دليل حل تمارين قوى الأعداد الصحيحة

قواعد القوى لدليل القوة:

قواعد قواعد القوى:

\[a^0 = 1\] (لأي عدد \(a \neq 0\))

\[a^1 = a\]

\[1^n = 1\] (لأي عدد \(n\))

\[0^n = 0\] (لأي عدد \(n > 0\))

قواعد العمليات:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

\[a^m \div a^n = a^{m-n}\]

استراتيجيات حل التمارين:

النوع الأول: حساب التعبيرات

مثال: \(a = (15^2 + 26^0) - (5^2 + 26^0)\)

الطريقة:

1. احسب كل قوة على حدة: \(15^2 = 225\)، \(26^0 = 1\)، \(5^2 = 25\)

2. احسب القيم داخل الأقواس: \((225 + 1) - (25 + 1) = 226 - 26\)

3. الناتج النهائي: \(a = 200\)

النوع الثاني: إكمال الفراغات

مثال: \((8^{\cdots})^4 = 2^{36}\)

الطريقة:

1. اكتب دليل القوة بنفس القاعدة: \(8 = 2^3\)

2. استبدل: \((2^3)^x \times 4 = 2^{36}\)

3. طبق قاعدة القوة للقوة: \(2^{12x} = 2^{36}\)

4. قارن دليل القوة: \(12x = 36 \Rightarrow x = 3\)

النوع الثالث: التبسيط إلى قوة واحدة

مثال: \(d = 2^7 \times 4^3 \times 8^5\)

الطريقة:

1. اكتب كل شيء بنفس دليل القوة: \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)

2. استبدل: \(d = 2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5\)

3. بسط: \(d = 2^7 \times 2^6 \times 2^{15}\)

4. اجمع دليل القوة: \(d = 2^{7+6+15} = 2^{28}\)

حالات خاصة مهمة:

انتبه لدليل القوة الخاصة

دليل القوة الصفري: أي عدد دليل القوة صفر = 1

\(2019^0 = 1\)، \(26^0 = 1\)، \(5^0 = 1\)

دليل القوة الواحد: أي عدد دليل القوة واحد = نفس العدد

\(1^{2019} = 1\)، \(x^1 = x\)

الصفر مرفوع لقوة: \(0^n = 0\) (عندما \(n > 0\))

خطأ شائع في التبسيط

خطأ: \(4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5 = (4 \times 3 + 5 \times 4)^5\)

صحيح: \(4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5 = 4^5(3^3 + 5)\)

تذكر: أخرج العامل المشترك أولاً!

تقنيات حل متقدمة:

التحويل إلى أساس مشترك:

للقوى الزوجية: \(4 = 2^2\)، \(8 = 2^3\)، \(16 = 2^4\)

للقوى الثلاثية: \(9 = 3^2\)، \(27 = 3^3\)، \(81 = 3^4\)

للقوى العشرية: \(10 = 10^1\)، \(100 = 10^2\)، \(1000 = 10^3\)

العوامل المشتركة:

في التعبير \(a^n \times b + a^n \times c\)

أخرج \(a^n\) كعامل مشترك: \(a^n(b + c)\)

خطوات منهجية للحل:

للحسابات:

1. احسب دليل القوة الخاصة أولاً (\(a^0\)، \(1^n\)، \(0^n\))

2. احسب دليل القوة الصغيرة (\(2^2\)، \(3^2\)، إلخ)

3. نفذ العمليات حسب الأولوية

4. بسط النتيجة النهائية

للتبسيط:

1. ابحث عن دليل القوة المشتركة

2. حول إلى نفس دليل القوة

3. طبق قواعد دليل القوة

4. اكتب النتيجة بأبسط شكل

جدول دليل القوة الشائعة:

\(2^1 = 2\)، \(2^2 = 4\)، \(2^3 = 8\)، \(2^4 = 16\)، \(2^5 = 32\)

\(3^1 = 3\)، \(3^2 = 9\)، \(3^3 = 27\)، \(3^4 = 81\)

\(5^1 = 5\)، \(5^2 = 25\)، \(5^3 = 125\)

\(10^1 = 10\)، \(10^2 = 100\)، \(10^3 = 1000\)، \(10^4 = 10000\)

نصائح للنجاح:

تذكر دائماً:

• احسب دليل القوة الخاصة أولاً (صفر، واحد)

