الكسر $$\frac{a}{b}$$ حيث a و b عددان صحيحان طبيعيان

$$\frac{3}{4}$$ كسر صحيح لأن:

• $$a = 3$$ عدد صحيح طبيعي ✓
• $$b = 4$$ عدد صحيح طبيعي $$\neq 0$$ ✓

• a يسمى البسط (المقسوم)
• b يسمى المقام (المقسوم عليه)
• $$b \neq 0$$ شرط أساسي (لا يمكن القسمة على صفر)

• $$\frac{7}{8}$$, $$\frac{15}{23}$$, $$\frac{100}{7}$$ كلها كسور صحيحة
• $$\frac{5}{0}$$ ليس كسراً صحيحاً (المقام = 0)

مثال: $$\frac{3}{5}$$ لأن $$3 < 5$$ إذن $$\frac{3}{5} < 1$$ ✓

مثال: $$\frac{7}{7} = 1$$ لأن $$7 = 7$$ ✓

مثال: $$\frac{9}{4}$$ لأن $$9 > 4$$ إذن $$\frac{9}{4} > 1$$ ✓

• $$\frac{9}{4} = 2.25 > 1$$ ✓
• $$\frac{3}{5} = 0.6 < 1$$ ✓
• $$\frac{8}{8} = 1$$ ✓

1. نقسم الشكل الكامل إلى b جزء متساوي
2. نلون أو نظلل a جزء من هذه الأجزاء
3. الجزء المظلل يمثل الكسر $$\frac{a}{b}$$

• نقسم المربع إلى 4 أجزاء متساوية
• نلون 3 أجزاء منها
• المساحة الملونة = $$\frac{3}{4}$$ من المساحة الكلية ✓

• دائرة مقسمة إلى 8 أجزاء، 5 ملونة ← $$\frac{5}{8}$$
• شريط مقسم إلى 6 أجزاء، 4 ملونة ← $$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

• نحسب: $$2 \times 9 = 18$$
• نحسب: $$3 \times 6 = 18$$
• بما أن $$18 = 18$$ إذن $$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$$ ✓

• $$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ لأن $$4 \times 3 = 6 \times 2 = 12$$
• $$\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$ لأن $$15 \times 4 = 20 \times 3 = 60$$

حيث d هو قاسم مشترك للعددين a و b

إذا كان $$d$$ قاسماً مشتركاً لـ $$a$$ و $$b$$ فإن:

$$a = d \times k_1$$ و $$b = d \times k_2$$ حيث $$k_1, k_2$$ عددان صحيحان

وبما أن $$k_1 = \frac{a}{d}$$ و $$k_2 = \frac{b}{d}$$ فإن:

$$\frac{12}{18}$$ حيث $$\text{PGCD}(12,18) = 6$$

$$\frac{12}{18} = 0.667$$ و $$\frac{2}{3} = 0.667$$ ✓

القاسم المشترك الأكبر لعددين هو أكبر عدد يقسم كلاً منهما

$$24 = 2^3 \times 3^1$$

$$36 = 2^2 \times 3^2$$

$$36 = 24 \times 1 + 12$$

$$24 = 12 \times 2 + 0$$

إذن $$\text{PGCD}(24,36) = 12$$ ✓

$$\frac{24}{36} = 0.667$$ و $$\frac{2}{3} = 0.667$$ ✓

الكسر $$\frac{a}{b}$$ في أبسط صورة إذا كان $$\text{PGCD}(a,b) = 1$$

نجد $$\text{PGCD}(5,7)$$:

• عوامل 5: {1, 5}
• عوامل 7: {1, 7}
• العوامل المشتركة: {1}
• إذن $$\text{PGCD}(5,7) = 1$$ ✓

$$\frac{5}{7}$$ في أبسط صورة

$$\text{PGCD}(6,9) = 3 \neq 1$$

إذن $$\frac{6}{9}$$ ليس في أبسط صورة

الشكل المبسط: $$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ ✓

كسر في أبسط صورة ← لا يمكن تبسيطه أكثر

إذا كان المقامان متساويين، نقارن البسطين

بما أن المقام واحد، فإن الكسر الأكبر هو الذي له بسط أكبر

• المقام واحد: 7
• نقارن البسطين: $$3 < 5$$
• إذن: $$\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$$ ✓

$$\frac{3}{7} \approx 0.429$$ و $$\frac{5}{7} \approx 0.714$$

بما أن $$0.429 < 0.714$$ إذن $$\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$$ ✓

