كيف أبين؟ — 50 سؤال وجواب في القوى والجذور
تعلم كيفية إثبات خصائص قوى الأعداد الموجبة والجذور مع أمثلة تطبيقية
🧠
مرحباً بك في دليل "كيف أبين؟"
اختر سؤالاً من القائمة على اليمين لعرض البرهان التفصيلي.
يحتوي هذا الدليل على 50 سؤالاً وجواباً موزعة على 4 أقسام:
دليل القوة والتعاريف (15)، الخصائص والعمليات (15)، الجذور والأسس الكسرية (10)، التطبيقات والمسائل (10).
كيف أبين أن \(a^1 = a\)؟
البرهان: \(a^1 = a\)
بالتعريف: \(a^1\) يعني ضرب a في نفسه مرة واحدة
إذن \(a^1 = a\) ✓
مثال: \(2^3 = 8 > 4 = 2^2\) ✓
إذن \(a^1 = a\) ✓
مثال: \(2^3 = 8 > 4 = 2^2\) ✓
كيف أبين أن \(a^0 = 1\) عندما \(a \neq 0\)؟
البرهان: \(a^0 = 1\) عندما \(a \neq 0\)
من خاصية القسمة: \(\frac{a^n}{a^n} = 1\)
وأيضاً: \(\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0\)
إذن \(a^0 = 1\) ✓
أمثلة: \(7^0 = 1\)، \(2^0 = 1\)، \(100^0 = 1\)
وأيضاً: \(\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0\)
إذن \(a^0 = 1\) ✓
أمثلة: \(7^0 = 1\)، \(2^0 = 1\)، \(100^0 = 1\)
كيف أبين أن \(1^n = 1\)؟
البرهان: \(1^n = 1\) لأي دليل القوة صحيح موجب n
\(1^n = \underbrace{1 \times 1 \times \ldots \times 1}_{n \text{ مرة}} = 1\)
أمثلة: \(1^{100} = 1\)، \(1^5 = 1\)، \(1^{1000} = 1\)
أمثلة: \(1^{100} = 1\)، \(1^5 = 1\)، \(1^{1000} = 1\)
كيف أبين أن \(0^n = 0\) عندما \(n > 0\)؟
البرهان: \(0^n = 0\) عندما \(n > 0\)
\(0^n = \underbrace{0 \times 0 \times \ldots \times 0}_{n \text{ مرة}} = 0\)
ملاحظة: \(0^0\) غير معرف رياضياً
أمثلة: \(0^5 = 0\)، \(0^{100} = 0\)
ملاحظة: \(0^0\) غير معرف رياضياً
أمثلة: \(0^5 = 0\)، \(0^{100} = 0\)
كيف أبين أن \((ab)^n = a^n b^n\)؟
البرهان: \((ab)^n = a^n b^n\)
\((ab)^n = \underbrace{(ab) \times (ab) \times \ldots \times (ab)}_{n \text{ مرة}}\)
\(= \underbrace{(a \times a \times \ldots \times a)}_{n} \times \underbrace{(b \times b \times \ldots \times b)}_{n}\)
\(= a^n \times b^n\) ✓
مثال: \((2 \times 3)^4 = 6^4 = 1296\)
\(2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296\) ✓
\(= \underbrace{(a \times a \times \ldots \times a)}_{n} \times \underbrace{(b \times b \times \ldots \times b)}_{n}\)
\(= a^n \times b^n\) ✓
مثال: \((2 \times 3)^4 = 6^4 = 1296\)
\(2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296\) ✓
كيف أبين أن \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)؟
البرهان: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\(a^m = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{m \text{ مرة}}\)
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ مرة}}\)
\(a^m \times a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{m+n \text{ مرة}} = a^{m+n}\) ✓
مثال: \(2^3 \times 2^5 = 8 \times 32 = 256 = 2^8 = 2^{3+5}\) ✓
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ مرة}}\)
\(a^m \times a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{m+n \text{ مرة}} = a^{m+n}\) ✓
مثال: \(2^3 \times 2^5 = 8 \times 32 = 256 = 2^8 = 2^{3+5}\) ✓
كيف أبين أن \((a^m)^n = a^{mn}\)؟
البرهان: \((a^m)^n = a^{mn}\)
\((a^m)^n\) يعني ضرب \(a^m\) في نفسها n مرة
\(= \underbrace{a^m \times a^m \times \ldots \times a^m}_{n \text{ مرة}}\)
باستخدام خاصية الضرب: \(= a^{m+m+\ldots+m} = a^{mn}\) ✓
مثال: \((3^2)^4 = 9^4 = 6561\)
\(3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561\) ✓
\(= \underbrace{a^m \times a^m \times \ldots \times a^m}_{n \text{ مرة}}\)
باستخدام خاصية الضرب: \(= a^{m+m+\ldots+m} = a^{mn}\) ✓
