سلسلة تمارين: خاصيات قوى الأعداد الصحيحة الطبيعية

المستوى: 7 أساسي نموذجي

الإنجاز الأستاذ: صابر بنجدو

تمرين عدد 1

أنقل رقم السؤال والحرف الموافق للمقترح السليم مع التعليل في كل مرة:

1) العدد \(4^3 + 6^2\) يساوي:
أ) \(10^2\) ب) \(3^4\) ج) \(2^6\)
2) العدد \([2^3 - 2 \times 3^2] \times 5^2\) يساوي:
أ) 200 ب) 250 ج) 300
3) العدد \(485 + 484 \times 485\) يساوي:
أ) \(484^2\) ب) \(485^2\) ج) \(486^2\)
4) العدد \(4^{10} + 4^{10}\) يساوي:
أ) \(4^{20}\) ب) \(8^{20}\) ج) \(2^{21}\)
التصحيح المفصل:
1) العدد 4³ + 6² يساوي:
\begin{align} 4^3 + 6^2 &= 64 + 36 \\ &= 100 \\ &= 10^2 \end{align}

الجواب: أ) 10²

2) العدد [2³ - 2 × 3²] × 5² يساوي:
\begin{align} [2^3 - 2 \times 3^2] \times 5^2 &= [8 - 2 \times 9] \times 25 \\ &= [8 - 18] \times 25 \\ &= (-10) \times 25 \\ &= -250 \end{align}

ملاحظة: لا توجد إجابة صحيحة في الخيارات المعطاة. النتيجة هي -250 وليس 250

إذا كان السؤال: \([2 \times 3^2 - 2^3] \times 5^2\) فالنتيجة ستكون 250

3) العدد 485 + 484 × 485 يساوي:

نلاحظ أن: \(485\) عامل مشترك

\begin{align} 485 + 484 \times 485 &= 485 \times 1 + 484 \times 485 \\ &= 485 \times (1 + 484) \\ &= 485 \times 485 \\ &= 485^2 \end{align}

الجواب: ب) 485²

4) العدد 4¹⁰ + 4¹⁰ يساوي:
\begin{align} 4^{10} + 4^{10} &= 2 \times 4^{10} \\ &= 2 \times (2^2)^{10} \\ &= 2 \times 2^{20} \\ &= 2^{1 + 20} \\ &= 2^{21} \end{align}

الجواب: ج) 2²¹

تمرين عدد 2
1) احسب:

\(a = 2^3 + (3^4 + 7^9) - (4^3 + 7^9)\)

\(b = 9 \times 5^3 + 5^3 \times (9^2 - 5 \times 2^4)\)

\(c = 3 + 7 \times [3^2 - (4^2 - 14)^3]\)

\(d = 75^0 + (4^2 - 2^4)^{14} + (6^2 - 35)^{16}\)

2) بيّن أن \(d \times a^2 = 5 \times a \times c\).
3) بيّن أن \(a \times c^2 = d \times b\).
التصحيح المفصل:
1) حساب a :
\begin{align} a &= 2^3 + (3^4 + 7^9) - (4^3 + 7^9) \\ &= 2^3 + 3^4 + 7^9 - 4^3 - 7^9 \\ &= 2^3 + 3^4 - 4^3 \\ &= 8 + 81 - 64 \\ &= 25 \end{align}
حساب b :

نلاحظ أن: \(5^3\) عامل مشترك

\begin{align} b &= 9 \times 5^3 + 5^3 \times (9^2 - 5 \times 2^4) \\ &= 5^3 \times [9 + (9^2 - 5 \times 2^4)] \\ &= 5^3 \times [9 + 81 - 5 \times 16] \\ &= 5^3 \times [9 + 81 - 80] \\ &= 5^3 \times 10 \\ &= 125 \times 10 \\ &= 1250 \end{align}
حساب c :
\begin{align} c &= 3 + 7 \times [3^2 - (4^2 - 14)^3] \\ &= 3 + 7 \times [9 - (16 - 14)^3] \\ &= 3 + 7 \times [9 - 2^3] \\ &= 3 + 7 \times [9 - 8] \\ &= 3 + 7 \times 1 \\ &= 3 + 7 \\ &= 10 \end{align}
حساب d :
\begin{align} d &= 75^0 + (4^2 - 2^4)^{14} + (6^2 - 35)^{16} \\ &= 1 + (16 - 16)^{14} + (36 - 35)^{16} \\ &= 1 + 0^{14} + 1^{16} \\ &= 1 + 0 + 1 \\ &= 2 \end{align}
2) بيّن أن d × a² = 5 × a × c :

