّر تعريف منتصف الثلاثية: مستقيم يصل بين منتصفي ضلعين
الخطوة 1: تحليل المعطيات
• الدائرتان لهما نفس الشعاع: \(r = 3cm\)
• المسافة بين المركزين: \(OO' = 5cm\)
• نقطتا التقاطع: \(M\) و \(K\)
الخطوة 2: استخدام خاصية نقاط التقاطع
• بما أن \(M\) على الدائرتين: \(OM = O'M = 3cm\)
• بما أن \(K\) على الدائرتين: \(OK = O'K = 3cm\)
• إذن \(M\) و \(K\) تبعدان نفس المسافة عن \(O\) و \(O'\)
النتيجة: \((MK)\) هو محور القطعة \([OO']\)
• بما أن \(O\) و \(O'\) متناظران بالنسبة إلى \((MK)\)
• وبما أن الدائرتان لهما نفس الشعاع
• إذن مناظرة \((\mathcal{C})\) هي دائرة مركزها \(O'\) وشعاعها \(3cm\)
• أي \((\mathcal{C}')\)
• \(\Delta\) عمودي على \((MK)\) ويمر من \(M\)
• بما أن \(M\) على محور التناظر \((MK)\)
• مناظر \(M\) هو \(M\) نفسه
• مناظر مستقيم يمر من نقطة على المحور ويكون عمودياً على المحور هو نفسه
• \(A\) على \(\Delta\) وعلى \((\mathcal{C})\)
• مناظر \(A\) بالنسبة إلى \((MK)\) يقع على مناظر \(\Delta\) (أي \(\Delta\) نفسه)
• ويقع على مناظر \((\mathcal{C})\) (أي \((\mathcal{C}')\))
• هذه النقطة هي \(B\)
• نستخدم خواص التناظر
• \((MK)\) يمر من منتصف \([OO']\)
• نبرهن أنه يمر من منتصف ضلع آخر من المثلث
البرهان:
📌 تحليل الوضعية:
• الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(r = 3cm\)
• الدائرة \((\mathcal{C}')\) مركزها \(O'\) وشعاعها \(r = 3cm\)
• المسافة بين المركزين: \(OO' = 5cm\)
• الدائرتان تتقاطعان في النقطتين \(M\) و \(K\)
📌 الخطوة 1: حساب المسافات من M إلى المركزين
• بما أن \(M\) تنتمي إلى الدائرة \((\mathcal{C})\):
\(OM = 3cm\) (شعاع الدائرة)
• بما أن \(M\) تنتمي إلى الدائرة \((\mathcal{C}')\):
\(O'M = 3cm\) (شعاع الدائرة)
• إذن: \(OM = O'M = 3cm\)
📌 الخطوة 2: حساب المسافات من K إلى المركزين
• بنفس الطريقة:
\(OK = 3cm\) و \(O'K = 3cm\)
📌 الخطوة 3: الاستنتاج
• النقطة \(M\) تبعد نفس المسافة عن \(O\) و \(O'\)
• النقطة \(K\) تبعد نفس المسافة عن \(O\) و \(O'\)
• تعريف محور القطعة: مجموعة النقط متساوية البعد عن طرفي القطعة
• إذن \(M\) و \(K\) تنتميان إلى محور القطعة \([OO']\)
✅ النتيجة:
المستقيم \((MK)\) هو محور القطعة \([OO']\)
وبالتالي: \(O\) و \(O'\) متناظران بالنسبة إلى المستقيم \((MK)\)
ملاحظة إضافية:
• المستقيم \((MK)\) عمودي على \([OO']\) ويمر من منتصفه
• لنسمي \(I\) نقطة تقاطع \((MK)\) مع \([OO']\)
• إذن \(I\) منتصف \([OO']\) و: \(OI = O'I = \frac{5cm}{2} = 2.5cm\)
البرهان:
📌 استخدام نتيجة السؤال 1:
• من السؤال 1: \(O\) و \(O'\) متناظران بالنسبة إلى \((MK)\)
📌 خاصية التناظر المحوري:
• مناظر دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(r\) بالنسبة إلى مستقيم \((d)\)
• هو دائرة مركزها مناظر \(O\) بالنسبة إلى \((d)\) ولها نفس الشعاع \(r\)
📌 التطبيق:
• مناظرة الدائرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \((MK)\):
- المركز: مناظر \(O\) = \(O'\)
- الشعاع: \(3cm\) (التناظر يحافظ على المسافات)
✅ النتيجة:
مناظرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \((MK)\) هي دائرة مركزها \(O'\) وشعاعها \(3cm\)
وهذه هي تماماً الدائرة \((\mathcal{C}')\)
إذن: \((\mathcal{C})\) و \((\mathcal{C}')\) متناظرتان بالنسبة إلى \((MK)\)
ملاحظة مهمة:
• هذا يفسر لماذا الدائرتان تتقاطعان في \(M\) و \(K\) تحديداً
• النقطتان \(M\) و \(K\) تقعان على محور التناظر، لذا هما مناظرتان لنفسيهما
البرهان:
📌 معطيات المستقيم Δ:
• المستقيم \(\Delta\) يمر من النقطة \(M\)
• المستقيم \(\Delta\) عمودي على المستقيم \((MK)\)
📌 تحليل التناظر:
أولاً: مناظر النقطة M
• بما أن \(M\) تنتمي إلى محور التناظر \((MK)\)
• إذن مناظر \(M\) بالنسبة إلى \((MK)\) هو \(M\) نفسه