مثال: \((3^2)^4 = 9^4 = 6561\)
\(3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561\) ✓
كيف أبين أن \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)؟
البرهان: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) عندما \(a \neq 0\) و \(m > n\)
\(\frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{m}}{\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n}}\)
نختصر n من العوامل: \(= \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{m-n} = a^{m-n}\) ✓
مثال: \(\frac{2^7}{2^3} = \frac{128}{8} = 16 = 2^4 = 2^{7-3}\) ✓
نختصر n من العوامل: \(= \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{m-n} = a^{m-n}\) ✓
مثال: \(\frac{2^7}{2^3} = \frac{128}{8} = 16 = 2^4 = 2^{7-3}\) ✓
كيف أبين أن \(a^2 \geq 0\)؟
البرهان: \(a^2 \geq 0\) لأي عدد حقيقي a
إذا كان \(a \geq 0\): \(a^2 = a \times a \geq 0\) ✓
إذا كان \(a < 0\): \(a^2 = a \times a = (\text{سالب}) \times (\text{سالب}) = \text{موجب} \geq 0\) ✓
النتيجة: \(a^2 \geq 0\) لأي عدد حقيقي a
أمثلة: \(5^2 = 25 > 0\)، \((0)^2 = 0\)
إذا كان \(a < 0\): \(a^2 = a \times a = (\text{سالب}) \times (\text{سالب}) = \text{موجب} \geq 0\) ✓
النتيجة: \(a^2 \geq 0\) لأي عدد حقيقي a
أمثلة: \(5^2 = 25 > 0\)، \((0)^2 = 0\)
كيف أبين أن \(a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0\)؟
البرهان: \(a^2 = 0\) إذا وفقط إذا \(a = 0\)
الاتجاه الأول: إذا \(a = 0\) فإن \(a^2 = 0^2 = 0\) ✓
الاتجاه الثاني: إذا \(a^2 = 0\)
نفترض \(a \neq 0\)، إذن إما \(a > 0\) أو \(a < 0\)
في الحالتين: \(a^2 > 0\) (تناقض مع \(a^2 = 0\))
إذن \(a = 0\) ✓
الاتجاه الثاني: إذا \(a^2 = 0\)
نفترض \(a \neq 0\)، إذن إما \(a > 0\) أو \(a < 0\)
في الحالتين: \(a^2 > 0\) (تناقض مع \(a^2 = 0\))
إذن \(a = 0\) ✓
كيف أبين أن \(a^{2n} \geq 0\)؟
البرهان: \(a^{2n}\) دائماً موجب أو صفر
\(a^{2n} = (a^2)^n\)
بما أن \(a^2 \geq 0\) دائماً
فإن \((a^2)^n \geq 0\) لأي n طبيعي ✓
أمثلة: \(3^4 = 81 > 0\)، \(2^6 = 64 > 0\)، \(0^4 = 0\)
بما أن \(a^2 \geq 0\) دائماً
فإن \((a^2)^n \geq 0\) لأي n طبيعي ✓
أمثلة: \(3^4 = 81 > 0\)، \(2^6 = 64 > 0\)، \(0^4 = 0\)
كيف أبين أن \(a^m = a^n \Rightarrow m = n\)؟
البرهان: \(a^m = a^n\) يعني \(m = n\) عندما \(a > 0\) و \(a \neq 1\)
نفترض \(m \neq n\)، ولنقل \(m > n\)
إذن \(a^m = a^n \times a^{m-n}\)
من \(a^m = a^n\) نحصل على: \(a^n \times a^{m-n} = a^n\)
بقسمة الطرفين على \(a^n\): \(a^{m-n} = 1\)
بما أن \(m-n > 0\) و \(a \neq 1\)، فإن \(a^{m-n} \neq 1\) (تناقض)
إذن \(m = n\) ✓
إذن \(a^m = a^n \times a^{m-n}\)
من \(a^m = a^n\) نحصل على: \(a^n \times a^{m-n} = a^n\)
بقسمة الطرفين على \(a^n\): \(a^{m-n} = 1\)
بما أن \(m-n > 0\) و \(a \neq 1\)، فإن \(a^{m-n} \neq 1\) (تناقض)
إذن \(m = n\) ✓
كيف أبين أن \(|a^n| = |a|^n\)؟
البرهان: \(|a^n| = |a|^n\) لأي عدد حقيقي a
إذا كان \(a \geq 0\): \(|a| = a\) و \(|a^n| = a^n = |a|^n\) ✓
إذا كان \(a < 0\) و n زوجي: \(a^n > 0\) إذن \(|a^n| = a^n\)
و \(|a|^n = (-a)^n = a^n\) (لأن n زوجي) ✓
إذا كان \(a < 0\) و n فردي: \(a^n < 0\) إذن \(|a^n| = -a^n\)
و \(|a|^n = (-a)^n = -a^n\) (لأن n فردي) ✓
إذا كان \(a < 0\) و n زوجي: \(a^n > 0\) إذن \(|a^n| = a^n\)
و \(|a|^n = (-a)^n = a^n\) (لأن n زوجي) ✓
إذا كان \(a < 0\) و n فردي: \(a^n < 0\) إذن \(|a^n| = -a^n\)
و \(|a|^n = (-a)^n = -a^n\) (لأن n فردي) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[n]{0} = 0\)؟
البرهان: \(\sqrt[n]{0} = 0\) لجميع \(n > 0\)
