دليل حل تمارين قوى الأعداد الصحيحة

قواعد القوى لدليل القوة:

قواعد قواعد القوى:

\[a^0 = 1\] (لأي عدد \(a \neq 0\))

\[a^1 = a\]

\[1^n = 1\] (لأي عدد \(n\))

\[0^n = 0\] (لأي عدد \(n > 0\))

قواعد العمليات:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

\[a^m \div a^n = a^{m-n}\]

استراتيجيات حل التمارين:

النوع الأول: حساب التعبيرات

مثال: \(a = (15^2 + 26^0) - (5^2 + 26^0)\)

الطريقة:

1. احسب كل قوة على حدة: \(15^2 = 225\)، \(26^0 = 1\)، \(5^2 = 25\)

2. احسب القيم داخل الأقواس: \((225 + 1) - (25 + 1) = 226 - 26\)

3. الناتج النهائي: \(a = 200\)

النوع الثاني: إكمال الفراغات

مثال: \((8^{\cdots})^4 = 2^{36}\)

الطريقة:

1. اكتب دليل القوة بنفس القاعدة: \(8 = 2^3\)

2. استبدل: \((2^3)^x \times 4 = 2^{36}\)

3. طبق قاعدة القوة للقوة: \(2^{12x} = 2^{36}\)

4. قارن دليل القوة: \(12x = 36 \Rightarrow x = 3\)

النوع الثالث: التبسيط إلى قوة واحدة

مثال: \(d = 2^7 \times 4^3 \times 8^5\)

الطريقة:

1. اكتب كل شيء بنفس دليل القوة: \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)

2. استبدل: \(d = 2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5\)

3. بسط: \(d = 2^7 \times 2^6 \times 2^{15}\)

4. اجمع دليل القوة: \(d = 2^{7+6+15} = 2^{28}\)

حالات خاصة مهمة:

انتبه لدليل القوة الخاصة

دليل القوة الصفري: أي عدد دليل القوة صفر = 1

\(2019^0 = 1\)، \(26^0 = 1\)، \(5^0 = 1\)

دليل القوة الواحد: أي عدد دليل القوة واحد = نفس العدد

\(1^{2019} = 1\)، \(x^1 = x\)

الصفر مرفوع لقوة: \(0^n = 0\) (عندما \(n > 0\))

خطأ شائع في التبسيط

خطأ: \(4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5 = (4 \times 3 + 5 \times 4)^5\)

صحيح: \(4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5 = 4^5(3^3 + 5)\)

تذكر: أخرج العامل المشترك أولاً!

تقنيات حل متقدمة:

التحويل إلى أساس مشترك:

للقوى الزوجية: \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)، \(16 = 2^4\)

للقوى الثلاثية: \(9 = 3^2\)، \(27 = 3^3\)، \(81 = 3^4\)

للقوى العشرية: \(10 = 10^1\)، \(100 = 10^2\)، \(1000 = 10^3\)

العوامل المشتركة:

في التعبير \(a^n \times b + a^n \times c\)

أخرج \(a^n\) كعامل مشترك: \(a^n(b + c)\)

خطوات منهجية للحل:

للحسابات:

1. احسب دليل القوة الخاصة أولاً (\(a^0\)، \(1^n\)، \(0^n\))

2. احسب دليل القوة الصغيرة (\(2^2\)، \(3^2\)، إلخ)

3. نفذ العمليات حسب الأولوية

4. بسط النتيجة النهائية

للتبسيط:

1. ابحث عن دليل القوة المشتركة

2. حول إلى نفس دليل القوة

3. طبق قواعد دليل القوة

4. اكتب النتيجة بأبسط شكل

جدول دليل القوة الشائعة:

\(2^1 = 2\)، \(2^2 = 4\)، \(2^3 = 8\)، \(2^4 = 16\)، \(2^5 = 32\)

\(3^1 = 3\)، \(3^2 = 9\)، \(3^3 = 27\)، \(3^4 = 81\)

\(5^1 = 5\)، \(5^2 = 25\)، \(5^3 = 125\)

\(10^1 = 10\)، \(10^2 = 100\)، \(10^3 = 1000\)، \(10^4 = 10000\)

نصائح للنجاح:

تذكر دائماً:

• احسب دليل القوة الخاصة أولاً (صفر، واحد)

• ابحث عن العوامل المشتركة قبل التبسيط

• تحقق من إجابتك بالتعويض

• اكتب كل خطوة بوضوح

تمارين القوى والأعداد الطبيعية
الرياضيات - المرحلة الإعدادية
المجموعة الأولى
\[a = 5^4 \times 2^3\]
\[a = 5^4 \times 2^3\]
\[a = 625 \times 8\]
\[a = 5000\]
الناتج النهائي: \[a = 5000\]
\[b = 5^3 \times 2^5\]
\[b = 5^3 \times 2^5\]
\[b = 125 \times 32\]
\[b = 4000\]
الناتج النهائي: \[b = 4000\]
\[c = 5^3 + 2^4 + 1\]
\[c = 5^3 + 2^4 + 1\]
\[c = 125 + 16 + 1\]
\[c = 142\]
الناتج النهائي: \[c = 142\]
\[d = 5^4 \times (11 - 3^2)\]
\[d = 5^4 \times (11 - 3^2)\]
\[d = 625 \times (11 - 9)\]
\[d = 625 \times 2\]
\[d = 1250\]
الناتج النهائي: \[d = 1250\]
المجموعة الثانية
\[e = 7^3 - 2^3 \times (2^3 \times 3^2 - 7^2)\]
\[e = 7^3 - 2^3 \times (2^3 \times 3^2 - 7^2)\]
\[e = 343 - 8 \times (8 \times 9 - 49)\]
\[e = 343 - 8 \times (72 - 49)\]
\[e = 343 - 8 \times 23\]
\[e = 343 - 184\]
\[e = 159\]
الناتج النهائي: \[e = 159\]
\[f = \left(15^2 + 4^{11}\right)^0 + 4^3 + 5^3\]
\[f = \left(15^2 + 4^{11}\right)^0 + 4^3 + 5^3\]
\[f = 1 + 64 + 125\] (أي عدد مرفوع للقوة 0 يساوي 1)
\[f = 190\]
الناتج النهائي: \[f = 190\]
\[g = 8^2 + 9^2 + 1^{11}\]
\[g = 8^2 + 9^2 + 1^{11}\]
\[g = 64 + 81 + 1\]
\[g = 146\]
الناتج النهائي: \[g = 146\]
\[h = 11 \times 3^2 - 4^3 + 2^5\]
\[h = 11 \times 3^2 - 4^3 + 2^5\]
\[h = 11 \times 9 - 64 + 32\]
\[h = 99 - 64 + 32\]
\[h = 67\]
الناتج النهائي: \[h = 67\]
المجموعة الثالثة
\[i = 125 - 5^2 \times (2^3 + 3^2 - 4^2)\]
\[i = 125 - 5^2 \times (2^3 + 3^2 - 4^2)\]
\[i = 125 - 25 \times (8 + 9 - 16)\]
\[i = 125 - 25 \times 1\]
\[i = 125 - 25\]
\[i = 100\]
الناتج النهائي: \[i = 100\]
\[j = 13^2 - 5^3 \times (3^2 - 2^3)\]
\[j = 13^2 - 5^3 \times (3^2 - 2^3)\]
\[j = 169 - 125 \times (9 - 8)\]
\[j = 169 - 125 \times 1\]
\[j = 169 - 125\]
\[j = 44\]
الناتج النهائي: \[j = 44\]
\[k = \left(3^2 + 1\right) \times 5^4 - 5^3 \times 3\]
\[k = \left(3^2 + 1\right) \times 5^4 - 5^3 \times 3\]
\[k = (9 + 1) \times 625 - 125 \times 3\]
\[k = 10 \times 625 - 375\]
\[k = 6250 - 375\]
\[k = 5875\]
الناتج النهائي: \[k = 5875\]
\[l = \left(8^2 + 6^2\right) \times \left(7^2 + 1\right)\]
\[l = \left(8^2 + 6^2\right) \times \left(7^2 + 1\right)\]
\[l = (64 + 36) \times (49 + 1)\]
\[l = 100 \times 50\]
\[l = 5000\]
الناتج النهائي: \[l = 5000\]