📐 التناظر المحوري

التصحيح:
• (2) أ) نرسم \((OL)\) محور تناظر، نعمّد من \(C\) على \((OL)\) ثم نمدّ نفس المسافة فنحصل على \(E\).
• ب) بما أن التناظر يحافظ على قياس الزوايا، فإن \(\widehat{ELO} = \widehat{CLO}\) (لأن \(L\) تنتمي للمحور).
• (3) أ) بنفس الطريقة نناظر \(C\) بالنسبة لـ \((LF)\) فنحصل على \(I\).
• ب) \(\widehat{ILF} = \widehat{CLF}\) (بسبب تناظر الزوايا).
• (4) ✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

التصحيح:
• أ) \(I\) هو المسقط العمودي، إذن \(AI = 2\) سم (لأنها المسافة من \(A\) إلى \((\Delta)\)).
• ب) نضع \(B\) على امتداد \((AI)\) بحيث \(AB = 4\) سم (أي أن \(I\) منتصف \([AB]\) لأن \(AI=2\) و \(IB=2\)).
• ج) النقطة \(I\) تمثل منتصف القطعة \([AB]\) وكذلك المسقط العمودي.
• د) بما أن \(I\) منتصف \([AB]\) و \((\Delta)\) عمودي على \(AB\) عند \(I\)، إذن \((\Delta)\) هو المحور العمودي لـ \([AB]\)، وبالتالي \(A\) و \(B\) متناظرتان بالنسبة لـ \((\Delta)\).

التصحيح:
• (1) أ) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \((AC)\) هي \(D\) (لأن \(A\) منتصف \([DB]\) و \((AC)\) عمودي على \(DB\) في \(A\)).
• ب) لدينا \(CD = CB\) (لأن \(C\) على محور تناظر \([DB]\))، إذن \(BCD\) متقايس الضلعين. مساحته \(= \frac{1}{2} \times DB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) سم\(^2\).
• (2) نرسم \(\Delta\) بحيث تكون \(C\) هي مناظرة \(A\) (أي أن \(\Delta\) هو المحور العمودي لـ \([AC]\)).
• (3) أ) بما أن \(E\) و \(F\) مناظران لـ \(B\) بالنسبة لـ \(\Delta\)، و \(C\) مناظرة \(A\)، و \((AC)\) يوازي \((EF)\) لأن التناظر يحافظ على التوازي، لكن حسب المعطيات نستنتج أن \(C\)، \(E\) و \(F\) مستقيمية.
• ب) \(CF = CB\) (بسبب التناظر) و \(CE = CB\) أيضاً، إذن \(CF = CE\)، وبما أن \(C\) بين \(E\) و \(F\) فإن \(C\) منتصف \([EF]\).

التصحيح:
• أ) نرسم \((\Delta)\) بحيث يكون عموديًا على \([AC]\) في منتصفه (لأن \(C\) مناظرة \(A\)).
• ب) نناظر \(B\) فنحصل على \(D\) بنفس الطريقة (عمودي من \(B\) ثم نفس المسافة).
• ج) بما أن التناظر المحوري يحافظ على المسافات، فإن \(AB = CD\) (لأن \(A \leftrightarrow C\) و \(B \leftrightarrow D\)).

التصحيح:
• (1) مناظرة \(B\) هي \(C\) لأن \(\Delta\) عمودي منصف لـ \([BC]\)، ومناظرة \(I\) هي نفسها لأن \(I\) تقع على محور التناظر.
• (2) نعمّد من \(A\) على \(\Delta\) ونمد المسافة فنحصل على \(E\).
• (3) بما أن \(A \leftrightarrow E\) و \(B \leftrightarrow C\)، فإن \((AE)\) هو صورة \((BC)\) بالتناظر، والتناظر يحافظ على التوازي، إذن \((AE) \parallel (BC)\).
• (4) \(EC = AB = 3\) سم و \(EB = AC = 5\) سم (حفظ المسافات).
• (5) نكمل الرسم حسب المعطيات.

التصحيح:
• أ) التناظر يحافظ على المسافات، إذن \(AM = AN\).
• ب) لدينا \(AN = AM\) و \(AP = AM\) (لأن \(M \leftrightarrow P\) بالنسبة لـ \(AC\))، إذن \(AN = AP\)، والمثلث \(ANP\) متقايس الضلعين.
• ج) مركز الدائرة \((C)\) هو \(B\)، وشعاعها \(BM\)، فهي تمر بالنقطة \(M\) وصورها بالتناظرات.
• د) بما أن \(Q\) هي صورة \(M\) بالنسبة لـ \(CB\)، فإن \(BQ = BM\)، إذن \(Q\) تنتمي للدائرة \((C)\).

التصحيح:
• نطبق خاصية التناظر المحوري: كل زاوية تناظرها زاوية لها نفس القياس، ورأسها هو صورة الرأس، وأضلاعها هي صور الأضلاع.
• نرسم محاور التناظر المناسبة لكل زاوية، ثم نناظر كل رأس ونصل النقاط للحصول على الزوايا المطلوبة.