نريد إيجاد x بحيث \(x^n = 0\)
الحل الوحيد هو \(x = 0\) لأن:
إذا \(x \neq 0\)، فإن \(x^n \neq 0\) لأي \(n > 0\)
إذن \(\sqrt[n]{0} = 0\) ✓
التحقق: \(0^n = 0\) لجميع \(n > 0\) ✓
الحل الوحيد هو \(x = 0\) لأن:
إذا \(x \neq 0\)، فإن \(x^n \neq 0\) لأي \(n > 0\)
إذن \(\sqrt[n]{0} = 0\) ✓
التحقق: \(0^n = 0\) لجميع \(n > 0\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[n]{1} = 1\)؟
البرهان: \(\sqrt[n]{1} = 1\) لجميع \(n > 0\)
نريد إيجاد x بحيث \(x^n = 1\)
نجرب \(x = 1\): \(1^n = 1\) ✓
نثبت الوحدانية: إذا \(x^n = 1\) و \(x > 0\)
وإذا كان \(x \neq 1\)، فإما \(x > 1\) أو \(0 < x < 1\)
في الحالة الأولى: \(x^n > 1\)، في الثانية: \(x^n < 1\)
إذن \(x = 1\) هو الحل الوحيد الموجب ✓
نجرب \(x = 1\): \(1^n = 1\) ✓
نثبت الوحدانية: إذا \(x^n = 1\) و \(x > 0\)
وإذا كان \(x \neq 1\)، فإما \(x > 1\) أو \(0 < x < 1\)
في الحالة الأولى: \(x^n > 1\)، في الثانية: \(x^n < 1\)
إذن \(x = 1\) هو الحل الوحيد الموجب ✓
كيف أبين أن \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)؟
البرهان: \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\) عندما \(a \geq 0\)
\(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a^{1/2} \times a^{1/2} = a^{1/2 + 1/2} = a^1 = a\) ✓
أو بالتعريف: \(\sqrt{a}\) هو العدد الذي عندما يُربع يعطي a
إذن \((\sqrt{a})^2 = a\) بالتعريف ✓
أمثلة: \(\sqrt{9} \times \sqrt{9} = 3 \times 3 = 9\) ✓
أو بالتعريف: \(\sqrt{a}\) هو العدد الذي عندما يُربع يعطي a
إذن \((\sqrt{a})^2 = a\) بالتعريف ✓
أمثلة: \(\sqrt{9} \times \sqrt{9} = 3 \times 3 = 9\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)؟
البرهان: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) عندما \(a, b \geq 0\)
\(\sqrt{ab} = (ab)^{1/2} = a^{1/2} \times b^{1/2} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) ✓
مثال:
\(\sqrt{36} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6\) ✓
مثال:
\(\sqrt{36} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6\) ✓
كيف أبين أن \((\sqrt[n]{a})^n = a\)؟
البرهان: \(\underbrace{\sqrt[n]{a} \times \ldots \times \sqrt[n]{a}}_{n} = a\)
\(\underbrace{\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{a} \times \ldots \times \sqrt[n]{a}}_{n \text{ مرة}} = (a^{1/n})^n = a^{n/n} = a^1 = a\) ✓
مثال: \(\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{8} = 2 \times 2 \times 2 = 8\) ✓
مثال: \(\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{8} = 2 \times 2 \times 2 = 8\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}\)؟
البرهان: \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}\)
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n]{a^{1/m}} = (a^{1/m})^{1/n} = a^{(1/m) \times (1/n)} = a^{1/(mn)} = \sqrt[mn]{a}\) ✓
مثال: \(\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\)
التحقق: \(\sqrt[3]{64} = 4\) و \(\sqrt{4} = 2\) ✓
مثال: \(\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\)
التحقق: \(\sqrt[3]{64} = 4\) و \(\sqrt{4} = 2\) ✓
كيف أبين أن \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)؟
البرهان: \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)
\((\sqrt[n]{a})^m = (a^{1/n})^m = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) ✓
مثال: \((\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\)
\(\sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9\) ✓
مثال: \((\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\)
