كل تمارين المستقيمات المتوازية والمتعامدة

① تمارين الدرس — المستقيمات المتوازية والمتعامدة (42 تمريناً)

01 مستقيمان يعامدان نفس المستقيم

ابن مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(B\) حيث \(BC = 4\) و \(AB = 6\).

عيّن النقطة \(I\) من قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AI = 2{,}5\).
ابن المستقيم العمودي على \((AB)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((AC)\) في \(J\).
ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((BC)\) و \((IJ)\)؟ علّل جوابك.

02 إكمال بـ ∥ أو ⊥

بالاعتماد على الشكل المقابل، أكمل بـ \(\parallel\) (متوازيان) أو \(\perp\) (متعامدان) مع التعليل. في هذا الشكل: المستقيمات \((AB)\)، \((DF)\)، \((EH)\) متوازية فيما بينها، والمستقيم \((CG)\) عمودي عليها جميعًا.

\((EG)\ \dots\ (DF)\)
\((DF)\ \dots\ (CG)\)
\((AB)\ \dots\ (EH)\)
\((EH)\ \dots\ (CG)\)
\((DF)\ \dots\ (AB)\)

03 إثبات التوازي باستعمال المؤسّط العمودي

ليكن \(ABC\) مثلَّثا.

ابن المؤسَّط العمودي لقطعة المستقيم \([AB]\) والذي يقطع \((AB)\) في \(I\) و \((BC)\) في \(J\).
ابن المستقيم العمودي على المستقيم \((IJ)\) والمارّ من النقطة \(J\) والذي يقطع \((AC)\) في \(K\).
أثبت أنّ المستقيمين \((AB)\) و \((JK)\) متوازيان.

04 دراسة طبيعة الرباعي AIJK

ليكن \(ABC\) مثلَّثا قائم الزاوية في \(A\)، و \(I\) منتصف \([AB]\).

أ) ابن المستقيم العمودي على \((AB)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((BC)\) في \(J\).
ب) ابن المستقيم العمودي على \((IJ)\) في \(J\) والذي يقطع \((AC)\) في \(K\).
أثبت أنّ المستقيمين \((AB)\) و \((JK)\) متوازيان.
أثبت أنّ المستقيمين \((KJ)\) و \((AK)\) متعامدان.
ما هو نوع الرباعي \(AIJK\)؟ علّل جوابك.

05 أبعاد في مربَّع

ليكن \(ABCD\) مربَّعا مركزه \(O\) وطول ضلعه \(4\text{ صم}\). أكمل:

بعد النقطة \(A\) عن المستقيم \((BC)\) يساوي ........
بعد النقطة \(A\) عن المستقيم \((AC)\) يساوي ........
بعد النقطة \(O\) عن المستقيم \((BC)\) يساوي ........
بعد النقطة \(A\) عن المستقيم \((BD)\) يساوي طول قطعة المستقيم ........

06 مماسّان لدائرة عند طرفَي قطر

لتكن \((\mathcal{C})\) دائرة مركزها النقطة \(O\) و \([MN]\) قطرا لها.

ابن المماسّ \((\Delta)\) للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \(M\).
ابن المماسّ \((\Delta')\) للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \(N\).
أثبت أنّ \((\Delta') \parallel (\Delta)\).

07 مستقيمات متوازية ومؤسّط عمودي

ارسم مستقيمين \((D)\) و \((\Delta)\) متعامدين في نقطة \(A\).

عيّن على \((\Delta)\) نقطة \(B\) حيث \(AB = 3\text{ صم}\)، وارسم \((D')\) المارّ من \(B\) والعمودي على \((\Delta)\). بيّن أنّ \((D)\) و \((D')\) متوازيان.
ارسم \((D'')\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\). بيّن أنّ \((D'') \parallel (D)\) و \((D'') \parallel (D')\).
لتكن \(I\) نقطة تقاطع \((D'')\) و \((\Delta)\). أوجد \(IA\) و \(IB\).

