دليل حل تمارين قوى الأعداد الصحيحة

قواعد القوى لدليل القوة:

قواعد قواعد القوى:

\[a^0 = 1\] (لأي عدد \(a \neq 0\))

\[a^1 = a\]

\[1^n = 1\] (لأي عدد \(n\))

\[0^n = 0\] (لأي عدد \(n > 0\))

قواعد العمليات:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

\[a^m \div a^n = a^{m-n}\]

استراتيجيات حل التمارين:

النوع الأول: حساب التعبيرات

مثال: \(a = (15^2 + 26^0) - (5^2 + 26^0)\)

الطريقة:

1. احسب كل قوة على حدة: \(15^2 = 225\)، \(26^0 = 1\)، \(5^2 = 25\)

2. احسب القيم داخل الأقواس: \((225 + 1) - (25 + 1) = 226 - 26\)

3. الناتج النهائي: \(a = 200\)

النوع الثاني: إكمال الفراغات

مثال: \((8^{\cdots})^4 = 2^{36}\)

الطريقة:

1. اكتب دليل القوة بنفس القاعدة: \(8 = 2^3\)

2. استبدل: \((2^3)^x \times 4 = 2^{36}\)

3. طبق قاعدة القوة للقوة: \(2^{12x} = 2^{36}\)

4. قارن دليل القوة: \(12x = 36 \Rightarrow x = 3\)

النوع الثالث: التبسيط إلى قوة واحدة

مثال: \(d = 2^7 \times 4^3 \times 8^5\)

الطريقة:

1. اكتب كل شيء بنفس دليل القوة: \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)

2. استبدل: \(d = 2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5\)

3. بسط: \(d = 2^7 \times 2^6 \times 2^{15}\)

4. اجمع دليل القوة: \(d = 2^{7+6+15} = 2^{28}\)

حالات خاصة مهمة:

انتبه لدليل القوة الخاصة

دليل القوة الصفري: أي عدد دليل القوة صفر = 1

\(2019^0 = 1\)، \(26^0 = 1\)، \(5^0 = 1\)

دليل القوة الواحد: أي عدد دليل القوة واحد = نفس العدد

\(1^{2019} = 1\)، \(x^1 = x\)

الصفر مرفوع لقوة: \(0^n = 0\) (عندما \(n > 0\))

خطأ شائع في التبسيط

خطأ: \(4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5 = (4 \times 3 + 5 \times 4)^5\)

صحيح: \(4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5 = 4^5(3^3 + 5)\)

تذكر: أخرج العامل المشترك أولاً!

تقنيات حل متقدمة:

التحويل إلى أساس مشترك:

للقوى الزوجية: \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)، \(16 = 2^4\)

للقوى الثلاثية: \(9 = 3^2\)، \(27 = 3^3\)، \(81 = 3^4\)

للقوى العشرية: \(10 = 10^1\)، \(100 = 10^2\)، \(1000 = 10^3\)

العوامل المشتركة:

في التعبير \(a^n \times b + a^n \times c\)

أخرج \(a^n\) كعامل مشترك: \(a^n(b + c)\)

خطوات منهجية للحل:

للحسابات:

1. احسب دليل القوة الخاصة أولاً (\(a^0\)، \(1^n\)، \(0^n\))

2. احسب دليل القوة الصغيرة (\(2^2\)، \(3^2\)، إلخ)

3. نفذ العمليات حسب الأولوية

4. بسط النتيجة النهائية

للتبسيط:

1. ابحث عن دليل القوة المشتركة

2. حول إلى نفس دليل القوة

3. طبق قواعد دليل القوة

4. اكتب النتيجة بأبسط شكل

جدول دليل القوة الشائعة:

\(2^1 = 2\)، \(2^2 = 4\)، \(2^3 = 8\)، \(2^4 = 16\)، \(2^5 = 32\)

\(3^1 = 3\)، \(3^2 = 9\)، \(3^3 = 27\)، \(3^4 = 81\)