\(\sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[n]{a^n} = a\) عندما \(a \geq 0\)؟
البرهان: \(\sqrt[n]{a^n} = a\) عندما \(a \geq 0\)
\(\sqrt[n]{a^n} = (a^n)^{1/n} = a^{n/n} = a^1 = a\) ✓
أمثلة:
\(\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\) ✓
\(\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2\) ✓
أمثلة:
\(\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\) ✓
\(\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)؟
البرهان: \(\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) عندما \(a, b \geq 0\)
نربع الطرفين: \((\sqrt{a+b})^2 \leq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2\)
\(a + b \leq a + 2\sqrt{ab} + b\)
\(0 \leq 2\sqrt{ab}\) ✓ (صحيح لأن \(\sqrt{ab} \geq 0\))
مثال: \(\sqrt{5} \approx 2.24\) و \(\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3\)
\(2.24 \leq 3\) ✓
\(a + b \leq a + 2\sqrt{ab} + b\)
\(0 \leq 2\sqrt{ab}\) ✓ (صحيح لأن \(\sqrt{ab} \geq 0\))
مثال: \(\sqrt{5} \approx 2.24\) و \(\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3\)
\(2.24 \leq 3\) ✓
كيف أبين المتوسط الهندسي ≤ الحسابي؟
البرهان: \(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\) عندما \(a, b \geq 0\)
نربع الطرفين: \(ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2}{4}\)
\(4ab \leq a^2 + 2ab + b^2\)
\(2ab \leq a^2 + b^2\)
\(0 \leq a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) ✓
المساواة: تحدث عندما \(a = b\)
مثال: \(\sqrt{4 \times 9} = 6\) و \(\frac{4+9}{2} = 6.5\)، إذن \(6 \leq 6.5\) ✓
\(4ab \leq a^2 + 2ab + b^2\)
\(2ab \leq a^2 + b^2\)
\(0 \leq a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) ✓
المساواة: تحدث عندما \(a = b\)
مثال: \(\sqrt{4 \times 9} = 6\) و \(\frac{4+9}{2} = 6.5\)، إذن \(6 \leq 6.5\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[n]{a}\) دالة متزايدة؟
البرهان: \(\sqrt[n]{a}\) دالة متزايدة عندما \(a > 0\)
نريد إثبات: إذا \(0 < a < b\) فإن \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\)
نفترض \(\sqrt[n]{a} \geq \sqrt[n]{b}\)
برفع الطرفين للقوة n: \((\sqrt[n]{a})^n \geq (\sqrt[n]{b})^n\)
أي \(a \geq b\) (تناقض مع \(a < b\))
إذن \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\) ✓
نفترض \(\sqrt[n]{a} \geq \sqrt[n]{b}\)
برفع الطرفين للقوة n: \((\sqrt[n]{a})^n \geq (\sqrt[n]{b})^n\)
أي \(a \geq b\) (تناقض مع \(a < b\))
إذن \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\) ✓
كيف أبين أن \(a^r > a^s\) عندما \(a > 1\)؟
البرهان: \(a^r > a^s\) عندما \(a > 1\) و \(r > s > 0\)
بما أن \(r > s\)، فإن \(r - s > 0\)
\(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\)
بما أن \(a > 1\) و \(r - s > 0\)، فإن \(a^{r-s} > 1\)
إذن \(\frac{a^r}{a^s} > 1\)، أي \(a^r > a^s\) ✓
مثال: \(2^5 = 32 > 8 = 2^3\) ✓
\(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\)
بما أن \(a > 1\) و \(r - s > 0\)، فإن \(a^{r-s} > 1\)
إذن \(\frac{a^r}{a^s} > 1\)، أي \(a^r > a^s\) ✓
مثال: \(2^5 = 32 > 8 = 2^3\) ✓
كيف أبين أن مساحة المربع = \(s^2\)؟
البرهان: مساحة المربع = \(s^2\) حيث s طول الضلع
البرهان الهندسي:
المربع يحتوي على \(s \times s\) مربع وحدة
كل مربع وحدة مساحته = 1
إذن المساحة الكلية = \(s \times s = s^2\) ✓
مثال: مربع طول ضلعه 5 سم، مساحته = \(5^2 = 25\) سم²
المربع يحتوي على \(s \times s\) مربع وحدة
كل مربع وحدة مساحته = 1
إذن المساحة الكلية = \(s \times s = s^2\) ✓