• $$\frac{2}{9} < \frac{7}{9}$$ لأن $$2 < 7$$
• $$\frac{11}{15} > \frac{8}{15}$$ لأن $$11 > 8$$

إذا كان البسطان متساويين، المقام الأصغر يعطي كسراً أكبر

عندما نقسم نفس الكمية على عدد أصغر، نحصل على أجزاء أكبر

• البسط واحد: 4
• نقارن المقامين: $$3 < 7$$
• إذن: $$\frac{4}{3} > \frac{4}{7}$$ ✓

• $$\frac{4}{3}$$: 4 أجزاء من كل 3 أجزاء (أجزاء كبيرة)
• $$\frac{4}{7}$$: 4 أجزاء من كل 7 أجزاء (أجزاء صغيرة)

$$\frac{4}{3} \approx 1.333$$ و $$\frac{4}{7} \approx 0.571$$

بما أن $$1.333 > 0.571$$ إذن $$\frac{4}{3} > \frac{4}{7}$$ ✓

• $$\frac{5}{2} > \frac{5}{8}$$ لأن $$2 < 8$$
• $$\frac{3}{4} > \frac{3}{10}$$ لأن $$4 < 10$$

المقام المشترك: $$\text{PPCM}(3,4) = 12$$

$$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$

بما أن $$8 < 9$$ إذن $$\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$$

إذن $$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$$ ✓

نقارن $$a \times d$$ مع $$b \times c$$:

$$2 \times 4 = 8$$ و $$3 \times 3 = 9$$

بما أن $$8 < 9$$ إذن $$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$$ ✓

$$\frac{2}{3} \approx 0.667$$ و $$\frac{3}{4} = 0.75$$

بما أن $$0.667 < 0.75$$ إذن $$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$$ ✓

نستخدم كسراً مرجعياً مثل $$\frac{1}{2}$$ أو $$1$$

$$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$$

بما أن $$3 < 4$$ إذن $$\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$$ ✓

$$\frac{1}{2} = \frac{4.5}{9}$$

بما أن $$5 > 4.5$$ إذن $$\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$$ ✓

إذن $$\frac{3}{8} < \frac{5}{9}$$ ✓

$$\frac{3}{8} = 0.375$$, $$\frac{1}{2} = 0.5$$, $$\frac{5}{9} \approx 0.556$$

$$0.375 < 0.5 < 0.556$$ ✓

$$\frac{1}{4} = 0.25$$, $$\frac{1}{2} = 0.5$$, $$\frac{3}{4} = 0.75$$, $$1 = 1$$

لجمع كسرين، نحتاج إلى توحيد المقامات:

$$\frac{a}{b} = \frac{a \times d}{b \times d}$$ و $$\frac{c}{d} = \frac{c \times b}{d \times b}$$

$$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$$ و $$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$$

$$\frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$$ ✓

ضرب كسرين يعني أخذ جزء من جزء:

• $$\frac{a}{b}$$ يعني a أجزاء من b
• $$\frac{c}{d}$$ من $$\frac{a}{b}$$ يعني أخذ c أجزاء من كل d أجزاء

$$\frac{2}{3} \approx 0.667$$ و $$\frac{4}{5} = 0.8$$

$$0.667 \times 0.8 \approx 0.533$$

$$\frac{8}{15} \approx 0.533$$ ✓

يمكن التبسيط قبل الضرب:

$$\frac{6}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{6 \times 4}{8 \times 9} = \frac{24}{72} = \frac{1}{3}$$

أو: $$\frac{6}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{3 \times 1}{1 \times 9} = \frac{1}{3}$$ ✓

القسمة على كسر = الضرب في مقلوب الكسر

إذا كان $$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8}$$

فيجب أن يكون $$\frac{15}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$$ يعني: كم مرة يوجد $$\frac{2}{5}$$ في $$\frac{3}{4}$$؟

الإجابة: $$\frac{15}{8} = 1.875$$ مرة ✓

1. الأقواس أولاً ()
2. الضرب والقسمة من اليسار لليمين
3. الجمع والطرح من اليسار لليمين