08 طبيعة الرباعي BAIE

ارسم مثلَّثا \(BUT\) قائم الزاوية في \(B\) حيث \(BT = 4\) و \(BU = 6\).

عيّن \(A\) من \([BU]\) حيث \(UA = 2{,}5\).
ابن المستقيم العمودي على \((BU)\) المارّ من \(A\) والذي يقطع \((UT)\) في \(I\). أثبت أنّ \((IA) \parallel (BT)\).
ابن المستقيم العمودي على \((BT)\) المارّ من \(I\) والذي يقطع \((BT)\) في \(E\). أثبت أنّ \((IE) \perp (IA)\).
ما هي طبيعة الرباعي \(BAIE\)؟ علّل جوابك.

09 مثلَّث قائم: توازٍ وتعامد

ارسم مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\text{ صم}\).

ارسم المستقيم \((\Delta)\) المارّ من \(C\) والعمودي على \((AC)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AB)\).
ارسم المستقيم \((\Delta')\) المارّ من \(B\) والموازي للمستقيم \((AC)\). بيّن أنّ \((\Delta') \perp (\Delta)\).

10 مستطيل ومؤسّطات عمودية

ارسم مستطيلا \(ABCD\) حيث \(AB = 7\) و \(AD = 4\).

ابن المؤسّط العمودي \((\Delta)\) لقطعة المستقيم \([AC]\).
عيّن \(F\) حيث \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([BF]\)، و \(G\) حيث \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([GD]\).
أثبت أنّ \((BF) \parallel (DG)\).

11 المؤسّط العمودي لـ [AB]

ارسم مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\).

عيّن النقطة \(M\) منتصف \([AB]\).
ارسم المستقيم \((\Delta)\) المارّ من \(M\) والعمودي على \((AB)\). ماذا يمثّل \((\Delta)\) بالنسبة لـ \([AB]\)؟

12 المؤسّط العمودي يقطع (BC)

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\)، والمستقيم \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\) يقطع \((AB)\) في \(M\) و \((BC)\) في \(N\).

بيّن أنّ \(NA = NB\).
تحقّق أنّ \(N\) منتصف \([BC]\).
عيّن \(P\) منتصف \([AC]\) وبيّن أنّ \((NP)\) مؤسّط عمودي لـ \([AC]\).
بيّن أنّ \((NP) \parallel (AB)\).

13 مماسّا دائرة في معيَّن

ارسم معيَّنا \(ABCD\) مركزه \(K\) حيث \(AC = 6\text{ صم}\) و \(BD = 8\text{ صم}\).

أثبت أنّ \((BD)\) مماسّ للدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(A\) وشعاعها \(3\text{ صم}\) في النقطة \(K\).
أثبت أنّ \((AC)\) مماسّ للدائرة \((\mathcal{C}')\) التي مركزها \(B\) وشعاعها \(4\text{ صم}\) في النقطة \(K\).

14 تقاطع المؤسّطات العمودية الثلاثة

مستقيمان \((\Delta)\) و \((\Delta')\) يتقاطعان في \(O\). عيّن نقطة \(A\) بحيث \(A \notin (\Delta)\) و \(A \notin (\Delta')\).

ابن \(B\) حيث \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([AB]\).
عيّن \(C\) حيث \((\Delta')\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).
ارسم \((\Delta'')\) المؤسّط العمودي لـ \([AC]\). ماذا تلاحظ؟ علّل.

15 المؤسّط العمودي وبُعد النقطة

ارسم قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 8\text{ صم}\).

ارسم النقطة \(M\) على بعد \(4\text{ صم}\) من \(A\) ومن \(B\). ماذا تمثّل \(M\) بالنسبة لـ \([AB]\)؟
ارسم \((\Delta)\) المارّ من \(M\) والعمودي على \((AB)\). ماذا يمثّل \((\Delta)\) لـ \([AB]\)؟
عيّن \(C\) على \((\Delta)\) حيث \(MC = 3\text{ صم}\)، و \(C'\) مناظر \(C\) بالنسبة إلى \((AB)\). بيّن أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([CC']\).
أوجد بعد \(A\) عن \((\Delta)\).