• ابحث عن العوامل المشتركة قبل التبسيط

• تحقق من إجابتك بالتعويض

• اكتب كل خطوة بوضوح

تمارين في قوى الأعداد

دفواراتي
حساب تعابير عددية
تمرين 1

احسب التعابير التالية:

\[a = (15^2 + 26^0) - (5^2 + 26^0)\]
\[b = 2019^0 + 1^{2019} + 0^{2019}\]
\[c = 6 + 2^2 \times (3^4 - 80)^{43}\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للتعبير a: لاحظ أن الحد \(+ 26^0\) موجود في كلا القوسين. ماذا يحدث عند إزالة الأقواس؟

للتعبيرين b و c: تذكر قواعد قوى القوى (\(x^0=1\), \(1^n=1\), \(0^n=0\)) وأولوية العمليات الحسابية.

📝 الطريقة

a: \(a = 15^2 + 26^0 - 5^2 - 26^0\). يتم حذف \(26^0\). يبقى \(15^2 - 5^2\).
b: قم بتعويض كل قوة بقيمتها: \(2019^0 \rightarrow 1\), \(1^{2019} \rightarrow 1\), \(0^{2019} \rightarrow 0\). ثم اجمع.
c: ابدأ بحساب ما بداخل القوس \((3^4 - 80)\)، ثم ارفع الناتج للقوة 43، ثم قم بالضرب، وأخيراً الجمع.

✅ الحل الكامل

حساب a: \(a = (15^2 + 1) - (5^2 + 1) = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200\)
حساب b: \(b = 1 + 1 + 0 = 2\)
حساب c: \(c = 6 + 4 \times (81 - 80)^{43} = 6 + 4 \times 1^{43} = 6 + 4 \times 1 = 10\)
إكمال المساواة
تمرين 2

أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة:

\[(8^{\cdots})^4 = 2^{36}\]
\[1000^2 \times 10^{\cdots} = 10^{10}\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحل هذه المعادلات، يجب أولاً توحيد دليل القوة في كل طرف. كيف يمكن كتابة 8 كقوة للعدد 2، و 1000 كقوة للعدد 10؟

📝 الطريقة

المعادلة الأولى: استبدل 8 بـ \(2^3\). ستصبح المعادلة \(((2^3)^x)^4 = 2^{36}\). طبّق قانون قوة القوة \((a^m)^n = a^{mn}\) على الطرف الأيسر.
المعادلة الثانية: استبدل 1000 بـ \(10^3\). ستصبح المعادلة \((10^3)^2 \times 10^x = 10^{10}\). بسّط الطرف الأيسر باستخدام قوانين القوى.

✅ الحل الكامل

المعادلة الأولى: \((8^x)^4 = 2^{36} \implies ((2^3)^x)^4 = 2^{36} \implies 2^{12x} = 2^{36} \implies 12x = 36 \implies x = 3\)
المعادلة الثانية: \(1000^2 \times 10^x = 10^{10} \implies (10^3)^2 \times 10^x = 10^{10} \implies 10^6 \times 10^x = 10^{10} \implies 10^{6+x} = 10^{10} \implies x = 4\)
كتابة في صيغة قوة
تمرين 3

اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

\[d = 2^7 \times 4^3 \times 8^5\]
\[e = 4^5 \times 3^3 + 5 \times 4^5\]
\[f = 5^6 \times (2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4)\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للتعبير d: وحّد أدلّة القوة إلى 2.

للتعبير e: ابحث عن عامل مشترك بين الحدين.

للتعبير f: بسّط ما بداخل القوس. ما هي نتيجة جمع \(2^4\) أربع مرات؟

📝 الطريقة

d: \(2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5 = 2^7 \times 2^{...} \times 2^{...}\) ثم اجمع الأدلة.
e: \(4^5 \times (3^3 + 5)\) ثم احسب ما بداخل القوس.
f: لاحظ أن \(2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 = 4 \times 2^4\). ثم حوّل 4 إلى \(2^2\).

