دليل جمع القوى المتشابهة

مبدأ القوى:

تحويل الجمع المتكرر إلى ضرب:

\[a + a = 2 \times a\]

\[a + a + a = 3 \times a\]

\[a + a + a + a = 4 \times a\]

قاعدة ضرب القوى:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

أمثلة تطبيقية مفصلة:

المثال الأول: جمع حدين متشابهين

المسألة: \(2^7 + 2^7 = ?\)

الحل:

1. نحول الجمع إلى ضرب: \(2^7 + 2^7 = 2 \times 2^7\)

2. نكتب العدد 2 كقوة: \(2 = 2^1\)

3. نطبق قاعدة ضرب القوى: \(2^1 \times 2^7 = 2^{1+7} = 2^8\)

المثال الثاني: جمع أربعة حدود متشابهة

المسألة: \(2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6 = ?\)

الحل:

1. نحول إلى ضرب: \(4 \times 2^6\)

2. نكتب 4 كقوة للأساس 2: \(4 = 2^2\)

3. نطبق القاعدة: \(2^2 \times 2^6 = 2^{2+6} = 2^8\)

المثال الثالث: أساس مختلف

المسألة: \(3^5 + 3^5 + 3^5 = ?\)

الحل:

1. نحول إلى ضرب: \(3 \times 3^5\)

2. نكتب 3 كقوة: \(3 = 3^1\)

3. نطبق القاعدة: \(3^1 \times 3^5 = 3^{1+5} = 3^6\)

استراتيجية الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: عدّ كم مرة يتكرر الحد المتشابه

الخطوة 2: اكتب الجمع على شكل ضرب

الخطوة 3: اكتب المعامل كقوة لنفس دليل القوة إن أمكن

الخطوة 4: طبق قاعدة ضرب القوى

الخطوة 5: اجمع دليل القوة للحصول على النتيجة النهائية

تحويل الأعداد إلى قوى:

قوى العدد 2:

\(2 = 2^1\)، \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)، \(16 = 2^4\)

قوى العدد 3:

\(3 = 3^1\)، \(9 = 3^2\)، \(27 = 3^3\)، \(81 = 3^4\)

قوى العدد 5:

\(5 = 5^1\)، \(25 = 5^2\)، \(125 = 5^3\)، \(625 = 5^4\)

أخطاء شائعة يجب تجنبها:

خطأ في العد

خطأ: \(a + a + a + a = 3 \times a\)

صحيح: \(a + a + a + a = 4 \times a\)

تذكر: عدّ بعناية عدد الحدود المتشابهة!

خطأ في تطبيق القاعدة

خطأ: \(3 \times 3^5 = 3^{3 \times 5} = 3^{15}\)

صحيح: \(3 \times 3^5 = 3^1 \times 3^5 = 3^{1+5} = 3^6\)

تذكر: في الضرب نجمع دليل القوة، لا نضربها!

تمارين للتدريب:

تمرين 1: \(7^3 + 7^3 = ?\)

الحل: \(2 \times 7^3 = 7^1 \times 7^3 = 7^4\)

تمرين 2: \(4^2 + 4^2 + 4^2 = ?\)

الحل: \(3 \times 4^2\)

تمرين 3: \(2^5 + 2^5 + 2^5 + 2^5 = ?\)

الحل: \(4 \times 2^5 = 2^2 \times 2^5 = 2^7\)

نصائح للنجاح:

• تأكد من أن جميع الحدود متشابهة تماماً

• عدّ بدقة عدد مرات التكرار

• حاول كتابة المعامل كقوة لنفس دليل القوة

• تذكر أن أي عدد يمكن كتابته كقوة أولى لنفسه

• تحقق من إجابتك بحساب قيمة الطرفين

الصيغة العامة:

إذا كان لدينا \(n\) حد متشابه \(a^k\):

\[\underbrace{a^k + a^k + \ldots + a^k}_{n \text{ مرات}} = n \times a^k\]

