1- لكل سؤال ثلاث إجابات إحداها فقط صحيحة اكتب على ورقتك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له
1) العدد \(3^5 \times 2^{-5}\) يساوي:
2) القيمة التقريبية للعدد \(4999998.5\) إلى الوحدة العشرة:
3) العدد \(1509999999\) يقبل القسمة على:
II- تأمل الرسم المقابل حيث النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) على استقامة واحدة أجب بصواب أو خطأ
🔺 الرسم: النقاط \(A\), \(B\), \(C\) على استقامة واحدة
1) \(\widehat{BEC} = 89°\)
2) \((BC)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{EBF}\)
السؤال 1:
\(3^5 \times 2^{-5} = \frac{3^5}{2^5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5\)
\(= \frac{243}{32} = 7.59...\)
أو يمكن حسابها مباشرة:
\(3^5 = 243\) و \(2^{-5} = \frac{1}{32}\)
\(243 \times \frac{1}{32} = \frac{243}{32} \approx 7.59\)
السؤال 2:
العدد: \(4999998.5\)
التقريب إلى الوحدة العشرة يعني إلى أقرب عشرة
\(4999998.5 \approx 5000000\)
\(5000000 = 5 \times 10^6\) أو \(50 \times 10^5\) أو \(500 \times 10^4\)
من الخيارات المعطاة:
ب/ \(2 \times 10^4 = 20000\) ❌
ج/ \(2 \times 10^5 = 200000\) ❌
الخيار الأقرب هو ج/ إذا كان المقصود \(5 \times 10^6\)
السؤال 3:
العدد: \(1509999999\)
قابلية القسمة على 9:
مجموع الأرقام: \(1+5+0+9+9+9+9+9+9+9 = 69\)
\(69 = 7 \times 9 + 6\)، إذن غير قابل للقسمة على \(9\) ❌
قابلية القسمة على 5:
آخر رقم هو \(9\)، إذن غير قابل للقسمة على \(5\) ❌
قابلية القسمة على 25:
آخر رقمين: \(99\)، \(99 \div 25 = 3.96\)، غير قابل ❌
قابلية القسمة على 3:
مجموع الأرقام \(= 69\)، \(69 \div 3 = 23\) ✓
إذن قابل للقسمة على \(3\)
قابلية القسمة على 4:
آخر رقمين: \(99\)، غير قابل للقسمة على \(4\) ❌
السؤال II-1:
يحتاج الرسم لتحديد قياس الزاوية \(\widehat{BEC}\)
من الرسم نحدد إذا كانت الزاوية تساوي \(89°\)
السؤال II-2:
لكي يكون \((BC)\) منصف الزاوية \(\widehat{EBF}\)
يجب أن يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين
أي: \(\widehat{EBC} = \widehat{CBF}\)
نتحقق من الرسم
1) احسب:
\(a = (29 - 3^2) \times (25 + 3^2)\)
\(b = 11^2 - 10^2 - (3^2 + 3 \times 2^2)\)
\(c = 16 \times 5^4 + 4^2 \times 3 \times 5^1\)
2) اكتب في صيغة قوى ذات أساس واحد:
\(d = 36^5 \times (6^2)^4\)
\(e = 121^3 \times 27^2\)
\(f = 16 \times (10^2 + 25 \times 16) + 5^3 \times (5^2 - 9)\)
السؤال 1 - حساب \(a\):
\(a = (29 - 3^2) \times (25 + 3^2)\)
\(= (29 - 9) \times (25 + 9)\)
\(= 20 \times 34\)
\(= 680\)
حساب \(b\):
\(b = 11^2 - 10^2 - (3^2 + 3 \times 2^2)\)
\(= 121 - 100 - (9 + 3 \times 4)\)
\(= 21 - (9 + 12)\)
\(= 21 - 21\)
\(= 0\)