✅ الحل الكامل

d: \(= 2^7 \times (2^2)^3 \times (2^3)^5 = 2^7 \times 2^6 \times 2^{15} = 2^{28}\)
e: \(= 4^5 (27 + 5) = 4^5 \times 32 = (2^2)^5 \times 2^5 = 2^{10} \times 2^5 = 2^{15}\)
f: \(= 5^6 \times (4 \times 2^4) = 5^6 \times 2^2 \times 2^4 = 5^6 \times 2^6 = (5 \times 2)^6 = 10^6\)
حساب تعابير عددية (2)
تمرين 4

احسب التعابير التالية:

\[a = 3^2 \times 7 - (1^{13} + 5^0)\]
\[b = (2^3 + 5^{13}) - (2^2 + 5^{13})\]
\[c = 2^2 + 3^2 \times 4 - 2^3\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

a و c: اتبع بدقة أولوية العمليات (أقواس، قوى، ضرب/قسمة، جمع/طرح).

b: لاحظ الحد المشترك \(5^{13}\). إزالة الأقواس ستؤدي إلى تبسيط كبير.

📝 الطريقة

a: احسب القوى \(3^2, 1^{13}, 5^0\)، ثم الضرب، ثم ما بداخل القوس، وأخيراً الطرح.
b: أزل الأقواس وانتبه لتغير الإشارة: \(2^3 + 5^{13} - 2^2 - 5^{13}\). ستلاحظ أن \(5^{13}\) تختفي.
c: احسب \(2^2, 3^2, 2^3\) أولاً. ثم قم بالضرب \(9 \times 4\). وأخيراً قم بالجمع والطرح.

✅ الحل الكامل

a: \(= (9 \times 7) - (1 + 1) = 63 - 2 = 61\)
b: \(= 2^3 + 5^{13} - 2^2 - 5^{13} = 8 - 4 = 4\)
c: \(= 4 + (9 \times 4) - 8 = 4 + 36 - 8 = 32\)
إكمال المساواة (2)
تمرين 5

أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة:

\[(9^{\cdots})^3 = 3^{36}\]
\[100000 \times 10^{\cdots} = 10^5\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

وحّد أدلّة القوة. ما هي علاقة 9 بدليل القوة 3؟ وكيف تكتب 100000 كقوة للعدد 10؟

📝 الطريقة

المعادلة الأولى: اكتب \(9 = 3^2\). تصبح المعادلة \(((3^2)^x)^3 = 3^{36}\). بسط الطرف الأيسر ثم ساوِ الأدلة.
المعادلة الثانية: اكتب \(100000 = 10^5\). تصبح المعادلة \(10^5 \times 10^x = 10^5\). استخدم قانون ضرب القوى \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

✅ الحل الكامل

المعادلة الأولى: \((9^x)^3 = 3^{36} \implies ((3^2)^x)^3 = 3^{36} \implies 3^{6x} = 3^{36} \implies 6x=36 \implies x=6\)
المعادلة الثانية: \(100000 \times 10^x = 10^5 \implies 10^5 \times 10^x = 10^5 \implies 10^{5+x} = 10^5 \implies 5+x=5 \implies x=0\)
كتابة في صيغة قوة (2)
تمرين 6

اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

\[d = 3^5 \times x^{15} \times 27^2\]
\[e = 2^{13} \times 3^6 \times 5^3 \times 3^{13}\]
\[f = 5^{2019} \times 3^3 - 5^{2019} \times 2\]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

d: وحّد أدلّة القوة المتعلقة بالعدد 3.

e: أعد ترتيب الحدود لتجميع القوى ذات دليل القوة نفسه.

f: هل تلاحظ وجود عامل مشترك بين الحدين؟

📝 الطريقة

d: اكتب \(27 = 3^3\)، ثم استخدم قانون قوة القوة، وأخيراً قانون ضرب القوى للأساس 3.
e: جمّع \(3^6 \times 3^{13}\) معًا باستخدام قانون ضرب القوى.
f: أخرج \(5^{2019}\) كعامل مشترك: \(5^{2019} \times (3^3 - 2)\). ثم بسط ما بداخل القوس. هل يمكن كتابة الناتج كقوة للعدد 5؟

✅ الحل الكامل

d: \(= 3^5 \times x^{15} \times (3^3)^2 = 3^5 \times x^{15} \times 3^6 = 3^{11} \times x^{15}\)
e: \(= 2^{13} \times (3^6 \times 3^{13}) \times 5^3 = 2^{13} \times 3^{19} \times 5^3\)
f: \(= 5^{2019} \times (27 - 2) = 5^{2019} \times 25 = 5^{2019} \times 5^2 = 5^{2021}\)