وإذا أمكن كتابة \(n = a^m\)، فإن:

\[n \times a^k = a^m \times a^k = a^{m+k}\]

جمع القوى المتشابهة

دفواراتي
التعبير A
تمرين 1

اكتب على شكل قوة لعدد صحيح طبيعي:

\[A = 2^7 + 2^7\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن الجمع المتكرر هو ضرب. ما هو العامل المشترك الذي يمكنك إخراجه هنا؟

📝 الطريقة

بما أن الحد \(2^7\) مكرر مرتين، يمكننا كتابة التعبير على شكل:
\[A = 2 \times 2^7\]
الآن، استخدم قانون ضرب القوى \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

✅ الحل الكامل

\[A = 2^7 + 2^7 = 2 \times 2^7 = 2^1 \times 2^7 = 2^{1+7} = 2^8\]
التعبير B
تمرين 2

اكتب على شكل قوة لعدد صحيح طبيعي:

\[B = 2^{14} + 2^{14}\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تماماً مثل التمرين السابق، ما هو العامل المشترك الذي يمكنك إخراجه من هذا المجموع؟

📝 الطريقة

الحد \(2^{14}\) مكرر مرتين، إذن:
\[B = 2 \times 2^{14}\]
طبّق الآن قاعدة ضرب القوى.

✅ الحل الكامل

\[B = 2^{14} + 2^{14} = 2 \times 2^{14} = 2^1 \times 2^{14} = 2^{1+14} = 2^{15}\]
التعبير C
تمرين 3

اكتب على شكل قوة لعدد صحيح طبيعي:

\[C = 2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الحد \(2^6\) مكرر 4 مرات. كيف يمكنك كتابة هذا على شكل ضرب؟ وهل يمكن كتابة العدد 4 كقوة للأساس 2؟

📝 الطريقة

المجموع يساوي
\[C = 4 \times 2^6\]
الآن، اكتب 4 كقوة للأساس 2 لتتمكن من استخدام قوانين القوى.

✅ الحل الكامل

\[C = 4 \times 2^6 = 2^2 \times 2^6 = 2^{2+6} = 2^8\]
التعبير D
تمرين 4

اكتب على شكل قوة لعدد صحيح طبيعي:

\[D = 3^5 + 3^5 + 3^5\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الحد \(3^5\) مكرر 3 مرات. كيف يعبر عن ذلك باستخدام عملية الضرب؟

📝 الطريقة

المجموع يساوي
\[D = 3 \times 3^5\]
الآن، تذكر أن \(3\) هي نفسها \(3^1\) وطبّق قاعدة ضرب القوى.

✅ الحل الكامل

\[D = 3 \times 3^5 = 3^1 \times 3^5 = 3^{1+5} = 3^6\]
التعبير E
تمرين 5

اكتب على شكل قوة لعدد صحيح طبيعي:

\[E = 5^4 + 5^4 + 5^4 + 5^4 + 5^4\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الحد \(5^4\) مكرر 5 مرات. كيف يمكنك كتابة هذا باستخدام الضرب؟

📝 الطريقة

المجموع يساوي
\[E = 5 \times 5^4\]
استخدم الآن قاعدة ضرب القوى ذات دليل القوة المشترك.

✅ الحل الكامل

\[E = 5 \times 5^4 = 5^1 \times 5^4 = 5^{1+4} = 5^5\]
التعبير F
تمرين 6

اكتب على شكل قوة لعدد صحيح طبيعي:

\[F = 4^6 + 4^6 + 4^6 + 4^6\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الحد \(4^6\) مكرر 4 مرات. هذا يعني أن المجموع يساوي \(4 \times 4^6\).

📝 الطريقة

لدينا
\[F = 4 \times 4^6\]
تذكر أن 4 هي نفسها \(4^1\). طبّق الآن قاعدة ضرب القوى.

✅ الحل الكامل

\[F = 4 \times 4^6 = 4^1 \times 4^6 = 4^{1+6} = 4^7\]