حساب \(c\):
\(c = 16 \times 5^4 + 4^2 \times 3 \times 5^1\)
\(= 16 \times 625 + 16 \times 3 \times 5\)
\(= 10000 + 240\)
\(= 10240\)
السؤال 2 - حساب \(d\):
\(d = 36^5 \times (6^2)^4\)
\(= (6^2)^5 \times 6^8\)
\(= 6^{10} \times 6^8\)
\(= 6^{18}\)
حساب \(e\):
\(e = 121^3 \times 27^2\)
\(= (11^2)^3 \times (3^3)^2\)
\(= 11^6 \times 3^6\)
\(= (11 \times 3)^6\)
\(= 33^6\)
حساب \(f\):
\(f = 16 \times (10^2 + 25 \times 16) + 5^3 \times (5^2 - 9)\)
\(= 16 \times (100 + 400) + 125 \times (25 - 9)\)
\(= 16 \times 500 + 125 \times 16\)
\(= 8000 + 2000\)
\(= 10000\)
\(= 10^4\)
عوض كل نقطة برقم حتى يكون العدد \(...4...0...25\) قابلا للقسمة على \(9\) و \(25\) (أوضح جميع الحلول الممكنة)
نعتبر العدد \(6a73\) حيث \(a\) يمثل رقم المئات
أ/ جد باقي قسمة العدد \(6073\) على \(25\)
ب/ جد الرقم \(a\) إذا علمت أن خارج قسمة العدد \(6a73\) على \(25\) هو \(274\)
السؤال الأول:
العدد: \(x_1 4 x_2 0 x_3 25\) حيث \(x_1, x_2, x_3\) أرقام مجهولة
شرط القابلية للقسمة على 25:
آخر رقمين يجب أن يقبلا القسمة على \(25\)
آخر رقمين هما: \(25\) ✓ (قابل للقسمة على \(25\))
شرط القابلية للقسمة على 9:
مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على \(9\)
\(x_1 + 4 + x_2 + 0 + x_3 + 2 + 5 = x_1 + x_2 + x_3 + 11\)
يجب أن يكون: \(x_1 + x_2 + x_3 + 11 \equiv 0 \pmod{9}\)
أي: \(x_1 + x_2 + x_3 \equiv -11 \equiv 7 \pmod{9}\)
الحلول الممكنة:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 7\): مثل \((0,0,7), (0,1,6), (1,0,6), ...\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = 16\): مثل \((7,9,0), (8,8,0), ...\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = 25\): مثل \((9,9,7), (9,8,8), ...\)
السؤال الثاني (أ) - باقي قسمة 6073 على 25:
\(6073 \div 25\)
نلاحظ آخر رقمين: \(73\)
\(73 = 25 \times 2 + 23\)
إذن باقي القسمة هو \(23\)
تحقق: \(6073 = 25 \times 242 + 23\)
\(25 \times 242 = 6050\)
\(6050 + 23 = 6073\) ✓
السؤال الثاني (ب) - إيجاد الرقم \(a\):
العدد: \(6a73\) حيث \(a\) رقم المئات
معطى: خارج القسمة على \(25\) هو \(274\)
إذن: \(6a73 = 25 \times 274 + r\) حيث \(0 \leq r < 25\)
\(25 \times 274 = 6850\)
بما أن العدد أصغر من أو يساوي \(6873\) (عندما \(a=8\))
وأكبر من \(6073\) (عندما \(a=0\))
نحاول: إذا كان \(6a73 = 6850 + r\)
مع \(r < 25\)
فإن \(6a73\) يجب أن يكون قريباً من \(6850\)
عندما \(a = 8\): \(6873 = 6850 + 23\) ✓
والباقي \(23 < 25\) ✓
أ/ ارسم مثلثا \(ABC\) متقايس الأضلاع حيث \(AB = 4\text{cm}\)
ب/ منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) يقطع \([BC]\) في نقطة \(E\). بيّن أن \(\widehat{AEB} = 90°\)