الطرف الأيمن:

\[d \times a^2 = 2 \times 25^2 = 2 \times 625 = 1250\]

الطرف الأيسر:

\[5 \times a \times c = 5 \times 25 \times 10 = 1250\]

إذن: \(d \times a^2 = 5 \times a \times c = 1250\)

3) بيّن أن a × c² = d × b :

الطرف الأيمن:

\[a \times c^2 = 25 \times 10^2 = 25 \times 100 = 2500\]

الطرف الأيسر:

\[d \times b = 2 \times 1250 = 2500\]

إذن: \(a \times c^2 = d \times b = 2500\)

تمرين عدد 3

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

1) أكمل بالعدد المناسب:

\(19^9 \times 19^{...} = 19^{29}\)

\(35^{12} \times 35^{14} = 35^{...}\)

\(24 \times 24^7 \times 24^{...} = 24^{26}\)

2) اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مختلف لواحد:

\(a = 3^{18} + 3^{18} + 3^{18}\)

\(b = 2^{13} \times 9 - 2^{13} \times 7\)

\(c = 10^4 \times 38 + 62 \times 10000\)

التصحيح المفصل:
1) أكمل بالعدد المناسب:

أ) \(19^9 \times 19^{...} = 19^{29}\)

بما أن \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\[9 + ... = 29 \Rightarrow ... = 29 - 9 = 20\]

الجواب: 19⁹ × 19²⁰ = 19²⁹

ب) \(35^{12} \times 35^{14} = 35^{...}\)

\[35^{12} \times 35^{14} = 35^{12+14} = 35^{26}\]

الجواب: 35²⁶

ج) \(24 \times 24^7 \times 24^{...} = 24^{26}\)

نلاحظ أن: \(24 = 24^1\)

\[1 + 7 + ... = 26 \Rightarrow ... = 26 - 8 = 18\]

الجواب: 24 × 24⁷ × 24¹⁸ = 24²⁶

2) اكتب في صيغة قوة:

أ) \(a = 3^{18} + 3^{18} + 3^{18}\)

\begin{align} a &= 3 \times 3^{18} \\ &= 3^1 \times 3^{18} \\ &= 3^{1+18} \\ &= 3^{19} \end{align}

ب) \(b = 2^{13} \times 9 - 2^{13} \times 7\)

نلاحظ أن: \(2^{13}\) عامل مشترك

\begin{align} b &= 2^{13} \times (9 - 7) \\ &= 2^{13} \times 2 \\ &= 2^{13} \times 2^1 \\ &= 2^{14} \end{align}

ج) \(c = 10^4 \times 38 + 62 \times 10000\)

نلاحظ أن: \(10000 = 10^4\)

وأن: \(10^4\) عامل مشترك

\begin{align} c &= 10^4 \times 38 + 62 \times 10^4 \\ &= 10^4 \times (38 + 62) \\ &= 10^4 \times 100 \\ &= 10^4 \times 10^2 \\ &= 10^{6} \end{align}
تمرين عدد 4

\((a^m)^n = a^{m \times n}\)

1) أكمل بالعدد المناسب:

\((19^{...})^5 = 19^{20}\)

\((35^9)^8 = ...^{72}\)

\((135^7)^{...} = 135^{21}\)

2) اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مختلف لواحد:

\(a = 7^6 \times (7^4)^5\)

\(b = 27^8 + 27^8 + 27^8\)

\(c = (9^5)^4 \times [9^2 \times 9^3]^2\)

التصحيح المفصل:
1) أكمل بالعدد المناسب:

أ) \((19^{...})^5 = 19^{20}\)

بما أن \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

\[... \times 5 = 20 \Rightarrow ... = \frac{20}{5} = 4\]

الجواب: (19⁴)⁵ = 19²⁰

ب) \((35^9)^8 = ...^{72}\)

\[(35^9)^8 = 35^{9 \times 8} = 35^{72}\]

الجواب: 35⁷²

ج) \((135^7)^{...} = 135^{21}\)

\[7 \times ... = 21 \Rightarrow ... = \frac{21}{7} = 3\]

الجواب: (135⁷)³ = 135²¹

2) اكتب في صيغة قوة:

أ) \(a = 7^6 \times (7^4)^5\)

\begin{align} a &= 7^6 \times 7^{4 \times 5} \\ &= 7^6 \times 7^{20} \\ &= 7^{6+20} \\ &= 7^{26} \end{align}

ب) \(b = 27^8 + 27^8 + 27^8\)

\begin{align} b &= 3 \times 27^8 \\ &= 3 \times (3^3)^8 \\ &= 3^1 \times 3^{24} \\ &= 3^{25} \end{align}