الخطوة 1: الضرب أولاً

يصبح التعبير: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$$

الخطوة 2: الجمع والطرح من اليسار

الخطوة 3: الطرح

الأقواس أولاً: $$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$$

ثم الضرب: $$\frac{7}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$$ ✓

الكسر عشري إذا أمكن كتابته بمقام هو قوة للعدد 10

الكسر $$\frac{a}{b}$$ عشري إذا كان مقامه المبسط يحتوي فقط على العوامل الأولية 2 و 5

لأن $$10 = 2 \times 5$$، فإن $$10^n = 2^n \times 5^n$$

إذا كان $$b = 2^p \times 5^q$$، يمكن كتابة:

$$8 = 2^3$$ (يحتوي على العامل 2 فقط) ✓

$$12 = 2^2 \times 3$$ (يحتوي على العامل 3) ✗

إذن $$\frac{7}{12}$$ ليس كسراً عشرياً

بسّط الكسر واختبر المقام للعوامل 2 و 5 فقط

نضرب البسط والمقام بالعدد المناسب للحصول على مقام = قوة للعدد 10

$$4 = 2^2$$، نحتاج $$5^2$$ للحصول على $$10^2$$

$$20 = 2^2 \times 5$$، نحتاج $$5$$ للحصول على $$10^2$$

$$125 = 5^3$$، نحتاج $$2^3$$ للحصول على $$10^3$$

إذا كان $$b = 2^p \times 5^q$$:

• اضرب في $$5^{p-q}$$ إذا كان $$p > q$$
• اضرب في $$2^{q-p}$$ إذا كان $$q > p$$
• لا تضرب إذا كان $$p = q$$

نحاذي الفواصل العشرية ونجري العملية

$$0.75 + 0.30 = 1.05$$

البرهان:

نضرب كأعداد طبيعية ثم نضع الفاصلة

$$4 \times 3 = 12$$

عدد الأرقام بعد الفاصلة: $$1 + 1 = 2$$

النتيجة: $$0.12$$

البرهان:

نحول إلى كسور أو نستخدم القسمة المطولة

الطريقة 1: $$\frac{0.6}{0.2} = \frac{6}{2} = 3$$ ✓

الطريقة 2: $$\frac{6/10}{2/10} = \frac{6}{10} \times \frac{10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ ✓

كل منزلة تمثل قوة للعدد 10

• منزلة العشرات: $$2 \times 10 = 20$$
• منزلة الآحاد: $$5 \times 1 = 5$$
• منزلة الأعشار: $$7 \times 0.1 = 0.7$$
• منزلة الأجزاء من المئة: $$3 \times 0.01 = 0.03$$

كل منزلة على يمين الفاصلة = $$\frac{1}{10^n}$$ حيث n رقم المنزلة

وصفة تحتاج $$\frac{3}{4}$$ كوب دقيق لـ 4 أشخاص. كم نحتاج لـ 6 أشخاص؟

$$\frac{3/4}{4} = \frac{x}{6}$$

$$x = \frac{3}{4} \times \frac{6}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$ كوب

للشخص الواحد: $$\frac{3/4}{4} = \frac{3}{16}$$ كوب

لـ 6 أشخاص: $$6 \times \frac{3}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$ ✓

• مضاعفة الوصفة: $$\frac{3}{4} \times 2 = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$$ كوب
• نصف الوصفة: $$\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$ كوب

قضيت $$\frac{1}{3}$$ ساعة في الرياضيات و $$\frac{1}{4}$$ ساعة في العلوم. كم المجموع؟

• الرياضيات: $$\frac{1}{3} \times 60 = 20$$ دقيقة
• العلوم: $$\frac{1}{4} \times 60 = 15$$ دقيقة
• المجموع: $$20 + 15 = 35$$ دقيقة ✓

• $$\frac{3}{4}$$ ساعة = 45 دقيقة
• $$\frac{5}{6}$$ ساعة = 50 دقيقة
• $$1\frac{1}{2}$$ ساعة = 90 دقيقة

راتبي 1200 دينار. أنفق $$\frac{2}{5}$$ على الطعام و $$\frac{1}{4}$$ على المواصلات. كم أنفقت؟

$$1200 - 780 = 420$$ دينار

أو: $$1 - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$$ من الراتب = $$\frac{7}{20} \times 1200 = 420$$ دينار ✓

