في الرسم \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) حيث \(AD = 2cm\) و \(BC = 4cm\).
و \(I\) منتصف \([BC]\).
الشكل: شبه المنحرف ABCD
و \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((DC)\).
بيّن أن: \(O \in (DC)\)
معللاً جوابك.
الدائرة \((\mathcal{C}')\) التي مركزها \(C\) وتمر من \(F\).
قطعة المستقيم \([DC]\) تقطع \((\mathcal{C})\) في \(N\) و\((\mathcal{C}')\) في \(M\)
بيّن أن \(M\) و \(N\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\).
• إذا كانت النقطة \(M'\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى المستقيم \((d)\)، فإن \((d)\) يكون محور التناظر وعمودياً على \([MM']\) ويمر من منتصف \([MM']\)
• التناظر المحوري يحافظ على المسافات: \(M'N' = MN\)
• مناظر دائرة هو دائرة لها نفس نصف القطر
للسؤال 1أ) إثبات \(DE = CF\):
• \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((DC)\)، ماذا يعني ذلك بالنسبة للمسافة \(AD\) و \(DE\)?
• \(F\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \((DC)\)، ماذا نستنتج عن \(CF\)?
• استخدم معطيات التمرين: \(I\) منتصف \([BC]\)
للسؤال 1ب) إثبات \(IE = AF\):
• استخدم خاصية التناظر المحوري التي تحافظ على المسافات
• فكّر: ما هي مناظرة القطعة \([AI]\) بالنسبة إلى \((DC)\)?
للسؤال 1ج) \([DC]\) منتصف الثلاثية \(ADE\):
• استخدم النتائج السابقة
• تذكّر تعريف منتصف الثلاثية
للسؤال 2) إثبات \(O \in (DC)\):
• استخدم النتيجة من السؤال 1ب)
• إذا كانت \(IE = AF\)، ماذا يمكننا أن نقول عن العلاقة بين المستقيمات؟
للسؤال 3) بناء المستقيم \(\Delta\):
• ما هو تعريف المستقيم الذي يكون \(C\) و \(D\) متناظرين بالنسبة إليه؟
• هذا المستقيم عمودي على ماذا؟
للسؤال 4) الدوائر والتناظر:
• استخدم خواص مناظر الدائرة
• ما علاقة \(M\) و \(N\) بمحور التناظر \(\Delta\)?
الخطوة 1: نستخدم التناظر المحوري
• بما أن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((DC)\)، إذن \((DC)\) محور تناظر للقطعة \([AE]\)
• هذا يعني: \(DE = AD = 2cm\)
الخطوة 2: نحسب \(CF\)
• بما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن: \(IC = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2cm\)
• بما أن \(F\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \((DC)\)، إذن: \(CF = IC = 2cm\)
النتيجة: \(DE = CF = 2cm\) ✓
• التناظر المحوري يحافظ على المسافات
• \([AI]\) مناظرها بالنسبة إلى \((DC)\) هي \([EF]\)
• إذن: \(AI = EF\) وبالتالي \(IE = AF\)
• لنثبت أن \((DC)\) يمر من منتصف ضلعين من أضلاع المثلث \(ADE\)
• نستخدم النتائج السابقة ونبيّن أن \((DC)\) منتصف
• بما أن \(IE = AF\) (من السؤال 1ب)
• وبما أن المستقيمان يتقاطعان، نستخدم خواص التناظر لإثبات أن \(O\) ينتمي إلى محور التناظر \((DC)\)
• المستقيم \(\Delta\) هو محور القطعة \([CD]\)
• أي المستقيم العمودي على \([CD]\) والمار من منتصف \([CD]\)
• مناظرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \(\Delta\) هي دائرة مركزها مناظر \(D\) ونصف قطرها \(DA\)
• نستخدم خواص التناظر لإثبات أن \(M\) و \(N\) متناظران
البرهان:
📌 حساب DE:
• بما أن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى المستقيم \((DC)\)
• إذن المستقيم \((DC)\) هو محور التناظر للقطعة \([AE]\)
• وبالتالي \((DC)\) يمر من منتصف \([AE]\) وعمودي عليها
• خاصية التناظر المحوري: المسافة من النقطة إلى المحور = المسافة من مناظرتها إلى المحور
• إذن: \(DE = AD = 2cm\)
📌 حساب CF:
• بما أن \(I\) منتصف \([BC]\) (معطى)
• إذن: \(IC = \frac{BC}{2} = \frac{4cm}{2} = 2cm\)
• بما أن \(F\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \((DC)\)
• بنفس الطريقة السابقة: \(CF = IC = 2cm\)
✅ النتيجة:
\(DE = 2cm\) و \(CF = 2cm\)
إذن: \(DE = CF\) ✓
البرهان:
• خاصية أساسية: التناظر المحوري يحافظ على المسافات
• لنعتبر القطعة \([AI]\)
• النقطة \(A\) مناظرتها بالنسبة إلى \((DC)\) هي \(E\)