مثال: مربع طول ضلعه 5 سم، مساحته = \(5^2 = 25\) سم²
كيف أبين أن حجم المكعب = \(s^3\)؟
البرهان: حجم المكعب = \(s^3\) حيث s طول الحرف
البرهان الهندسي:
المكعب يحتوي على \(s \times s \times s\) مكعب وحدة
كل مكعب وحدة حجمه = 1
إذن الحجم الكلي = \(s \times s \times s = s^3\) ✓
مثال: مكعب طول حرفه 3 سم، حجمه = \(3^3 = 27\) سم³
المكعب يحتوي على \(s \times s \times s\) مكعب وحدة
كل مكعب وحدة حجمه = 1
إذن الحجم الكلي = \(s \times s \times s = s^3\) ✓
مثال: مكعب طول حرفه 3 سم، حجمه = \(3^3 = 27\) سم³
كيف أبين أن \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\)؟
البرهان: \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) عندما \(n > 0\) و \(a > 0\)
نريد إثبات أن \((a^{m/n})^n = a^m\)
\((a^{m/n})^n = a^{(m/n) \times n} = a^m\) ✓
وبالتعريف: \((\sqrt[n]{a^m})^n = a^m\) ✓
إذن \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) ✓
مثال: \(8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)
أو: \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\) ✓
\((a^{m/n})^n = a^{(m/n) \times n} = a^m\) ✓
وبالتعريف: \((\sqrt[n]{a^m})^n = a^m\) ✓
إذن \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) ✓
مثال: \(8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)
أو: \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\) ✓
كيف أبين أن \((ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}\)؟
البرهان: \((ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}\) عندما \(a, b > 0\)
لنتحقق أن \(((ab)^{m/n})^n = (a^{m/n} \times b^{m/n})^n\):
الطرف الأيسر: \(((ab)^{m/n})^n = (ab)^m = a^m b^m\)
الطرف الأيمن: \((a^{m/n} \times b^{m/n})^n = (a^{m/n})^n \times (b^{m/n})^n = a^m \times b^m\)
إذن \((ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}\) ✓
الطرف الأيسر: \(((ab)^{m/n})^n = (ab)^m = a^m b^m\)
الطرف الأيمن: \((a^{m/n} \times b^{m/n})^n = (a^{m/n})^n \times (b^{m/n})^n = a^m \times b^m\)
إذن \((ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[n]{a^{n+1}} = a \cdot \sqrt[n]{a}\)؟
البرهان: \(\sqrt[n]{a^{n+1}} = a \cdot \sqrt[n]{a}\) عندما \(a \geq 0\)
\(\sqrt[n]{a^{n+1}} = a^{(n+1)/n} = a^{n/n + 1/n} = a^{1 + 1/n} = a^1 \cdot a^{1/n} = a \cdot \sqrt[n]{a}\) ✓
مثال:
\(\sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2^{4/3}\) ✓
مثال:
\(\sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2^{4/3}\) ✓
كيف أبين أن \(\sqrt{2}\) غير نسبي؟
البرهان: \(\sqrt{2}\) عدد غير نسبي
البرهان بالتناقض:
نفترض أن \(\sqrt{2}\) نسبي، أي \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) حيث \(p, q\) صحيحان و \(\gcd(p,q) = 1\)
\(2 = \frac{p^2}{q^2}\)، إذن \(2q^2 = p^2\)
إذن \(p^2\) زوجي، وبالتالي p زوجي
نكتب \(p = 2k\)، إذن \(2q^2 = 4k^2\)
\(q^2 = 2k^2\)، إذن \(q^2\) زوجي، وبالتالي q زوجي
لكن هذا يعني أن p و q كلاهما زوجي (تناقض مع \(\gcd(p,q) = 1\))
إذن \(\sqrt{2}\) غير نسبي ✓
نفترض أن \(\sqrt{2}\) نسبي، أي \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) حيث \(p, q\) صحيحان و \(\gcd(p,q) = 1\)
\(2 = \frac{p^2}{q^2}\)، إذن \(2q^2 = p^2\)
إذن \(p^2\) زوجي، وبالتالي p زوجي
نكتب \(p = 2k\)، إذن \(2q^2 = 4k^2\)
\(q^2 = 2k^2\)، إذن \(q^2\) زوجي، وبالتالي q زوجي
لكن هذا يعني أن p و q كلاهما زوجي (تناقض مع \(\gcd(p,q) = 1\))
إذن \(\sqrt{2}\) غير نسبي ✓
كيف أبين أن \(\sqrt{p}\) غير نسبي للعدد الأولي p؟
البرهان: \(\sqrt{p}\) غير نسبي لأي عدد أولي p
البرهان بالتناقض:
نفترض \(\sqrt{p} = \frac{a}{b}\) حيث \(\gcd(a,b) = 1\)