ج/ لتكن النقطة \(D\) بحيث \(A\) منتصف \([BD]\) وليكن \((Ay)\) منصف الزاوية \(\widehat{CAD}\). بيّن أن \((BC) \parallel (Ay)\)
1/ أ/ نصف المستقيم \((Az)\) بحيث يكون الزاويتان \(\widehat{CAz}\) و \(\widehat{BAC}\) متحاويزتين ومتتامتين
ب/ بيّن أن نصف المستقيم \((AC)\) منصف الزاوية \(\widehat{EAz}\)
لتكن النقطة \(P\) المسقط العمودي للنقطة \(C\) على \((Az)\). بيّن أن \(CF = CE\)
السؤال (أ) - الرسم:
نرسم مثلث متقايس الأضلاع (متساوي الأضلاع) \(ABC\)
حيث \(AB = BC = CA = 4\) cm
كل زوايا المثلث متساوي الأضلاع = \(60°\)
السؤال (ب) - إثبات \(\widehat{AEB} = 90°\):
في المثلث متساوي الأضلاع \(ABC\):
\(\widehat{BAC} = 60°\)
\((AE)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\)، إذن:
\(\widehat{BAE} = \widehat{CAE} = 30°\)
في المثلث متساوي الأضلاع، منصف الزاوية هو أيضاً:
- ارتفاع (عمودي على الضلع المقابل)
- متوسط (يمر بمنتصف الضلع المقابل)
إذن \((AE) \perp (BC)\)
وبالتالي: \(\widehat{AEB} = 90°\) ✓
السؤال (ج) - إثبات \((BC) \parallel (Ay)\):
معطى: \(A\) منتصف \([BD]\)
\((Ay)\) منصف الزاوية \(\widehat{CAD}\)
في المثلث متساوي الأضلاع: \(\widehat{BAC} = 60°\)
بما أن \(A\) منتصف \([BD]\): \(BA = AD\)
و \(BA = CA\) (المثلث متساوي الأضلاع)
إذن: \(CA = AD\)
المثلث \(CAD\) متساوي الساقين في \(A\)
\((Ay)\) منصف \(\widehat{CAD}\)
لإثبات التوازي، نحتاج إثبات أن الزوايا المتناظرة متساوية
أو أن مجموع زاويتين في الوضع نفسه = \(180°\)
السؤال 1(أ) - نصف المستقيم \((Az)\):
الزاويتان \(\widehat{CAz}\) و \(\widehat{BAC}\) متحاويزتين ومتتامتين
متتامتين: \(\widehat{CAz} + \widehat{BAC} = 90°\)
متحاويزتين: تشتركان في ضلع واحد هو \([AC)\)
بما أن \(\widehat{BAC} = 60°\)
إذن: \(\widehat{CAz} = 90° - 60° = 30°\)
السؤال 1(ب) - \((AC)\) منصف \(\widehat{EAz}\):
من السؤال (ب): \((AE)\) منصف \(\widehat{BAC}\)
إذن: \(\widehat{CAE} = 30°\)
من السؤال 1(أ): \(\widehat{CAz} = 30°\)
بما أن \(\widehat{CAE} = \widehat{CAz} = 30°\)
و \((AC)\) يشترك مع الزاويتين
إذن \((AC)\) منصف الزاوية \(\widehat{EAz}\) ✓
إثبات \(CF = CE\):
\(P\) هو المسقط العمودي للنقطة \(C\) على \((Az)\)
أظن هناك خطأ في السؤال، يجب أن يكون \(F\) بدلاً من \(P\)
إذا كان \(F\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((Az)\):
\((CF) \perp (Az)\)
من السؤال (ب): \((CE) \perp (BC)\)
بما أن \((AC)\) منصف \(\widehat{EAz}\)
و \(CF \perp (Az)\), \(CE \perp (AE)\) (من التماثل)
النقطة \(C\) تبعد نفس المسافة عن ضلعي الزاوية \(\widehat{EAz}\)
إذن: \(CF = CE\) ✓