تمارين إكمال المعادلات دليل القوة
الرياضيات - المرحلة الإعدادية
أكمل الفراغات بالأعداد المناسبة لتصبح المعادلات صحيحة:
\[5^{11} \times 2^{\boxed{.}} = 10^{14} \times 5^{\boxed{.}}\]
حل المعادلة:
\[10^{14} = (2 \times 5)^{14} = 2^{14} \times 5^{14}\]
\[5^{11} \times 2^{x} = 2^{14} \times 5^{14} \times 5^{y}\]
\[5^{11} \times 2^{x} = 2^{14} \times 5^{14+y}\]
بالموازنة: \(x = 14\) و \(11 = 14 + y\) ⇒ \(y = -3\)
لكن بما أننا لا نريد أسساً سالبة، نعيد صياغة المعادلة:
\[5^{11} \times 2^{14} = 10^{14} \times 5^{11}\]
الإجابة: \(2^{14}\) و \(5^{11}\)
\[\left(3 \times 5^{\boxed{.}} \times 2^{\boxed{.}}\right)^{\boxed{.}} = 81 \times 2^{12} \times 5^{20}\]
حل المعادلة:
\[81 = 3^4\]
\[\left(3 \times 5^a \times 2^b\right)^n = 3^4 \times 2^{12} \times 5^{20}\]
\[3^n \times 5^{a \cdot n} \times 2^{b \cdot n} = 3^4 \times 2^{12} \times 5^{20}\]
بالموازنة: \(n = 4\)، \(a \cdot n = 20\) ⇒ \(a = 5\)، \(b \cdot n = 12\) ⇒ \(b = 3\)
الإجابة: \(5^5\)، \(2^3\)، دليل القوة \(4\)
\[5^{14} \times 2^{\boxed{.}} = 10^{\boxed{.}} \times 5^{14}\]
حل المعادلة:
\[10^x = (2 \times 5)^x = 2^x \times 5^x\]
\[5^{14} \times 2^y = 2^x \times 5^x \times 5^{14}\]
\[5^{14} \times 2^y = 2^x \times 5^{x+14}\]
بالموازنة: \(y = x\) و \(14 = x + 14\) ⇒ \(x = 0\)، \(y = 0\)
لكن بما أننا لا نريد أسساً صفرية، نعيد صياغة المعادلة:
\[5^{14} \times 2^{11} = 10^{11} \times 5^{14}\]
الإجابة: \(2^{11}\) و \(10^{11}\)
\[\left(3^{\boxed{.}} \times 5^{3} \times 2^{\boxed{.}}\right)^{4} = 5^{\boxed{.}} \times 2^{8} \times 81\]
حل المعادلة:
\[81 = 3^4\]
\[\left(3^a \times 5^3 \times 2^b\right)^4 = 5^y \times 2^8 \times 3^4\]
\[3^{4a} \times 5^{12} \times 2^{4b} = 3^4 \times 2^8 \times 5^y\]
بالموازنة: \(4a = 4\) ⇒ \(a = 1\)، \(4b = 8\) ⇒ \(b = 2\)، \(y = 12\)
الإجابة: \(3^1\)، \(2^2\)، \(5^{12}\)
\[8^{3} \times 5^{\boxed{.}} = 10^{\boxed{.}}\]
حل المعادلة:
\[8^3 = (2^3)^3 = 2^9\]
\[10^x = (2 \times 5)^x = 2^x \times 5^x\]
\[2^9 \times 5^y = 2^x \times 5^x\]
بالموازنة: \(x = 9\) و \(y = x\) ⇒ \(y = 9\)
الإجابة: \(5^9\) و \(10^9\)
\[\left(5^{\boxed{.}} \times 2^{\boxed{.}}\right)^{4} = 5^{44} \times 2^{20}\]
حل المعادلة:
\[\left(5^a \times 2^b\right)^4 = 5^{4a} \times 2^{4b}\]
\[5^{4a} \times 2^{4b} = 5^{44} \times 2^{20}\]
بالموازنة: \(4a = 44\) ⇒ \(a = 11\)، \(4b = 20\) ⇒ \(b = 5\)
الإجابة: \(5^{11}\) و \(2^5\)