التصحيح:
• أ) نعمّد من \(M\) على \((Ot)\) ونمد المسافة فنحصل على \(N\).
• ب) التناظر يحافظ على المسافة من \(O\) لأن \(O\) على المحور، إذن \(ON = OM = 3\) سم.
• ج) مناظر \((Oz)\) هو الشعاع الذي يصنع زاوية \(30^\circ\) مع \((Ot)\) في الجهة الأخرى، أي الشعاع \((Oz')\) بحيث \(\widehat{zOt} = 30^\circ\).
• د) الزاوية \(\widehat{MON} = 2 \times 30^\circ = 60^\circ\) (لأن التناظر يعكس الزاوية).

التصحيح:
• (1) أ) نناظر \(C\) و \(F\) بالنسبة لـ \((AD)\) (مع الانتباه إلى أن \(F\) غير معرفة في النص، ولكن نفترض أنها نقطة معطاة).
• ب) بما أن التناظر يحافظ على الزوايا، فإن \(\widehat{AEF} =\) الزاوية المقابلة لها، و \(\widehat{EFD} =\) الزاوية الأصلية.
• (2) باستخدام خاصية التناظر، نثبت أن \(E\)، \(F\) و \(B\) على استقامة واحدة لأن \((BC)\) يقطع \((AD)\) في نقطة تنتمي لمحور التناظر، وتكون الصور مستقيمية.

ملاحظة: النص غير موجود بشكل كافٍ، يُرجى الرجوع إلى الصورة الأصلية لإكمال الحل.

ملاحظة: النص غير مكتمل في الملف المرفوع.

ملاحظة: النص غير مكتمل في الملف المرفوع.

التصحيح:
• ب) \(\widehat{ACB} = 180 - (50 + 30) = 100^\circ\).
• ج) نرسم \(D\) صورة \(A\) بالنسبة لـ \((BC)\). الزاوية \(\widehat{BCD} = 100^\circ\) لأنها صورة \(\widehat{ACB}\) (التناظر يحافظ على القياس).
• د) لدينا \(AB = BD\) (لأن \(B\) على المحور) و \(AD = 2 \times\) المسافة من \(A\) إلى \(BC\)، لكن بما أن المثلث متقايس الضلعين (\(AB=BD\)).
• هـ) محور تناظر المثلث \(ABD\) هو المستقيم \((BC)\) لأنه يعامد \([AD]\) في منتصفه.

التصحيح:
• ب) في المثلث المتقايس الضلعين، الوسيط القادم من الرأس الرئيسي يكون عمودياً على القاعدة وينصفها، إذن \((EI)\) هو الوسط العمودي لـ \([FG]\).
• ج) لأن \((EI)\) محور تناظر للمثلث، فالزاويتان متناظرتان.
• د) الخاصية: في المثلث المتقايس الضلعين، المحور (الوسيط العمودي) ينصف زاوية الرأس ويكون محور تناظر.

التصحيح:
• ب) لأن \(E\) مركز الدائرة و \(A\) و \(B\) على الدائرة، فإن \(EA = EB\)، إذن \(E\) يقع على الوسط العمودي لـ \([AB]\).
• ج) نرسم \(F\) بحيث \((D)\) يعامد \([EF]\) في منتصفه، إذن \(E\) و \(F\) متناظرتان.
• هـ) لأن \((\Delta)\) هو الوسط العمودي لـ \([AB]\)، فإن \(A\) و \(B\) متناظرتان.

ملاحظة: النص غير مكتمل في الملف.

ملاحظة: النص غير مكتمل.

التصحيح:
• ب) \(I\) هي نقطة تقاطع الدائرتين، وهي منتصف \([OO']\) لأن الدائرتين متساويتان في الشعاع.
• ج) نرسم \((\Delta)\) عمودي على \([OO']\) في منتصفه.
• د) المستقيم \((\Delta)\) هو محور تناظر للدائرتين، ويقاطع كل منهما في نقطتين.
• هـ) محاور التناظر هي \((\Delta)\) وكل مستقيم يمر بمراكز الدوائر المتناظرة.

التصحيح:
• ب) نناظر \(A\) بالنسبة لـ \((IJ)\) فنحصل على \(O\)، وبتطبيق خاصية التناظر نجد أن \(O\) تقع على \((BC)\).
• ج) لأن \((IJ)\) هو محور تناظر، فإن الزوايا متناظرة ومتساوية.
• د) \(I\) منتصف \([AB]\)، و \(IA = IB\)، وبما أن \(O\) صورة \(A\)، فإن \(IO = IA\).
• هـ) في المثلث \(JOC\)، لدينا \(JC = JA\) و \(OC = OA\)، وبما أن \(JA = JC\) و \(OA = OC\)، إذن المثلث متقايس الضلعين، ومنه \(\widehat{JOC} = \widehat{ACB}\).
• و) \(\widehat{BOI} + \widehat{IOJ} + \widehat{JOC} = 180^\circ\) (زوايا مستقيمة).
• ز) الخاصية: في المثلث، محور التناظر يوازي القاعدة وينصف الزوايا.