\(p = \frac{a^2}{b^2}\)، إذن \(pb^2 = a^2\)
إذن \(p | a^2\)، وبما أن p أولي فإن \(p | a\)
نكتب \(a = pk\)، إذن \(pb^2 = p^2k^2\)
\(b^2 = pk^2\)، إذن \(p | b^2\)، وبالتالي \(p | b\)
لكن هذا يعني \(p | \gcd(a,b)\) (تناقض مع \(\gcd(a,b) = 1\))
إذن \(\sqrt{p}\) غير نسبي ✓
نفترض \(\sqrt{p} = \frac{a}{b}\) حيث \(\gcd(a,b) = 1\)
\(p = \frac{a^2}{b^2}\)، إذن \(pb^2 = a^2\)
إذن \(p | a^2\)، وبما أن p أولي فإن \(p | a\)
نكتب \(a = pk\)، إذن \(pb^2 = p^2k^2\)
\(b^2 = pk^2\)، إذن \(p | b^2\)، وبالتالي \(p | b\)
لكن هذا يعني \(p | \gcd(a,b)\) (تناقض مع \(\gcd(a,b) = 1\))
إذن \(\sqrt{p}\) غير نسبي ✓
كيف أبين أن \(\sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\)؟
البرهان: \(\sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\) للأعداد الموجبة
\(\sqrt[mn]{a} = a^{1/(mn)}\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{1/n}} = (a^{1/n})^{1/m} = a^{(1/n) \times (1/m)} = a^{1/(mn)}\) ✓
مثال:
\(\sqrt[6]{64} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2]{4} = 2\) ✓
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{1/n}} = (a^{1/n})^{1/m} = a^{(1/n) \times (1/m)} = a^{1/(mn)}\) ✓
مثال:
\(\sqrt[6]{64} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2]{4} = 2\) ✓
كيف أبين أن \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)؟
البرهان: \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) عندما \(b > 0\)
\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) ✓
مثال:
\(\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2\)
مثال:
\(\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2\)
كيف أبين أن \((\sqrt[n]{a})^n = a\)؟
البرهان: \((\sqrt[n]{a})^n = a\) لجميع \(a \geq 0\)
\((\sqrt[n]{a})^n = (a^{1/n})^n = a^{(1/n) \times n} = a^1 = a\) ✓
هذا صحيح لجميع \(a \geq 0\) لأن \(\sqrt[n]{a}\) معرف ومعين بوحدانية لـ \(a \geq 0\)
أمثلة:
\((\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9\) ✓
\((\sqrt[5]{32})^5 = 2^5 = 32\) ✓
هذا صحيح لجميع \(a \geq 0\) لأن \(\sqrt[n]{a}\) معرف ومعين بوحدانية لـ \(a \geq 0\)
أمثلة:
\((\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9\) ✓
\((\sqrt[5]{32})^5 = 2^5 = 32\) ✓
كيف أبين أن \(a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{(mq+np)/nq}\)؟
البرهان: \(a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{(mq + np)/nq}\) عندما \(a > 0\)
\(a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{m/n + p/q}\)
\(= a^{\frac{mq}{nq} + \frac{np}{nq}} = a^{\frac{mq + np}{nq}}\) ✓
مثال:
\(8^{1/3} \times 8^{1/2} = 8^{1/3 + 1/2} = 8^{2/6 + 3/6} = 8^{5/6}\)
\(= a^{\frac{mq}{nq} + \frac{np}{nq}} = a^{\frac{mq + np}{nq}}\) ✓
مثال:
\(8^{1/3} \times 8^{1/2} = 8^{1/3 + 1/2} = 8^{2/6 + 3/6} = 8^{5/6}\)
كيف أبين أن \((a^{m/n})^{p/q} = a^{mp/nq}\)؟
البرهان: \((a^{m/n})^{p/q} = a^{mp/nq}\) عندما \(a > 0\)
\((a^{m/n})^{p/q} = a^{(m/n) \times (p/q)} = a^{mp/nq}\) ✓
مثال:
\((16^{1/2})^{3/4} = 16^{3/8} = (2^4)^{3/8} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}\)
مثال:
\((16^{1/2})^{3/4} = 16^{3/8} = (2^4)^{3/8} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}\)
كيف أبين أن \(a^{1/n} > 0\) عندما \(a > 0\)؟
البرهان: \(a^{1/n}\) موجب عندما \(a > 0\)
بما أن \(a > 0\) ونريد إيجاد \(x = a^{1/n}\) بحيث \(x^n = a\)
إذا كان \(x < 0\)، فإن \(x^n\) يعتمد على زوجية n
لكن عند n زوجي: \(x^n > 0\)، وعند n فردي: \(x^n < 0\)