• النقطة \(I\) مناظرتها بالنسبة إلى \((DC)\) هي \(F\)
• إذن القطعة \([AI]\) مناظرتها بالنسبة إلى \((DC)\) هي القطعة \([EF]\)
• وبما أن التناظر المحوري يحافظ على الأطوال:
\(AI = EF\)
وهذا يعني: \(IE = AF\) ✓
البرهان:
• تذكير: منتصف الثلاثية هو مستقيم يصل بين منتصفي ضلعين من أضلاع المثلث
📌 لنعتبر المثلث \(ADE\)
• من السؤال 1أ): \(DE = AD = 2cm\)
• المستقيم \((DC)\) عمودي على \([AE]\) ويمر من منتصف \([AE]\) (لأنه محور تناظر)
• لنسمي \(H\) نقطة تقاطع \((DC)\) مع \([AE]\)
• إذن \(H\) منتصف \([AE]\)
• بما أن \(ABCD\) شبه منحرف، والمستقيم \((DC)\) يمر من \(D\) ومن نقطة على \(AE\)
• وبما أن التناظر يحافظ على البنية الهندسية
\([DC]\) هو منتصف الثلاثية \(ADE\) ✓
البرهان:
• من السؤال 1ب): \(IE = AF\)
• بما أن \(E\) مناظرة \(A\) و \(F\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \((DC)\)
• إذن المستقيمان \((IE)\) و \((AF)\) متناظران بالنسبة إلى \((DC)\)
• نقطة تقاطع مستقيمين متناظرين تنتمي دائماً إلى محور التناظر
تفصيل أكثر:
• لنفترض أن \(O\) هي نقطة تقاطع \((IE)\) و \((AF)\)
• بما أن \(O \in (IE)\) و \((IE)\) مناظر \((AF)\) بالنسبة إلى \((DC)\)
• ومناظر \(O\) على \((AF)\) هو \(O\) نفسه (لأن \(O\) نقطة مشتركة)
• إذن \(O\) ينتمي إلى محور التناظر
\(O \in (DC)\) ✓
البناء:
• لكي تكون \(C\) و \(D\) متناظرتين بالنسبة إلى مستقيم \(\Delta\)
• يجب أن يكون \(\Delta\) محور القطعة \([CD]\)
تعريف محور القطعة:
• المستقيم العمودي على القطعة \([CD]\)
• والمار من منتصف القطعة \([CD]\)
خطوات البناء:
1. نحدد منتصف القطعة \([CD]\) ولنسمه \(K\)
2. نرسم المستقيم العمودي على \((CD)\) المار من \(K\)
3. هذا المستقيم هو \(\Delta\)
التعليل:
• بما أن \(K\) منتصف \([CD]\)، فإن: \(KC = KD\)
• وبما أن \(\Delta\) عمودي على \([CD]\)، فإن كل نقطة على \(\Delta\) تبعد نفس المسافة عن \(C\) و \(D\)
• وبالتالي \(\Delta\) هو مجموعة النقط متساوية البعد عن \(C\) و \(D\)
\(\Delta\) هو محور القطعة \([CD]\) ✓
المعطيات:
• \((\mathcal{C})\): دائرة مركزها \(D\) ونصف قطرها \(DA\)
• \((\mathcal{C}')\): دائرة مركزها \(C\) ونصف قطرها \(CF\)
• \(N\): نقطة تقاطع \([DC]\) مع \((\mathcal{C})\)
• \(M\): نقطة تقاطع \([DC]\) مع \((\mathcal{C}')\)
البرهان:
📌 الخطوة 1: تحليل الدائرتين
• نصف قطر \((\mathcal{C})\) هو: \(R_1 = DA = 2cm\)
• نصف قطر \((\mathcal{C}')\) هو: \(R_2 = CF = 2cm\) (من السؤال 1أ)
• إذن الدائرتان لهما نفس نصف القطر
📌 الخطوة 2: موقع N و M
• \(N\) على \([DC]\) وعلى الدائرة \((\mathcal{C})\)، إذن: \(DN = 2cm\)
• \(M\) على \([DC]\) وعلى الدائرة \((\mathcal{C}')\)، إذن: \(CM = 2cm\)
📌 الخطوة 3: استخدام محور التناظر \(\Delta\)
• \(\Delta\) هو محور القطعة \([CD]\) (من السؤال 3)
• لنسمي \(K\) منتصف \([CD]\)
• إذن: \(DK = KC = \frac{CD}{2}\)
• بما أن \(DN = 2cm\) و \(CM = 2cm\)
• والنقطتان \(M\) و \(N\) على \([DC]\)
• وبما أن \(C\) و \(D\) متناظرتان بالنسبة إلى \(\Delta\)
📌 الخطوة 4: الاستنتاج
• \(M\) تبعد عن \(C\) مسافة \(2cm\)
• \(N\) تبعد عن \(D\) مسافة \(2cm\)
• وبما أن \(C\) و \(D\) متناظرتان بالنسبة إلى \(\Delta\)
• وبما أن \(M\) و \(N\) على نفس المستقيم \((DC)\) وعلى نفس البعد من مركزين متناظرين
\(M\) و \(N\) متناظران بالنسبة إلى \(\Delta\) ✓
تفسير إضافي:
• التناظر بالنسبة إلى \(\Delta\) يحوّل:
- النقطة \(D\) إلى \(C\)
- الدائرة \((\mathcal{C})\) إلى دائرة مركزها \(C\) ونصف قطرها \(2cm\) وهي \((\mathcal{C}')\)
- النقطة \(N\) (على \((\mathcal{C})\) و\((DC)\)) إلى نقطة على \((\mathcal{C}')\) و\((DC)\) وهي \(M\)
• هذا التمرين يوضح قوة التناظر المحوري في حل المسائل الهندسية
• الخصائص الأساسية المستخدمة:
✓ التناظر يحافظ على المسافات
✓ محور التناظر عمودي على القطعة الواصلة بين نقطة ومناظرتها
✓ مناظر دائرة هو دائرة لها نفس نصف القطر