📚 دليل قوى الأعداد الصحيحة الطبيعية

🔢 تعريف القوة

القوة \(a^n\) تعني ضرب العدد \(a\) في نفسه \(n\) مرة:

\[a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ مرة}}\]

مثال: \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)

⚡ قواعد القوى

  • دليل القوة صفر: \(a^0 = 1\) (لأي عدد \(a \neq 0\))
  • دليل القوة واحد: \(a^1 = a\)
  • الضرب في الصفر: \(a \times 0 = 0\)
  • قوة الواحد: \(1^n = 1\) (لأي دليل القوة \(n\))

📐 قواعد العمليات على القوى

1. ضرب قوى بنفس دليل القوة:

\[a^n \times a^m = a^{n+m}\]

مثال: \(2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8\)

2. قوة القوة:

\[(a^n)^m = a^{n \times m}\]

مثال: \((3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8\)

3. ضرب قوى بنفس دليل القوة:

\[a^n \times b^n = (a \times b)^n\]

مثال: \(2^5 \times 3^5 = (2 \times 3)^5 = 6^5\)

🎯 تحويلات مهمة

  • \(4 = 2^2\)
  • \(8 = 2^3\)
  • \(16 = 2^4\)
  • \(32 = 2^5\)
  • \(9 = 3^2\)
  • \(27 = 3^3\)
  • \(25 = 5^2\)
  • \(125 = 5^3\)
  • \(10 = 2 \times 5\)

✨ أولوية العمليات

  1. الأقواس أولاً
  2. القوى ثانياً
  3. الضرب والقسمة من اليمين لليسار
  4. الجمع والطرح من اليمين لليسار

تمارين قوى الأعداد الصحيحة الطبيعية

1 تمرين عدد 1

احسب العبارات التالية:

\(A = 5 + 5^2 + 5^3\)
\(B = 2 \times 7^2 + 3 \times 7 - 1\)
\(C = 2 \times 5^2 + 2^2 \times 5 + (2 \times 5)^2\)
\(D = 3 \times 7^2 \times 0 \times 11^3\)
\(E = 3 \times 5^2 \times 1^{75} \times 10^3\)
\(F = (5 - 2)^3\)
\(G = 5^3 - 2^3\)
\(H = 8^{10} - 1^{81}\)
\(I = 6^{50} + 1^{65}\)
\(J = (2^2 - 3)^{2013} + ((3^0 + 2^3) - 3^2)^{2014}\)
\(K = 2^3 + 3 \times 2^2 + (3^2 - 2^2)\)
1
2
3

💡 المرحلة 1: توجيهات للتفكير

قواعد القوى التي ستحتاجها:

  • القوة \(a^n\) تعني: \(a \times a \times a \times \cdots\) (\(n\) مرة)
  • أي عدد مرفوع للأس \(0\) يساوي \(1\): \(a^0 = 1\)
  • الضرب في \(0\) يعطي دائماً \(0\)
  • \(1\) مرفوع لأي دليل القوة يساوي \(1\): \(1^n = 1\)
  • احترم أولوية العمليات: الأقواس ← القوى ← الضرب والقسمة ← الجمع والطرح

نصيحة: ابدأ بحساب القوى أولاً، ثم الضرب، وأخيراً الجمع والطرح.

📝 المرحلة 2: منهجية الحل

حساب \(A = 5 + 5^2 + 5^3\):

\[\begin{align} A &= 5 + 5^2 + 5^3 \\ &= 5 + 25 + 125 \\ &= 155 \end{align}\]

حساب \(B = 2 \times 7^2 + 3 \times 7 - 1\):

\[\begin{align} B &= 2 \times 7^2 + 3 \times 7 - 1 \\ &= 2 \times 49 + 3 \times 7 - 1 \\ &= 98 + 21 - 1 \\ &= 118 \end{align}\]

حساب \(C = 2 \times 5^2 + 2^2 \times 5 + (2 \times 5)^2\):

\[\begin{align} C &= 2 \times 5^2 + 2^2 \times 5 + (2 \times 5)^2 \\ &= 2 \times 25 + 4 \times 5 + 10^2 \\ &= 50 + 20 + 100 \\ &= 170 \end{align}\]

حساب \(D = 3 \times 7^2 \times 0 \times 11^3\):

\[D = 3 \times 49 \times 0 \times 1331 = 0\]

الضرب في \(0\) يعطي دائماً \(0\)

حساب \(E = 3 \times 5^2 \times 1^{75} \times 10^3\):

\[\begin{align} E &= 3 \times 5^2 \times 1^{75} \times 10^3 \\ &= 3 \times 25 \times 1 \times 1000 \\ &= 75 \times 1000 \\ &= 75000 \end{align}\]

حساب \(F = (5 - 2)^3\):

\[F = (5 - 2)^3 = 3^3 = 27\]