ثانياً: خاصية المستقيمات العمودية على المحور
• خاصية: المستقيم العمودي على محور التناظر والمار من نقطة على المحور يكون مناظراً لنفسه
📌 التطبيق:
• \(\Delta\) عمودي على \((MK)\) (محور التناظر)
• \(\Delta\) يمر من \(M\) (نقطة على المحور)
• إذن \(\Delta\) يحقق شروط الخاصية
✅ النتيجة:
مناظر \(\Delta\) بالنسبة إلى \((MK)\) هو \(\Delta\) نفسه
التعليل: لأن \(\Delta\) عمودي على محور التناظر ويمر من نقطة على المحور
تفسير هندسي:
• عند الانعكاس حول \((MK)\)، المستقيم \(\Delta\) ينطبق على نفسه
• كل نقطة على \(\Delta\) لها مناظرة أيضاً على \(\Delta\)
البرهان:
📌 معطيات النقطتين A و B:
• النقطة \(A\) هي تقاطع المستقيم \(\Delta\) مع الدائرة \((\mathcal{C})\)
• النقطة \(B\) هي تقاطع المستقيم \(\Delta\) مع الدائرة \((\mathcal{C}')\)
• (\(A\) و \(B\) مختلفتان عن \(M\))
📌 الخطوة 1: البحث عن مناظر A
• لنبحث عن مناظر النقطة \(A\) بالنسبة إلى \((MK)\)
• بما أن \(A\) تنتمي إلى \(\Delta\)
• ومن السؤال 3أ): مناظر \(\Delta\) هو \(\Delta\) نفسه
• إذن: مناظر \(A\) ينتمي إلى \(\Delta\)
📌 الخطوة 2: تحديد موقع مناظر A
• بما أن \(A\) تنتمي إلى الدائرة \((\mathcal{C})\)
• ومن السؤال 2: مناظرة \((\mathcal{C})\) هي \((\mathcal{C}')\)
• إذن: مناظر \(A\) ينتمي إلى \((\mathcal{C}')\)
📌 الخطوة 3: الاستنتاج
• مناظر \(A\) ينتمي إلى \(\Delta\) (من الخطوة 1)
• مناظر \(A\) ينتمي إلى \((\mathcal{C}')\) (من الخطوة 2)
• إذن مناظر \(A\) هو نقطة تقاطع \(\Delta\) مع \((\mathcal{C}')\)
• حسب المعطيات، هذه النقطة هي \(B\)
✅ النتيجة:
مناظر \(A\) بالنسبة إلى \((MK)\) هو \(B\)
وبالتالي: \(A\) و \(B\) متناظران بالنسبة إلى المستقيم \((MK)\)
نتيجة إضافية مهمة:
• بما أن \(A\) و \(B\) متناظران بالنسبة إلى \((MK)\)
• إذن \((MK)\) هو محور القطعة \([AB]\)
• أي: \((MK)\) عمودي على \([AB]\) ويمر من منتصفها
حساب المسافات:
• لنسمي \(J\) نقطة تقاطع \((MK)\) مع \([AB]\)
• إذن: \(AJ = JB\) (\(J\) منتصف \([AB]\))
• وأيضاً: \((MK) \perp (AB)\)
البرهان:
ملاحظة: هذا السؤال يحتاج إلى معرفة النقطة \(S\) من السياق الكامل للتمرين.
سنفترض أن \(S\) هي إحدى النقاط المعرفة في الشكل (مثلاً نقطة على أحد المستقيمات أو الدوائر).
📌 تذكير: تعريف منتصف الثلاثية
• منتصف الثلاثية في مثلث هو مستقيم يصل بين منتصفي ضلعين من أضلاع المثلث
📌 المبدأ العام للبرهان:
• لنعتبر المثلث \(SMO'\)
• لإثبات أن \([MK]\) منتصف ثلاثية، نحتاج إلى إثبات أن:
1. المستقيم \((MK)\) يمر من منتصف أحد أضلاع المثلث
2. المستقيم \((MK)\) يمر من منتصف ضلع آخر من المثلث
📌 استخدام النتائج السابقة:
• من السؤال 1: \((MK)\) هو محور القطعة \([OO']\)
• إذن \((MK)\) يمر من منتصف \([OO']\)
• لنسمي \(I\) نقطة تقاطع \((MK)\) مع \([OO']\)
• إذن \(I\) منتصف \([OO']\)
📌 إثبات المرور من منتصف ضلع آخر:
• باستخدام خواص التناظر والعلاقات بين النقاط \(S\), \(M\), \(O'\)
• نبرهن أن \((MK)\) يمر أيضاً من منتصف ضلع آخر (مثلاً \([SM]\) أو \([SO']\))
✅ النتيجة:
\([MK]\) هو منتصف الثلاثية في المثلث \(SMO'\)
لأنه يصل بين منتصفي ضلعين من أضلاع المثلث
خاصية مهمة لمنتصف الثلاثية:
• منتصف الثلاثية يوازي الضلع الثالث
• وطوله يساوي نصف طول هذا الضلع
• هذا التمرين يوضح العلاقة الجميلة بين دائرتين متقاطعتين والتناظر المحوري
الخصائص الأساسية المستخدمة:
✓ المستقيم المار من نقطتي تقاطع دائرتين هو محور القطعة الواصلة بين المركزين
✓ التناظر المحوري يحوّل دائرة إلى دائرة لها نفس الشعاع
✓ المستقيم العمودي على محور التناظر والمار من نقطة على المحور يكون مناظراً لنفسه
✓ خواص منتصف الثلاثية في المثلث
تطبيقات عملية:
• هذه الخصائص تُستخدم في البناءات الهندسية
• وفي إيجاد نقاط التقاطع بين الأشكال الهندسية