\(5^1 = 5\)، \(5^2 = 25\)، \(5^3 = 125\)

\(10^1 = 10\)، \(10^2 = 100\)، \(10^3 = 1000\)، \(10^4 = 10000\)

نصائح للنجاح:

تذكر دائماً:

• احسب دليل القوة الخاصة أولاً (صفر، واحد)

• ابحث عن العوامل المشتركة قبل التبسيط

• تحقق من إجابتك بالتعويض

• اكتب كل خطوة بوضوح

تمرين رقم 2

① احسب :

\[a = (15^2 + 26^0) - (5^2 + 26^0)\]

\[b = 2019^0 + 1^{2019} + 0^{2019}\]

\[c = 6 + 2^2 \times (3^4 - 80)^{43}\]

\[a = (225 + 1) - (25 + 1)\] \[= 226 - 26\] \[= 200\] \[b = 1 + 1 + 0\] \[= 2\] \[c = 6 + 4 \times 1^{43}\] \[= 6 + 4 \times 1\] \[= 6 + 4\] \[= 10\]

② أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة :

\[(8^{\cdots})^4 = 2^{36}\]

\[1000^2 \times 10^{\cdots} = 10^{10}\]

\[8 = 2^3\] \[(2^3)^x)^4 = 2^{36}\] \[2^{12x} = 2^{36}\] \[12x = 36\] \[x = 3\] \[1000^2 = 10^6\] \[10^6 \times 10^x = 10^{10}\] \[10^{6+x} = 10^{10}\] \[x = 4\]

③ اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد :

\[d = 2^7 \times 4^3 \times 8^5\]

\[e = 4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5\]

\[f = 5^6 \times (2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4)\]

\[d = 2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5\] \[= 2^7 \times 2^6 \times 2^{15}\] \[= 2^{28}\] \[e = 4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5\] \[= 4^5 (3^3 + 5)\] \[f = 5^6 \times 4 \times 2^4\] \[= 5^6 \times 2^2 \times 2^4\] \[= 5^6 \times 2^6\]

تمرين رقم 3

① احسب :

\[a = 3^2 \times 7 - (1^{13} + 5^0)\]

\[b = (2^3 + 5^{13}) - (2^2 + 5^{13})\]

\[c = 2^2 + 3^2 \times 4 - 2^3\]

\[a = 9 \times 7 - (1 + 1)\] \[= 63 - 2\] \[= 61\] \[b = (8 + 5^{13}) - (4 + 5^{13})\] \[= (8 - 4)\] \[= 4\] \[c = 4 + 9 \times 4 - 8\] \[= 4 + 36 - 8\] \[= 32\]

② أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة :

\[(9^{\cdots})^3 = 3^{36}\]

\[100000 \times 10^{\cdots} = 10^5\]

\[9 = 3^2\] \[(3^2)^x)^3 = 3^{36}\] \[3^{6x} = 3^{36}\] \[x = 6\] \[100000 = 10^5\] \[10^5 \times 10^x = 10^5\] \[x = 0\]

③ اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد :

\[d = 3^5 \times x^{15} \times 27^2\]

\[e = 2^{13} \times 3^6 \times 5^3 \times 3^{13}\]

\[f = 5^{2019} \times 3^3 - 5^{2019} \times 2\]

\[d = 3^5 \times x^{15} \times (3^3)^2\] \[= 3^5 \times x^{15} \times 3^6\] \[= 3^{11} \times x^{15}\] \[e = 2^{13} \times 3^{6 + 13} \times 5^3\] \[= 2^{13} \times 3^{19} \times 5^3\] \[f = 5^{2019} \times (3^3 - 2)\] \[f = 5^{2019} \times (27 - 2)\] \[f = 5^{2019} \times (25)\] \[ = 5^{2019}\times 5^2\] \[ = 5^{2019+2}\] \[ = 5^{2021}\]