16 المربَّع والمؤسّط العمودي للقطر

نعتبر مربَّعا \(ABCD\) ضلعه \(3\text{ صم}\) ومركزه \(O\).

تحقّق أنّ \((AC) \perp (BD)\).
بيّن أنّ \(O\) منتصف \([BD]\).
استنتج أنّ \((AC)\) مؤسّط عمودي لـ \([BD]\).
ابن \((\Delta)\) المارّ من \(B\) والعمودي على \((BD)\). بيّن أنّ \((AC) \parallel (\Delta)\).

17 أبعاد في مثلَّث قائم

ارسم مثلَّثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\text{ صم}\) و \(AC = 4\text{ صم}\) و \(BC = 5\text{ صم}\).

أوجد بعد \(B\) عن \((AC)\) وبعد \(C\) عن \((AB)\).
أحسب بعد \(A\) عن \((BC)\).
ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\). بيّن أنّ \((AC) \parallel (\Delta)\) ثمّ احسب بعد \(A\) و \(B\) و \(C\) عن \((\Delta)\).

18 نقاط على استقامة ومؤسّط عمودي

النقاط \(A\)، \(C\)، \(D\)، \(B\) على استقامة واحدة، حيث \(AC = CD = DB = 2\text{ صم}\)، و \(I\) منتصف \([CD]\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([CD]\).
برهن أنّ \(I\) منتصف \([AB]\) أيضًا.
ما هو المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)؟ علّل.

19 مستطيل ومؤسّط عمودي

ارسم مستطيلا \(ABCD\) حيث \(AB = 4\) و \(AD = 3\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي للضلع \([AB]\).
برهن أنّ \((CD) \perp (\Delta)\).

20 خصائص المستطيل والمؤسّط

في مستطيل \(ABCD\) حيث \(AB = 4\) و \(AD = 3\)، \(M\) منتصف \([AB]\) و \((MN) \perp (CD)\).

بيّن أنّ \(N \in (\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).
بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta) \parallel (BC)\).
حدّد بعد \(N\) عن \((AD)\) و \((BC)\).

21 دائرة تقطع مستقيما

النقطة \(O\) لا تنتمي إلى المستقيم \((\Delta)\). دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) تقطع \((\Delta)\) في \(A\) و \(B\).

بيّن أنّ \(O\) ينتمي إلى المؤسّط العمودي لـ \([AB]\).
لتكن \(M\) منتصف \([AB]\). اثبت أنّ \((OM) \perp (AB)\).
\((OM)\) يقطع الدائرة في \(C\). بيّن أنّ \(CA = CB\).

22 قطر ومؤسّط عمودي وبُعد المماسَّين

دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\)، و \([AB]\) قطر لها.

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\). بيّن أنّ \(O \in (\Delta)\).
\((\Delta)\) يقطع الدائرة في \(E\) و \(F\). اثبت أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([EF]\).
ما البعد بين المماسّ \((\Delta')\) في \(A\) والمماسّ \((\Delta'')\) في \(B\)؟

23 مؤسّط نصف قطر ومماس

\(A\) نقطة من الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([OA]\) والذي يقطع \((\mathcal{C})\) في \(B\) و \(C\). بيّن أنّ \(AB = 3\).
بيّن أنّ \((OA)\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).
ابن \((\Delta')\) المماسّ في \(A\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

24 أبعاد وتوازٍ عموديّان

ليكن \((D)\) مستقيمًا و \(A\) نقطة على بعد \(1\) وحدة منه، و \((\Delta)\) المارّ من \(A\) والعمودي على \((D)\).

عيّن \(B\) على \((D)\) يبعد \(2\) عن \((\Delta)\)، ثمّ \(C\) حيث \(B\) منتصف \([AC]\).
ارسم \((\Delta')\) المارّ من \(C\) والعمودي على \((D)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).
أعط بعد \(C\) عن \((\Delta)\).