عندما نأخذ الجذر الموجب، نحصل على \(x > 0\)
إذن \(a^{1/n} > 0\) ✓
إذا كان \(x < 0\)، فإن \(x^n\) يعتمد على زوجية n
لكن عند n زوجي: \(x^n > 0\)، وعند n فردي: \(x^n < 0\)
عندما نأخذ الجذر الموجب، نحصل على \(x > 0\)
إذن \(a^{1/n} > 0\) ✓
كيف أبين وحدانية \(a^{1/n}\)؟
البرهان: \(a^{1/n}\) وحيد عندما \(a \geq 0\)
نفترض وجود \(x, y \geq 0\) بحيث \(x^n = y^n = a\)
إذن \(x^n - y^n = 0\)
بما أن \(x, y \geq 0\)، والدالة \(f(t) = t^n\) متزايدة للأعداد الموجبة
إذن \(x = y\) ✓
لذلك \(a^{1/n}\) وحيد
إذن \(x^n - y^n = 0\)
بما أن \(x, y \geq 0\)، والدالة \(f(t) = t^n\) متزايدة للأعداد الموجبة
إذن \(x = y\) ✓
لذلك \(a^{1/n}\) وحيد
كيف أبين أن \(\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{2ab}\)؟
البرهان: \(\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{2ab}\) عندما \(a, b \geq 0\)
نريد إثبات أن \(a^2 + b^2 \geq 2ab\)
\(a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \geq 0\) ✓
إذن \(a^2 + b^2 \geq 2ab\)
بأخذ الجذر التربيعي: \(\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{2ab}\) ✓
المساواة: تحدث عندما \(a = b\)
\(a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \geq 0\) ✓
إذن \(a^2 + b^2 \geq 2ab\)
بأخذ الجذر التربيعي: \(\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{2ab}\) ✓
المساواة: تحدث عندما \(a = b\)
🎯 الفائدة المركبة والنمو الأسّي
تطبيق: الفائدة المركبة والنمو الأسّي
المعادلة:
المبلغ النهائي = \(P(1 + r)^n\)
حيث P المبلغ الأولي، r معدل الفائدة، n عدد السنوات
مثال: 1000 درهم بفائدة 10% لمدة 10 سنوات:
\(A = 1000(1.1)^{10} = 1000 \times 2.594 \approx 2594\) درهم
الملاحظة: الأس n يجعل النمو سريعاً جداً ✓
المبلغ النهائي = \(P(1 + r)^n\)
حيث P المبلغ الأولي، r معدل الفائدة، n عدد السنوات
مثال: 1000 درهم بفائدة 10% لمدة 10 سنوات:
\(A = 1000(1.1)^{10} = 1000 \times 2.594 \approx 2594\) درهم
الملاحظة: الأس n يجعل النمو سريعاً جداً ✓
🎯 نمو البكتيريا الأسّي
تطبيق: نمو البكتيريا الأسّي
النموذج:
إذا كانت البكتيريا تتضاعف كل فترة زمنية:
العدد بعد t فترة: \(N(t) = N_0 \times 2^t\)
مثال: بكتيريا تبدأ بـ 100 وتتضاعف كل ساعة
بعد 5 ساعات: \(N = 100 \times 2^5 = 3200\) بكتيريا ✓
إذا كانت البكتيريا تتضاعف كل فترة زمنية:
العدد بعد t فترة: \(N(t) = N_0 \times 2^t\)
مثال: بكتيريا تبدأ بـ 100 وتتضاعف كل ساعة
بعد 5 ساعات: \(N = 100 \times 2^5 = 3200\) بكتيريا ✓
🎯 نظرية فيثاغورس والأبعاد
تطبيق: نظرية فيثاغورس والأبعاد
النظرية: في مثلث قائم الزاوية:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
حيث c الوتر، a و b الضلعان الآخران
مثال: مثلث أضلاعه 3، 4، 5:
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) ✓
البُعد: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(a^2 + b^2 = c^2\)
حيث c الوتر، a و b الضلعان الآخران
مثال: مثلث أضلاعه 3، 4، 5:
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) ✓
البُعد: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
🎯 قانون التربيع العكسي في الفيزياء
تطبيق: قانون التربيع العكسي في الفيزياء
قانون الجاذبية:
\(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\)
القوة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة
المعنى: إذا تضاعفت المسافة، تصبح القوة ربع ما كانت عليه
مثال: \(F_2 = \frac{F_1}{4}\) عند \(r_2 = 2r_1\) ✓
\(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\)
القوة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة
المعنى: إذا تضاعفت المسافة، تصبح القوة ربع ما كانت عليه