حساب \(G = 5^3 - 2^3\):

\[G = 5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117\]

حساب \(H = 8^{10} - 1^{81}\):

\[H = 8^{10} - 1^{81} = 8^{10} - 1\]

حساب \(I = 6^{50} + 1^{65}\):

\[I = 6^{50} + 1^{65} = 6^{50} + 1\]

حساب \(J = (2^2 - 3)^{2013} + ((3^0 + 2^3) - 3^2)^{2014}\):

\[\begin{align} J &= (2^2 - 3)^{2013} + ((3^0 + 2^3) - 3^2)^{2014} \\ &= (4 - 3)^{2013} + ((1 + 8) - 9)^{2014} \\ &= 1^{2013} + (9 - 9)^{2014} \\ &= 1 + 0^{2014} \\ &= 1 + 0 = 1 \end{align}\]

حساب \(K = 2^3 + 3 \times 2^2 + (3^2 - 2^2)\):

\[\begin{align} K &= 2^3 + 3 \times 2^2 + (3^2 - 2^2) \\ &= 8 + 3 \times 4 + (9 - 4) \\ &= 8 + 12 + 5 \\ &= 25 \end{align}\]

✅ المرحلة 3: النتائج النهائية

\(A = 155\)
\(B = 118\)
\(C = 170\)
\(D = 0\)
\(E = 75000\)
\(F = 27\)
\(G = 117\)
\(H = 8^{10} - 1\)
\(I = 6^{50} + 1\)
\(J = 1\)
\(K = 25\)

2 تمرين عدد 2

اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

\(2^6 \times 2^5\)
\(3^4 \times 3^5\)
\(7 \times 7^{10}\)
\(9^0 \times 9^{12}\)
\(27 \times 3^5\)
\(2^6 \times 8\)
\(5^4 \times 5^5 \times 5^8\)
\(10^4 \times 10 \times 10^5\)
\(8 \times 2^7 \times 32\)
\(25 \times 5^3\)
\(125 \times 5^7\)
\(25 \times 5^4 \times 125\)
1
2
3

💡 المرحلة 1: توجيهات للتفكير

القواعد المستخدمة:

  • قاعدة ضرب القوى بنفس دليل القوة: \[a^n \times a^m = a^{n+m}\]
  • تحويل الأعداد إلى قوى:
    • \(8 = 2^3\)
    • \(32 = 2^5\)
    • \(27 = 3^3\)
    • \(25 = 5^2\)
    • \(125 = 5^3\)
  • قاعدة دليل القوة \(0\): \(a^0 = 1\)
  • قاعدة دليل القوة \(1\): \(a^1 = a\)

نصيحة: حول الأعداد إلى قوى، ثم طبق قاعدة الضرب.

📝 المرحلة 2: منهجية الحل

\(2^6 \times 2^5\):

\[2^6 \times 2^5 = 2^{6+5} = 2^{11}\]

\(3^4 \times 3^5\):

\[3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^9\]

\(7 \times 7^{10}\):

\[7 \times 7^{10} = 7^1 \times 7^{10} = 7^{1+10} = 7^{11}\]

\(9^0 \times 9^{12}\):

\[9^0 \times 9^{12} = 1 \times 9^{12} = 9^{12}\]

\(27 \times 3^5\):

\[27 \times 3^5 = 3^3 \times 3^5 = 3^{3+5} = 3^8\]

\(2^6 \times 8\):

\[2^6 \times 8 = 2^6 \times 2^3 = 2^{6+3} = 2^9\]

\(5^4 \times 5^5 \times 5^8\):

\[5^4 \times 5^5 \times 5^8 = 5^{4+5+8} = 5^{17}\]

\(10^4 \times 10 \times 10^5\):

\[10^4 \times 10^1 \times 10^5 = 10^{4+1+5} = 10^{10}\]

\(8 \times 2^7 \times 32\):

\[8 \times 2^7 \times 32 = 2^3 \times 2^7 \times 2^5 = 2^{3+7+5} = 2^{15}\]

\(25 \times 5^3\):

\[25 \times 5^3 = 5^2 \times 5^3 = 5^{2+3} = 5^5\]

\(125 \times 5^7\):

\[125 \times 5^7 = 5^3 \times 5^7 = 5^{3+7} = 5^{10}\]

\(25 \times 5^4 \times 125\):

\[25 \times 5^4 \times 125 = 5^2 \times 5^4 \times 5^3 = 5^{2+4+3} = 5^9\]