25 مؤسّط نصف القطر (2)

\(A\) نقطة من الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([OA]\) والذي يقطع \((\mathcal{C})\) في \(B\) و \(C\). بيّن أنّ \(AB = 3\text{ صم}\).
بيّن أنّ \((OA)\) مؤسّط عمودي لـ \([BC]\).
ابن \((\Delta')\) المماسّ في \(A\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).

26 دائرة قطرها [AB] وزاوية قائمة

نعتبر قطعة المستقيم \([AB]\)، وارسم الدائرة \((\mathcal{C})\) التي قطرها \([AB]\) ومركزها \(O\).

عيّن \(M\) على \((\mathcal{C})\) غير \(A\) و \(B\). ارسم \((AM)\) و \((BM)\) وتحقّق أنهما متعامدان.
ابن \((\Delta)\) المارّ من \(O\) والعمودي على \((AM)\). برهن أنّ \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([AM]\).

27 مؤسّط عمودي وتوازٍ

ارسم قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 6\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\) يقطعه في \(M\). بيّن أنّ \(M\) منتصف \([AB]\) واحسب \(MB\).
ابن \((D)\) المارّ من \(B\) والعمودي على \((AB)\). بيّن أنّ \((D) \parallel (\Delta)\).
عيّن \(N\) على \((D)\) حيث \(BN = 3\)، و \(I\) منتصف \([MN]\). بيّن أنّ \((BI)\) مؤسّط عمودي لـ \([MN]\).

28 مستطيل: أبعاد وتوازٍ

ارسم مستطيلا \(ABCD\) طوله \(AB = 5\) وعرضه \(AD = 2\).

\(I\) منتصف \([AB]\). ابن \((IJ) \perp (CD)\). بيّن أنّ \((IJ) \perp (AB)\) و \((IJ) \parallel (BC)\).
\(M\) منتصف \([IJ]\). ابن \((\Delta)\) من \(M\) موازٍ لـ \((AB)\). بيّن أنّ \((\Delta) \perp (AD)\) و \((\Delta) \parallel (CD)\).

29 مثلَّث قائم ودوائر متماسّة

مثلَّث \(ABH\) قائم الزاوية في \(H\) حيث \(AB = 5\) و \(AH = 3\text{ صم}\) (ومنه \(BH = 4\)).

ارسم الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(A\) وشعاعها \(3\). اثبت أنّ \((BH)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(H\).
ارسم \((\mathcal{C}')\) مركزها \(B\) وشعاعها \(2\). بيّن أنّ \((\mathcal{C})\) و \((\mathcal{C}')\) متماسّتان خارجيا.
ارسم \((\mathcal{C}'')\) قطرها \([AB]\). تحقّق أنها تمرّ من \(H\).

30 مؤسّط عمودي ومحيط

ارسم قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AB = 6\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AB]\)، وعيّن \(E\) على \((\Delta)\) حيث \(AE = 5\text{ صم}\). احسب محيط المثلَّث \(AEB\).
ابن \((\Delta')\) المارّ من \(A\) والعمودي على \((AB)\). ما الوضعية النسبية لـ \((\Delta)\) و \((\Delta')\)؟

31 إثبات المؤسّط العمودي بالمتساويَين

ارسم \([AB]\) حيث \(AB = 5\text{ صم}\)، ثمّ \(E\) حيث \(EA = EB = 3\text{ صم}\) و \(F\) حيث \(FA = FB = 4\text{ صم}\).

بيّن أنّ \((EF)\) مؤسّط عمودي لـ \([AB]\).
ابن \((\Delta)\) من \(A\) عمودي على \((AB)\). ما علاقة \((\Delta)\) و \((EF)\)؟
عيّن \(C\) و \(I\) على المستقيم \((AB)\) حيث \(A\) منتصف \([CI]\). بيّن أنّ \((\Delta)\) مؤسّط عمودي لـ \([CI]\).