ج) \(c = (9^5)^4 \times [9^2 \times 9^3]^2\)

\begin{align} c &= 9^{5 \times 4} \times [9^{2+3}]^2 \\ &= 9^{20} \times [9^5]^2 \\ &= 9^{20} \times 9^{10} \\ &= 9^{30} \end{align}
تمرين عدد 5

\(a^n \times b^n = (a \times b)^n\)

1) أكمل بالعدد المناسب:

\(20^{12} \times 5^{12} = ...^{12}\)

\(7^{24} \times ...^{24} = 28^{24}\)

\(...^{36} \times 18^{...} = 72^{36}\)

2) اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مختلف لواحد:

\(d = 3^{11} \times 21^{12} \times 7^{11}\)

\(b = 16 \times 11^4\)

\(c = 5^9 \times 2^{11} \times 25\)

التصحيح المفصل:
1) أكمل بالعدد المناسب:

أ) \(20^{12} \times 5^{12} = ...^{12}\)

بما أن \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\)

\[20^{12} \times 5^{12} = (20 \times 5)^{12} = 100^{12}\]

الجواب: 100¹²

ب) \(7^{24} \times ...^{24} = 28^{24}\)

\[7 \times ... = 28 \Rightarrow ... = \frac{28}{7} = 4\]

الجواب: 7²⁴ × 4²⁴ = 28²⁴

ج) \(...^{36} \times 18^{...} = 72^{36}\)

نعلم أن: \(72 = 18 \times 4\)

\[4^{36} \times 18^{36} = (4 \times 18)^{36} = 72^{36}\]

الجواب: 4³⁶ × 18³⁶ = 72³⁶

2) اكتب في صيغة قوة:

أ) \(d = 3^{11} \times 21^{12} \times 7^{11}\)

نلاحظ أن: \(21 = 3 \times 7\)

\begin{align} d &= 3^{11} \times (3 \times 7)^{12} \times 7^{11} \\ &= 3^{11} \times 3^{12} \times 7^{12} \times 7^{11} \\ &= 3^{23} \times 7^{23} \\ &= (3 \times 7)^{23} \\ &= 21^{23} \end{align}

ب) \(b = 16 \times 11^4\)

نلاحظ أن: \(16 = 2^4\)

\begin{align} b &= 2^4 \times 11^4 \\ &= (2 \times 11)^4 \\ &= 22^4 \end{align}

ج) \(c = 5^9 \times 2^{11} \times 25\)

نلاحظ أن: \(25 = 5^2\)

\begin{align} c &= 5^9 \times 2^{11} \times 5^2 \\ &= 5^{11} \times 2^{11} \\ &= (5 \times 2)^{11} \\ &= 10^{11} \end{align}
تمرين عدد 6
1) نعتبر العبارة \(a = 2^7 \times (2^5 \times 3^8)^2\).
بيّن أن \(a = 2^{17} \times 3^{16}\).
2) نعتبر العبارة \(b = 6^4 \times 4^6 \times 27^4\).
بيّن أن: \(b = 2^{16} \times 3^{16}\).
3) استنتج أن \(a - b = 6^{16}\).
التصحيح المفصل:
1) بيّن أن a = 2¹⁷ × 3¹⁶ :
\begin{align} a &= 2^7 \times (2^5 \times 3^8)^2 \\ &= 2^7 \times (2^5)^2 \times (3^8)^2 \\ &= 2^7 \times 2^{10} \times 3^{16} \\ &= 2^{17} \times 3^{16} \end{align}
2) بيّن أن b = 2¹⁶ × 3¹⁶ :

نلاحظ أن: \(6 = 2 \times 3\) و \(4 = 2^2\) و \(27 = 3^3\)

\begin{align} b &= 6^4 \times 4^6 \times 27^4 \\ &= (2 \times 3)^4 \times (2^2)^6 \times (3^3)^4 \\ &= 2^4 \times 3^4 \times 2^{12} \times 3^{12} \\ &= 2^{16} \times 3^{16} \end{align}
3) استنتج أن a - b = 6¹⁶ :

نلاحظ أن: \(2^{16} \times 3^{16}\) عامل مشترك

\begin{align} a - b &= 2^{17} \times 3^{16} - 2^{16} \times 3^{16} \\ &= 2^{16} \times 3^{16} \times (2^1 - 1) \\ &= 2^{16} \times 3^{16} \times 1 \\ &= 2^{16} \times 3^{16} \\ &= (2 \times 3)^{16} \\ &= 6^{16} \end{align}
تمرين عدد 7
1) نعتبر العبارة \(a = 29 \times 7^6 - 3 \times 7^7\).
بيّن أن \(a = 2^3 \times 7^6\).
2) نعتبر العبارة \(b = 4 \times 7^6 + 4 \times 7^5\).
بيّن أن \(b = 2^5 \times 7^5\).
3) استنتج أن \(8ab = 14^{11}\).
التصحيح المفصل:
1) بيّن أن a = 2³ × 7⁶ :