قطعة قماش طولها $$2\frac{1}{3}$$ متر. قطعت منها $$\frac{3}{4}$$ متر. كم تبقى؟

• الطول الأصلي: $$2\frac{1}{3} \approx 2.333$$ متر
• المقطوع: $$\frac{3}{4} = 0.75$$ متر
• المتبقي: $$2.333 - 0.75 = 1.583$$ متر
• $$1\frac{7}{12} \approx 1.583$$ متر ✓

جمع أطوال: $$1\frac{1}{2} + 2\frac{3}{4} = \frac{3}{2} + \frac{11}{4} = \frac{6}{4} + \frac{11}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$$ متر

الكسر $$\frac{3}{4}$$ يعني أننا قسمنا شيئاً ما إلى 4 أجزاء متساوية وأخذنا منها 3 أجزاء.

إذا رسمنا دائرة وقسمناها إلى 4 أجزاء متساوية، فإن $$\frac{3}{4}$$ يمثل 3 من هذه الأرباع.

مثال: بيتزا مقسمة إلى 4 قطع، أكلت 3 قطع = أكلت $$\frac{3}{4}$$ البيتزا.

لإثبات أن $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$، نتحقق من:

لإثبات أن $$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$$:

• $$2 \times 9 = 18$$
• $$3 \times 6 = 18$$
• $$18 = 18$$ ✓ إذن الكسران متكافئان

1. أوجد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للبسط والمقام
2. اقسم البسط والمقام على ق.م.أ

ق.م.أ(12, 18) = 6

ق.م.أ(2, 3) = 1 ✓

إذن $$\frac{2}{3}$$ في أبسط صورة

نوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامين.

م.م.أ(4, 6) = 12

نقسم البسط على المقام (قسمة إقليدية)

$$13 \div 4 = 3$$ والباقي $$1$$

توحيد المقامات ثم مقارنة البسطين

م.م.أ(3, 4) = 12

بما أن $$8 < 9$$، فإن $$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$$

القسمة على صفر غير معرفة رياضياً.

$$\frac{5}{0}$$ يعني "كم مرة يدخل 0 في 5؟"

لكن الصفر لا يمكن أن يدخل في أي عدد عدداً محدداً من المرات.

لذلك العملية غير معرفة ❌

الإشارة السالبة يمكن وضعها في:

• البسط: $$\frac{-3}{4}$$
• المقام: $$\frac{3}{-4}$$
• أمام الكسر: $$-\frac{3}{4}$$

المعيار: نضع الإشارة أمام الكسر: $$-\frac{3}{4}$$

الفائدة: مفيد لتحويل الكسور إلى مقامات مختلفة

الكسر $$\frac{a}{c}$$ يعني "a قطعة من c"، والكسر $$\frac{b}{c}$$ يعني "b قطعة من c".

عند الجمع: نحصل على $$(a + b)$$ قطعة من نفس النوع (c).

(قطعتان من سبع + ثلاث قطع من سبع = خمس قطع من سبع)

لا يمكن جمع وحدات مختلفة مباشرة.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$ يشبه "نصف تفاحة + ثلث برتقالة"

نحتاج لوحدة موحدة!

نحول إلى سدسات:

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ)

لتجنب الأرقام الكبيرة والحاجة للتبسيط لاحقاً

م.م.أ(6, 8) = 24 (أصغر من 6×8=48)

نحول العدد الصحيح إلى كسر بمقام 1

نجمع الأجزاء الصحيحة منفصلة عن الكسرية

الأجزاء الصحيحة: $$2 + 1 = 3$$

الأجزاء الكسرية: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

نحول إلى كسور غير فعلية ثم نجمع

نوجد المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات

م.م.أ(2, 3, 6) = 6

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

$$\frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{cb + da}{db} = \frac{bc + ad}{bd}$$

بما أن $$ad + bc = bc + ad$$، فإن النتيجتين متساويتان ✓

$$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6})$$

الطرف الأيسر: $$\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$$

الطرف الأيمن: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

النتيجة واحدة ✓

1. أوجد م.م.أ لجميع المقامات
2. حول كل كسر إلى كسر مكافئ بالمقام المشترك
3. اجمع جميع البسطين
4. بسط النتيجة إذا أمكن