✅ المرحلة 3: النتائج النهائية

\(2^6 \times 2^5 = 2^{11}\)
\(3^4 \times 3^5 = 3^9\)
\(7 \times 7^{10} = 7^{11}\)
\(9^0 \times 9^{12} = 9^{12}\)
\(27 \times 3^5 = 3^8\)
\(2^6 \times 8 = 2^9\)
\(5^4 \times 5^5 \times 5^8 = 5^{17}\)
\(10^4 \times 10 \times 10^5 = 10^{10}\)
\(8 \times 2^7 \times 32 = 2^{15}\)
\(25 \times 5^3 = 5^5\)
\(125 \times 5^7 = 5^{10}\)
\(25 \times 5^4 \times 125 = 5^9\)

3 تمرين عدد 3

اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

\((2^6)^3\)
\((3^4)^5\)
\((7^2) \times 7^{10}\)
\(3^5 \times (3^2)^4\)
\((5^4)^2 \times (5^5)^8\)
\([(7^4)^2 \times (7^3)^5]^2 \times 7^5\)
\(9^3 \times 27^2 \times 3^5\)
\(25^4 \times 5^5\)
\(125^2 \times 5^7 \times 25^3\)
\(32^2 \times (2^3)^4 \times 4^3\)
\(16^4 \times 2^5\)
1
2
3

💡 المرحلة 1: توجيهات للتفكير

القواعد المستخدمة:

  • قاعدة قوة القوة: \[(a^n)^m = a^{n \times m}\]
  • قاعدة ضرب القوى بنفس دليل القوة: \[a^n \times a^m = a^{n+m}\]
  • تحويل الأعداد إلى قوى:
    • \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\)
    • \(4 = 2^2\), \(16 = 2^4\), \(32 = 2^5\)
    • \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\)
  • نبدأ دائماً بمعالجة الأقواس من الداخل إلى الخارج

📝 المرحلة 2: منهجية الحل

\((2^6)^3\):

\[(2^6)^3 = 2^{6 \times 3} = 2^{18}\]

\((3^4)^5\):

\[(3^4)^5 = 3^{4 \times 5} = 3^{20}\]

\((7^2) \times 7^{10}\):

\[7^2 \times 7^{10} = 7^{2+10} = 7^{12}\]

\(3^5 \times (3^2)^4\):

\[\begin{align} 3^5 \times (3^2)^4 &= 3^5 \times 3^{2 \times 4} \\ &= 3^5 \times 3^8 \\ &= 3^{5+8} = 3^{13} \end{align}\]

\((5^4)^2 \times (5^5)^8\):

\[\begin{align} (5^4)^2 \times (5^5)^8 &= 5^{4 \times 2} \times 5^{5 \times 8} \\ &= 5^8 \times 5^{40} \\ &= 5^{8+40} = 5^{48} \end{align}\]

\([(7^4)^2 \times (7^3)^5]^2 \times 7^5\):

\[\begin{align} [(7^4)^2 \times (7^3)^5]^2 \times 7^5 &= [7^8 \times 7^{15}]^2 \times 7^5 \\ &= [7^{23}]^2 \times 7^5 \\ &= 7^{46} \times 7^5 \\ &= 7^{51} \end{align}\]

\(9^3 \times 27^2 \times 3^5\):

\[\begin{align} 9^3 \times 27^2 \times 3^5 &= (3^2)^3 \times (3^3)^2 \times 3^5 \\ &= 3^6 \times 3^6 \times 3^5 \\ &= 3^{6+6+5} = 3^{17} \end{align}\]

\(25^4 \times 5^5\):

\[\begin{align} 25^4 \times 5^5 &= (5^2)^4 \times 5^5 \\ &= 5^8 \times 5^5 \\ &= 5^{13} \end{align}\]

\(125^2 \times 5^7 \times 25^3\):

\[\begin{align} 125^2 \times 5^7 \times 25^3 &= (5^3)^2 \times 5^7 \times (5^2)^3 \\ &= 5^6 \times 5^7 \times 5^6 \\ &= 5^{19} \end{align}\]

\(32^2 \times (2^3)^4 \times 4^3\):

\[\begin{align} 32^2 \times (2^3)^4 \times 4^3 &= (2^5)^2 \times 2^{12} \times (2^2)^3 \\ &= 2^{10} \times 2^{12} \times 2^6 \\ &= 2^{28} \end{align}\]

\(16^4 \times 2^5\):

\[\begin{align} 16^4 \times 2^5 &= (2^4)^4 \times 2^5 \\ &= 2^{16} \times 2^5 \\ &= 2^{21} \end{align}\]

✅ المرحلة 3: النتائج النهائية

\((2^6)^3 = 2^{18}\)
\((3^4)^5 = 3^{20}\)
\((7^2) \times 7^{10} = 7^{12}\)
\(3^5 \times (3^2)^4 = 3^{13}\)
\((5^4)^2 \times (5^5)^8 = 5^{48}\)
\([(7^4)^2 \times (7^3)^5]^2 \times 7^5 = 7^{51}\)
\(9^3 \times 27^2 \times 3^5 = 3^{17}\)
\(25^4 \times 5^5 = 5^{13}\)
\(125^2 \times 5^7 \times 25^3 = 5^{19}\)
\(32^2 \times (2^3)^4 \times 4^3 = 2^{28}\)
\(16^4 \times 2^5 = 2^{21}\)