نلاحظ أن: \(7^6\) عامل مشترك

\begin{align} a &= 29 \times 7^6 - 3 \times 7^7 \\ &= 29 \times 7^6 - 3 \times 7 \times 7^6 \\ &= 7^6 \times (29 - 3 \times 7) \\ &= 7^6 \times (29 - 21) \\ &= 7^6 \times 8 \\ &= 2^3 \times 7^6 \end{align}
2) بيّن أن b = 2⁵ × 7⁵ :

نلاحظ أن: \(4 \times 7^5\) عامل مشترك

\begin{align} b &= 4 \times 7^6 + 4 \times 7^5 \\ &= 4 \times 7^5 \times 7 + 4 \times 7^5 \\ &= 4 \times 7^5 \times (7 + 1) \\ &= 4 \times 7^5 \times 8 \\ &= 2^2 \times 7^5 \times 2^3 \\ &= 2^5 \times 7^5 \end{align}
3) استنتج أن 8ab = 14¹¹ :
\begin{align} 8ab &= 8 \times (2^3 \times 7^6) \times (2^5 \times 7^5) \\ &= 2^3 \times 2^3 \times 2^5 \times 7^6 \times 7^5 \\ &= 2^{11} \times 7^{11} \\ &= (2 \times 7)^{11} \\ &= 14^{11} \end{align}
تمرين عدد 8

احسب العبارات التالية:

\(A = 5 + 5^2 + 5^3\) ; \(B = 2 \times 7^2 + 3 \times 7 - 1\)
\(C = 2 \times 5^2 + 2^2 \times 5 + (2 \times 5)^2\)
\(D = 3 \times 7^2 \times 0 \times 11^3\) ; \(E = 3 \times 5^2 \times 1^{75} \times 10^3\)
\(F = (5 - 2)^3\) ; \(G = 5^3 - 2^3\)
\(H = 8^{10} - 1^{81}\) ; \(I = 65^0 + 1^{65}\)
\(J = (2^2 - 3)^{2013} + ((3^0 - 2^3) - 3^2)^{2014}\)
\(K = 2^3 + 3 \times 2^2 + (3^2 - 2^2)\)
التصحيح المفصل:
حساب A :
\begin{align} A &= 5 + 5^2 + 5^3 \\ &= 5 + 25 + 125 \\ &= 155 \end{align}
حساب B :
\begin{align} B &= 2 \times 7^2 + 3 \times 7 - 1 \\ &= 2 \times 49 + 21 - 1 \\ &= 98 + 21 - 1 \\ &= 118 \end{align}
حساب C :
\begin{align} C &= 2 \times 5^2 + 2^2 \times 5 + (2 \times 5)^2 \\ &= 2 \times 25 + 4 \times 5 + 10^2 \\ &= 50 + 20 + 100 \\ &= 170 \end{align}
حساب D :
\[D = 3 \times 7^2 \times 0 \times 11^3 = 0\]

جداء يحتوي على العدد 0

حساب E :
\begin{align} E &= 3 \times 5^2 \times 1^{75} \times 10^3 \\ &= 3 \times 25 \times 1 \times 1000 \\ &= 75000 \end{align}
حساب F و G :
\[F = (5 - 2)^3 = 3^3 = 27\]
\[G = 5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117\]

ملاحظة: \((a - b)^3 \neq a^3 - b^3\)

حساب H و I :
\[H = 8^{10} - 1^{81} = 8^{10} - 1\]
\[I = 65^0 + 1^{65} = 1 + 1 = 2\]
حساب J :
\begin{align} J &= (2^2 - 3)^{2013} + ((3^0 - 2^3) - 3^2)^{2014} \\ &= (4 - 3)^{2013} + ((1 - 8) - 9)^{2014} \\ &= 1^{2013} + (-7 - 9)^{2014} \\ &= 1 + (-16)^{2014} \\ &= 1 + 16^{2014} \end{align}

عدد زوجي مرفوع لأس زوجي يعطي عددا موجبا

حساب K :
\begin{align} K &= 2^3 + 3 \times 2^2 + (3^2 - 2^2) \\ &= 8 + 3 \times 4 + (9 - 4) \\ &= 8 + 12 + 5 \\ &= 25 \end{align}