م.م.أ(4,6,8) = 24

الطرح هو عكس الجمع، لذلك نتبع نفس الخطوات لتوحيد المقامات

نفس المقام: $$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$

مقامات مختلفة: $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$

نطرح البسطين بدلاً من جمعهما

نحصل على كسر سالب

إذا كان لديك قطعتان من خمس وأخذت منها ثلاث قطع، فستحتاج لقطعة إضافية واحدة (دين)

نحول العدد الصحيح إلى كسر بنفس مقام الكسر المطروح

المشكلة: لا يمكن طرح $$\frac{3}{4}$$ من $$\frac{1}{4}$$

نستدين واحدة من الجزء الصحيح:

(حولنا واحدة صحيحة إلى $$\frac{4}{4}$$)

النتيجة السالبة تعني أن المطروح أكبر من المطروح منه

لديك $$\frac{1}{4}$$ دينار وتريد شراء شيء ثمنه $$\frac{3}{4}$$ دينار:

يعني تحتاج لنصف دينار إضافي

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$

$$\frac{a}{b} + (-\frac{c}{d}) = \frac{ad + b(-c)}{bd} = \frac{ad - bc}{bd}$$

النتيجة متطابقة ✓

إذا أخذت من شيء كل ما فيه، لن يبقى شيء

الكسر لا يتغير

إذا لم تأخذ شيئاً، فلن يتغير ما لديك

الطرح ليس عملية تبديلية

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

لكن $$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

النتيجتان مختلفتان!

نعمل من اليسار إلى اليمين

نوحد المقامات: م.م.أ(6,3,6) = 6

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$$

ثم $$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$$ يعني "a أجزاء من b" مضروبة في "c أجزاء من d"

$$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$$ يعني نصف الـ $$\frac{3}{4}$$

نقسم الـ 3 أجزاء إلى نصفين، فنحصل على $$\frac{3}{8}$$

لتجنب التعامل مع أرقام كبيرة

بدون تبسيط مسبق:

مع التبسيط المسبق:

8 و 12 لهما قاسم مشترك (4)

5 و 15 لهما قاسم مشترك (5)

نحول العدد الصحيح إلى كسر مقامه 1

نضرب البسط في العدد الصحيح:

1. نحول كل عدد مختلط إلى كسر غير فعلي
2. نضرب الكسرين
3. نحول النتيجة إلى عدد مختلط إذا لزم

الكسر لا يتغير

مفيد لتحويل الكسور لمقامات أخرى:

أخذ لا شيء من أي شيء = لا شيء

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

$$\frac{c}{d} \times \frac{a}{b} = \frac{ca}{db} = \frac{ac}{bd}$$

(لأن الضرب تبديلي) ✓

الطرف الأيسر: $$\frac{ac}{bd} \times \frac{e}{f} = \frac{ace}{bdf}$$

الطرف الأيمن: $$\frac{a}{b} \times \frac{ce}{df} = \frac{ace}{bdf}$$

النتيجة متطابقة ✓

الطريقة الأولى:

الطريقة الثانية:

الضرب في كسر أقل من 1 يعني أخذ جزء من العدد الأصلي

نأخذ ثلاثة أرباع من الـ 8، وهو أقل من الـ 8 الأصلية

إذا كان $$0 < \frac{a}{b} < 1$$، فإن:

القسمة هي عكس الضرب.

إذا كان $$x \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$$، فإن $$x = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$$

لحل $$x \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$$، نضرب الطرفين في $$\frac{d}{c}$$:

إذن $$x = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

التحقق: "كم مرة يدخل $$\frac{2}{3}$$ في 6؟"

الجواب: 9 مرات

معكوس الكسر $$\frac{a}{b}$$ هو $$\frac{b}{a}$$ (نقلب البسط والمقام)

• معكوس $$\frac{3}{4}$$ هو $$\frac{4}{3}$$
• معكوس $$5 = \frac{5}{1}$$ هو $$\frac{1}{5}$$
• معكوس $$\frac{1}{7}$$ هو $$7$$

نحول العدد الصحيح إلى كسر ثم نطبق قانون القسمة

نضرب المقام في العدد الصحيح:

نوزع الـ $$\frac{3}{4}$$ على جزأين متساويين

نحول العدد الصحيح إلى كسر ونطبق القانون

"كم مرة يدخل $$\frac{2}{3}$$ في 6؟"

الجواب: 9 مرات

1. نحول كل عدد مختلط إلى كسر غير فعلي
2. نطبق قانون قسمة الكسور

الكسر لا يتغير

توزيع شيء على جزء واحد = الشيء نفسه

أي شيء مقسوم على نفسه = واحد

التحقق: كم مرة يدخل $$\frac{3}{4}$$ في $$\frac{3}{4}$$؟ مرة واحدة بالضبط

القسمة على كسر أقل من 1 تعني الضرب في عدد أكبر من 1

"كم نصف في 4؟"

الجواب: 8 أنصاف

إذا كان $$0 < \frac{a}{b} < 1$$، فإن معكوسه $$\frac{b}{a} > 1$$

وبالتالي القسمة تكبر العدد

القسمة على $$\frac{0}{b}$$ تعني الضرب في معكوسه $$\frac{b}{0}$$، والذي غير معرف

$$\frac{3}{4} \div \frac{0}{5}$$ غير معرف ❌

"كم مرة يدخل الصفر في $$\frac{3}{4}$$؟"

سؤال لا معنى له لأن الصفر لا يشغل مساحة

نتعامل معه كقسمة عادية للكسور

"اقلب واضرب" تعمل حتى مع الكسور المركبة

1. أقواس
2. أسس
3. ضرب وقسمة (من اليسار لليمين)
4. جمع وطرح (من اليسار لليمين)

نضرب أولاً:

ثم نجمع:

الخطوة 1: نحل المقام:

الخطوة 2: التعبير يصبح:

الخطوة 3: نحل:

الخطوة 4: النتيجة النهائية:

نعمل خطوة بخطوة ونبسط في كل مرحلة

الخطوة 1: $$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

الخطوة 2: $$\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$$

الخطوة 3: التعبير يصبح: $$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{6}$$

الخطوة 4: $$\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

الخطوة 5: $$\frac{5}{2} - \frac{1}{6} = \frac{15}{6} - \frac{1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$

نضرب المعادلة كاملة في المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات

م.م.أ(3, 4, 12) = 12

نضرب الطرفين في 12:

نضرب في 100%

نقسم على 100

النسبة المئوية ÷ 100 = الكسر العشري = الكسر الاعتيادي

نضع العدد العشري على قوة من 10 حسب عدد المنازل العشرية

• $$0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$$
• $$0.375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$$
• $$1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$$

نبسط دائماً إلى أبسط صورة

1. أقرأ المسألة بعناية وأحدد المطلوب
2. أترجم الكلمات إلى عمليات رياضية
3. أحل العمليات خطوة بخطوة
4. أتحقق من منطقية الجواب

"أكل أحمد ثلث البيتزا، وأكلت فاطمة ربعها. كم تبقى؟"

الحل:

المأكول: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

المتبقي: $$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$

• $$\frac{1}{4} = 0.25$$
• $$\frac{1}{2} = 0.5$$
• $$\frac{3}{4} = 0.75$$

• $$\frac{1}{5} = 20\%$$
• $$\frac{1}{10} = 10\%$$

$$\frac{7}{8}$$ قريب من الواحد (كبير)

$$\frac{1}{8}$$ قريب من الصفر (صغير)

نصف 18 = $$18 \times \frac{1}{2} = 9$$

❌ خطأ: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$$

✓ صحيح: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$$

❌ خطأ: $$\frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

✓ صحيح: $$\frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{3}{2}$$

دائماً بسط النتيجة النهائية!

تحقق دائماً من منطقية النتيجة

قياس المكونات (كوب ونصف دقيق، $$\frac{3}{4}$$ كوب سكر)

قياس الأطوال (لوح بطول $$2\frac{1}{2}$$ متر)

جرعات الأدوية (ربع حبة، $$\frac{1}{2}$$ ملعقة)

الأوقات والمسافات (3 دقائق و$$\frac{3}{4}$$ ثانية)

النسب المئوية والفوائد ($$\frac{1}{4}$$ من الراتب)

النسب الذهبية والتصميم

النوتات الموسيقية (نصف نوتة، $$\frac{1}{4}$$ نوتة)