مثال: \(F_2 = \frac{F_1}{4}\) عند \(r_2 = 2r_1\) ✓
🎯 المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد
تطبيق: حساب المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد
الصيغة:
المسافة بين نقطتين \((x_1, y_1, z_1)\) و \((x_2, y_2, z_2)\):
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
مثال: المسافة بين (0,0,0) و (3,4,12):
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\) ✓
المسافة بين نقطتين \((x_1, y_1, z_1)\) و \((x_2, y_2, z_2)\):
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
مثال: المسافة بين (0,0,0) و (3,4,12):
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\) ✓
🎯 حجم الكرة ومساحتها
تطبيق: حجم الكرة ومساحتها
حجم الكرة: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
مساحة السطح: \(A = 4\pi r^2\)
مثال: كرة نصف قطرها 3 سم:
\(V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi\) سم³
\(A = 4\pi (3)^2 = 36\pi\) سم² ✓
مساحة السطح: \(A = 4\pi r^2\)
مثال: كرة نصف قطرها 3 سم:
\(V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi\) سم³
\(A = 4\pi (3)^2 = 36\pi\) سم² ✓
🎯 سرعة الهروب من الأرض
تطبيق: سرعة الهروب من الأرض
الصيغة:
\(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)
حيث G ثابت الجاذبية، M كتلة الأرض، R نصف قطرها
القيمة: \(v_e \approx 11.2\) كم/ثانية
الملاحظة: الجذر التربيعي يأتي من قانون حفظ الطاقة ✓
\(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)
حيث G ثابت الجاذبية، M كتلة الأرض، R نصف قطرها
القيمة: \(v_e \approx 11.2\) كم/ثانية
الملاحظة: الجذر التربيعي يأتي من قانون حفظ الطاقة ✓
🎯 قانون مساحة الدائرة
تطبيق: قانون مساحة الدائرة
الصيغة: \(A = \pi r^2\)
البرهان البسيط:
يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات صغيرة وإعادة ترتيبها
لتشكيل شبه مستطيل بطول \(\pi r\) وعرض \(r\)
المساحة = \(\pi r \times r = \pi r^2\) ✓
مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم:
\(A = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.5\) سم²
البرهان البسيط:
يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات صغيرة وإعادة ترتيبها
لتشكيل شبه مستطيل بطول \(\pi r\) وعرض \(r\)
المساحة = \(\pi r \times r = \pi r^2\) ✓
مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم:
\(A = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.5\) سم²
🎯 الجذور في الهندسة المعمارية
تطبيق: الجذور في الهندسة المعمارية
النسبة الذهبية: \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\)
تستخدم في تصميم المباني والفن
الخاصية: \(\phi^2 = \phi + 1\)
التحقق:
\(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
\(\phi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) ✓
تستخدم في تصميم المباني والفن
الخاصية: \(\phi^2 = \phi + 1\)
التحقق:
\(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
\(\phi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) ✓
🎯 المتوسط التربيعي RMS
تطبيق: المتوسط التربيعي RMS
الصيغة: للأعداد \(x_1, x_2, \ldots, x_n\):
\(\text{RMS} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}\)
الاستخدام: في الكهرباء لحساب الجهد الفعال
مثال: للأعداد 3، 4، 5:
\(\text{RMS} = \sqrt{\frac{9 + 16 + 25}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.08\) ✓
\(\text{RMS} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}\)
الاستخدام: في الكهرباء لحساب الجهد الفعال
مثال: للأعداد 3، 4، 5:
\(\text{RMS} = \sqrt{\frac{9 + 16 + 25}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.08\) ✓