دليل شامل لقوى الأعداد الصحيحة

قواعد القوى للقوى:

قواعد عمليات القوى:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

\[a^m \times b^m = (a \times b)^m\]

حالات خاصة مهمة:

\[a^0 = 1\] (لأي عدد \(a \neq 0\))

\[a^1 = a\] (أي عدد دليل القوة واحد يساوي نفسه)

\[1^n = 1\] (الواحد دليل القوة أي عدد يساوي 1)

\[0^n = 0\] (الصفر دليل القوة أي عدد موجب يساوي صفر)

مثال تطبيقي:

لحساب: \(2^3 \times 2^4\)

نجمع أدلّة القوة: \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

⚠️ تحذير مهم:

لا يمكن جمع أدلّة القوة إلا عند ضرب قوى لها نفس دليل القوة!

مثال خاطئ: \(2^3 \times 3^4 \neq 6^7\)

تمارين للتدرب:
  1. احسب: \(3^2 \times 3^5\)
  2. بسّط: \((5^2)^3\)
  3. احسب: \(2^4 \times 3^4\)
تطبيقات عملية:

القوى تستخدم في:

  • حساب المساحات والحجوم
  • الحسابات العلمية الكبيرة
  • البرمجة والخوارزميات
قواعد إضافية:

\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\] (للقسمة)

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

💡 نصيحة ذهبية:

تذكر دائماً: دليل القوة يبقى كما هو، وأدلّة القوة هي التي تتغير حسب العملية!

قوى الأعداد الصحيحة

تمرين رقم 2

① احسب :

\[a = (15^2 + 26^0) - (5^2 + 26^0)\]

\[b = 2019^0 + 1^{2019} + 0^{2019}\]

\[c = 6 + 2^2 \times (3^4 - 80)^{43}\]

\[a = 15^2 - 5^2\] \[= 225 - 25\] \[= 200\] \[b = 1 + 1 + 0\] \[= 2\] \[c = 6 + 4 \times 1^{43}\] \[= 6 + 4 \times 1\] \[= 6 + 4\] \[= 10\]

② أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة :

\[(8^{\cdots})^4 = 2^{36}\]

\[1000^2 \times 10^{\cdots} = 10^{10}\]

\[8 = 2^3\] \[(2^3)^x)^4 = 2^{36}\] \[2^{12x} = 2^{36}\] \[12x = 36\] \[x = 3\] \[1000^2 = 10^6\] \[10^6 \times 10^x = 10^{10}\] \[10^{6+x} = 10^{10}\] \[x = 4\]

③ اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد :

\[d = 2^7 \times 4^3 \times 8^5\]

\[e = 4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5\]

\[f = 5^6 \times (2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4)\]

\[d = 2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5\] \[= 2^7 \times 2^6 \times 2^{15}\] \[= 2^{28}\] \[e = 4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5\] \[= 4^5 (3^3 + 5)\] \[f = 5^6 \times 4 \times 2^4\] \[= 5^6 \times 2^2 \times 2^4\] \[= 5^6 \times 2^6 = 10^6\]

تمرين رقم 3

① احسب :

\[a = 3^2 \times 7 - (1^{13} + 5^0)\]

\[b = (2^3 + 5^{13}) - (2^2 + 5^{13})\]

\[c = 2^2 + 3^2 \times 4 - 2^3\]

\[a = 9 \times 7 - (1 + 1)\] \[= 63 - 2\] \[= 61\] \[b = (8 + 5^{13}) - (4 + 5^{13})\] \[= (8 - 4)\] \[= 4\] \[c = 4 + 9 \times 4 - 8\] \[= 4 + 36 - 8\] \[= 32\]

② أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة :

\[(9^{\cdots})^3 = 3^{36}\]

\[100000 \times 10^{\cdots} = 10^5\]

\[9 = 3^2\] \[(3^2)^x)^3 = 3^{36}\] \[3^{6x} = 3^{36}\] \[x = 6\] \[100000 = 10^5\] \[10^5 \times 10^x = 10^5\] \[x = 0\]

③ اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد :

\[d = 3^5 \times x^{15} \times 27^2\]

\[e = 2^{13} \times 3^6 \times 5^3 \times 3^{13}\]

\[f = 5^{2019} \times 3^3 - 5^{2019} \times 2\]

\[d = 3^5 \times x^{15} \times (3^3)^2\] \[= 3^5 \times x^{15} \times 3^6\] \[= 3^{11} \times x^{15}\] \[e = 2^{13} \times 3^{6 + 13} \times 5^3\] \[= 2^{13} \times 3^{19} \times 5^3\] \[f = 5^{2019} \times (3^3 - 2)\] \[f = 5^{2019} \times (27 - 2)\] \[f = 5^{2019} \times (25)\] \[ = 5^{2019}\times 5^2\] \[ = 5^{2019+2}\] \[ = 5^{2021}\]