32 مثلَّث قائم ومؤسّط عمودي لضلع

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\text{ صم}\).

ابن \((\Delta)\) من \(C\) عمودي على \((AC)\). بيّن أنّ \((AB) \parallel (\Delta)\).
ما بعد \(B\) عن \((\Delta)\)؟
ليكن \(O\) منتصف \([AC]\)، وارسم \((\Delta')\) المارّ من \(O\) والموازي لـ \((\Delta)\). بيّن أنّ \((\Delta') \perp (AC)\) واستنتج أنّه مؤسّط عمودي لـ \([AC]\).

33 مؤسّط عمودي لضلع ودائرة مماسة

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\) و \(AC = 4\text{ صم}\).

\((\Delta)\) المؤسّط العمودي لـ \([AC]\) يقطع \((BC)\) في \(I\) و \([AC]\) في \(J\). اثبت أنّ \(IA = IC\).
لتكن \((\mathcal{C})\) الدائرة \((C\,;\,CJ)\). ما وضعية \((\Delta)\) و \((\mathcal{C})\)؟
\(M\) مسقط \(I\) العمودي على \((AB)\). بيّن أنّ \((IM) \parallel (AC)\).

34 مستطيل: توازٍ وأبعاد ومؤسّط

مستطيل \(ABCD\) حيث \(AB = 5\) و \(AD = 3\). \(M\) نقطة من المستقيم \((CD)\) حيث \(DM = 7\).

ابن \((\Delta)\) من \(M\) عمودي على \((CD)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta) \perp (AB)\)، وأوجد البعد بين \((\Delta)\) و \((AD)\).
عيّن \(N\) حيث \(A\) منتصف \([DN]\). بيّن أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([DN]\).

35 مستطيل: توازٍ وأبعاد (2)

مستطيل \(ABCD\) حيث \(AB = 5\) و \(AD = 3\) (صياغة أخرى للتمرين 34).

ابن \((\Delta)\) العمودي على \((AB)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (AD)\) و \((\Delta) \perp (AB)\).
عيّن \(N\) حيث \(A\) منتصف \([DN]\). بيّن أنّ \((AB)\) مؤسّط عمودي لـ \([DN]\).
ابن \(P\) من \((NB)\) متساوية البعد عن \(A\) و \(B\).

36 مثلَّث قائم: أبعاد وتوازٍ وتعامد

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 3\)، \(AC = 4\)، \(BC = 5\).

أوجد بعد \(B\) عن \((AC)\) وبعد \(C\) عن \((AB)\).
ابن \((\Delta)\) من \(B\) عمودي على \((BC)\)، و \((\Delta')\) من \(C\) عمودي على \((BC)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\) وأوجد البعد بينهما.
عيّن \(F\) حيث \(BF = 3\) و \(CF = 4\). بيّن أنّ \((BC) \perp (AF)\).

37 شبه منحرف: أبعاد وتوازٍ

شبه منحرف \(ABCD\) قائم الزاوية في \(A\) و \(D\) حيث \(AB = 3\)، \(AD = 4\)، \(CD = 8\).

أوجد بعد \(C\) عن \((AD)\) وبعد \(C\) عن \((CD)\) والبعد بين \((AB)\) و \((CD)\).
ابن \((\Delta)\) من \(C\) موازٍ لـ \((AD)\)، و \((\Delta')\) من \(B\) موازٍ لـ \((AD)\). بيّن أنّ \((\Delta) \parallel (\Delta')\).
بيّن أنّ \((\Delta') \perp (CD)\).

38 دائرة مماسة لمستقيم

\((\Delta)\) مستقيم و \(M \in (\Delta)\). الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(2\text{ صم}\) مماسّة لـ \((\Delta)\) في النقطة \(A\).