4 تمرين عدد 4

اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

\(2^6 \times 5^6\)
\(3^4 \times 5^4\)
\(25 \times 3^2\)
\(5^3 \times 27\)
\(8 \times 7^6\)
\(5^4 \times 3^4 \times 16\)
\(9 \times 25 \times 36\)
\(25 \times 49\)
\(25^2 \times 2^4\)
\(16 \times 5^4\)
\(25^2 \times 16^2 \times 5^4\)
\(8^2 \times 10^7 \times 5^6\)
1
2
3

💡 المرحلة 1: توجيهات للتفكير

القواعد المستخدمة:

  • قاعدة ضرب قوى بنفس دليل القوة: \[a^n \times b^n = (a \times b)^n\]
  • قاعدة ضرب قوى بنفس دليل القوة: \[a^n \times a^m = a^{n+m}\]
  • قاعدة قوة القوة: \[(a^n)^m = a^{n \times m}\]
  • تحويلات مهمة:
    • \(25 = 5^2\), \(49 = 7^2\), \(36 = 6^2\)
    • \(27 = 3^3\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(9 = 3^2\)
    • \(10 = 2 \times 5\)

📝 المرحلة 2: منهجية الحل

\(2^6 \times 5^6\):

\[2^6 \times 5^6 = (2 \times 5)^6 = 10^6\]

\(3^4 \times 5^4\):

\[3^4 \times 5^4 = (3 \times 5)^4 = 15^4\]

\(25 \times 3^2\):

\[25 \times 3^2 = 5^2 \times 3^2 = (5 \times 3)^2 = 15^2\]

\(5^3 \times 27\):

\[5^3 \times 27 = 5^3 \times 3^3 = (5 \times 3)^3 = 15^3\]

\(8 \times 7^6\):

\[8 \times 7^6 = 2^3 \times 7^6\]

لا يمكن التبسيط أكثر (أساس وأس مختلفان)

\(5^4 \times 3^4 \times 16\):

\[\begin{align} 5^4 \times 3^4 \times 16 &= 5^4 \times 3^4 \times 2^4 \\ &= (5 \times 3 \times 2)^4 \\ &= 30^4 \end{align}\]

\(9 \times 25 \times 36\):

\[\begin{align} 9 \times 25 \times 36 &= 3^2 \times 5^2 \times 6^2 \\ &= (3 \times 5 \times 6)^2 \\ &= 90^2 \end{align}\]

\(25 \times 49\):

\[25 \times 49 = 5^2 \times 7^2 = (5 \times 7)^2 = 35^2\]

\(25^2 \times 2^4\):

\[\begin{align} 25^2 \times 2^4 &= (5^2)^2 \times 2^4 \\ &= 5^4 \times 2^4 \\ &= (5 \times 2)^4 = 10^4 \end{align}\]

\(16 \times 5^4\):

\[16 \times 5^4 = 2^4 \times 5^4 = (2 \times 5)^4 = 10^4\]

\(25^2 \times 16^2 \times 5^4\):

\[\begin{align} 25^2 \times 16^2 \times 5^4 &= (5^2)^2 \times (2^4)^2 \times 5^4 \\ &= 5^4 \times 2^8 \times 5^4 \\ &= 5^{8} \times 2^8 \\ &= (5 \times 2)^8 = 10^8 \end{align}\]

\(8^2 \times 10^7 \times 5^6\):

\[\begin{align} 8^2 \times 10^7 \times 5^6 &= (2^3)^2 \times (2 \times 5)^7 \times 5^6 \\ &= 2^6 \times 2^7 \times 5^7 \times 5^6 \\ &= 2^{13} \times 5^{13} \\ &= (2 \times 5)^{13} = 10^{13} \end{align}\]

✅ المرحلة 3: النتائج النهائية

\(2^6 \times 5^6 = 10^6\)
\(3^4 \times 5^4 = 15^4\)
\(25 \times 3^2 = 15^2\)
\(5^3 \times 27 = 15^3\)
\(8 \times 7^6 = 2^3 \times 7^6\) (لا يمكن التبسيط)
\(5^4 \times 3^4 \times 16 = 30^4\)
\(9 \times 25 \times 36 = 90^2\)
\(25 \times 49 = 35^2\)
\(25^2 \times 2^4 = 10^4\)
\(16 \times 5^4 = 10^4\)
\(25^2 \times 16^2 \times 5^4 = 10^8\)
\(8^2 \times 10^7 \times 5^6 = 10^{13}\)