ابن \((\Delta')\) المارّ من \(A\) والعمودي على \((\Delta)\).
بيّن أنّ \((\Delta')\) يحمل نصف القطر \([OA]\) (أي يمرّ من \(O\)).
ما هو بعد \(O\) عن \((\Delta)\)؟

39 دائرتان مماسّتان لمستقيم في نقطة

دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(I\) وشعاعها \(2\)، و \(A\) نقطة منها.

ابن \((\Delta)\) المماسّ للدائرة \((\mathcal{C})\) في \(A\).
ابن الدائرة \((\mathcal{C}')\) مركزها \(J\) وشعاعها \(3\) حيث \((\Delta)\) مماسّ لها في \(A\) أيضًا.
بيّن أنّ \(A\) و \(I\) و \(J\) على استقامة واحدة.

40 دائرتان مماسّتان لأضلاع مثلَّث قائم

مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB = 2{,}5\) و \(AC = 3\text{ صم}\).

ارسم \((\mathcal{C})\) مركزها \(B\) وشعاعها \(BA\). بيّن أنّ \((AC)\) مماسّ لـ \((\mathcal{C})\) في \(A\) وحدّد نقطة التماس.
ارسم \((\mathcal{C}')\) مركزها \(C\) ومماسّة لـ \((AB)\). ما شعاع \((\mathcal{C}')\)؟

41 مماسّ ومتساوي البعد

دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(3\text{ صم}\)، و \(M\) نقطة منها.

ابن \((\Delta)\) المماسّ للدائرة في \(M\).
عيّن \(A\) و \(B\) على \((\Delta)\) حيث \(M\) منتصف \([AB]\). اثبت أنّ \(OA = OB\).

42 اختيار من متعدّد: بُعد ودائرة

I) مثلَّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AC = 3\)، \(AB = 4\)، \(BC = 5\text{ صم}\).
II) دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(2\)، و \(A'\) مسقط \(O\) العمودي على مستقيم \((\Delta)\).

بعد \(B\) عن \((AC)\) يساوي: \(3\text{ صم}\) — \(4\text{ صم}\) — \(5\text{ صم}\)؟
بعد \(A\) عن \((AB)\) يساوي: \(0\text{ صم}\) — \(3\text{ صم}\) — \(4\text{ صم}\)؟
\((\Delta)\) و \((\mathcal{C})\) منفصلان إذا: \(OA' = 1{,}9\) — \(2\) — \(2{,}1\)؟
\((\Delta)\) يمرّ من \(O\) إذا: \(OA' = 0\) — \(1\) — \(2\)؟

② فرض المراقبة عدد 1

تمارين رياضيات للسابعة أساسي c1701.html

التمرين 3

C دائرة مركزها O و A و B نقطتين منها و IAB مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية I
1. المستقيم (OI) يقطع المستقيم (AB) في نقطة E
أ- بين أن المستقيم (OI) هو المتوسط العمودي لـ [AB]
ب- ماذا تمثل النقطة E بالنسبة إلى [AB]؟ علل جوابك
2. عين نقطتين F و G بحيث يكون الرباعي AEFG مربعاً
أ- ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (AG) و (OI)؟ علل جوابك
ب- بين أن النقاط O و I و E و F على استقامة واحدة
3. ابن المستقيم Δ العمودي على (OI) والمار من I
ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (AG) و Δ؟ علل جوابك

التمرين 4

ارسم مثلث ABC قائم الزاوية في A بحيث AB=3cm و AC=4cm و O منتصف [AC]
1. ابن المستقيم (D) المار من C والعمودي على (AC)
2. حدد الوضعية النسبية للمستقيمين (D) و (AB)
3. أوجد البعد بين (AB) و (D)
4. ابن النقطة E بحيث يكون (DE) هو المتوسط العمودي لـ [AC]
5. بين أن O تقع على [DE]
6. لنكن F منتصف [BE]. الدائرة التي مركزها F وتمر من C
أ- بين أن (AF) مماس للدائرة في C
ب- حدد الوضعية النسبية للدائرة و (AB)

تمارين رياضيات للسابعة أساسي — مثال رقم 2 c1702.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد)

تعتبر النقاط AB = AC حيث AB = D و C و B و A تكون المستقيم AD موسط عمودي للقطعة BC إذا كان:

التمرين 3

في الرسم المرافق ABCD مستطيل و I منتصف AB حيث (IC) ⊥ (ID) و BC = 3cm و AB = 6cm
1. عيّن النقطة E بحيث يكون المثلث IEC متقايس الأضلاع
أحسب IB
بيّن أن EB هو المتوسط العمودي لـ [IC]
2. ابن المستقيم Δ المار من النقطة A والعمودي على AD و Δ يتقاطعان في نقطة M

فرض مراقبة عدد 1 — السابعة أساسي c1703.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد)

لتكن الدائرتان ξ و ξ' مركزيهما على التوالي O و O' ويتقاطعان في النقطتين A و B. إذن:
- (OO') هو المتوسط العمودي لـ [AB]
- (AB) هو المتوسط العمودي لـ [OO']
- (O'B) // (OA)

التمرين 3 (7 نقاط)

1) أ) أرسم دائرة مركزها O وشعاعها 4 cm، ثم عيّن عليها نقطتين A وB بحيث AB = 6 cm وحدد النقطة I منتصف [AB].
ب) أثبت أن (OI) هو المتوسط العمودي للقطعة [AB].
ج) نصف المستقيم [OI) يقطع الدائرة في نقطة M. ما هي طبيعة المثلث MAB؟ علل جوابك.
2) أ) إبن المستقيم (Δ) المار من A والعمودي على المستقيم (AB)، والمستقيم (Δ') المار من B والعمودي على المستقيم (AB).
3) أ) إبن المستقيم (D) المار من O والعمودي على (Δ). المستقيم (D) يقطع المستقيم (Δ') في النقطة C ويقطع (Δ) في نقطة E.
ب) بيّن أن C هو المسقط العمودي لـ O على (Δ').
إذا علمت أن (OI) // (Δ) // (Δ') أتمم بما يناسب لتحسب OC و OE:
ب) ماذا تمثل النقطة O للقطعة [EC]؟ علل جوابك.

تمارين في الرياضيات — إعداد الأستاذ فوزي الغربي c1704.html

التمرين 1 (Q3 و Q2-ب)

دائرة مركزها O و [AB] حبل لها. H تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB].
إذن:
- البعد OH يساوي نصف البعد AB
- H منتصف [AB]
- O تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB]
ب) ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف [BC] إذا كانت D نقطة حيث DB=DC فإن النقاط A و I و D على استقامة واحدة

التمرين 3

1) أ) ارسم مستقيم (D) عمودي على المستقيم (Δ) في النقطة I.
ب) ارسم دائرة مركزها I وشعاعها 4cm تقطع (Δ) في نقطتين A و B.
ماذا تمثل النقطة I بالنسبة للقطعة [AB]؟ علل جوابك.
2) أ) بين أن المستقيم (D) هو الموسط العمودي للقطعة [AB].
ب) عين النقطة M من المستقيم (D) بحيث IM=3cm.
ج) ما هي طبيعة المثلث MAB؟ علل جوابك.
3) أ) ابن المستقيم (Λ) المار من M والعمودي على (D).
ب) بين أن المستقيمين (Λ) و (Δ) متوازيان.
ج) استنتج البعد بينهما.
4) أ) ابن المستقيم (D') المار من B والموازي للمستقيم (D). (D') يقطع (Λ) في النقطة E.
ب) بين أن النقطة E هي المسقط العمودي للنقطة B على (Λ).

التمرين 4

تأمل الرسم التالي حيث ABC مثلث قائم في A طول AB=8cm و BC=10cm.
و FABE شبه منحرف قائم في A و F بحيث EF=4cm و FA=3cm.
1) أحسب مساحة شبه المنحرف FABE.
2) إذا علمت أن المساحة المشطوبة تساوي 6cm². أحسب بعد النقطة A عن المستقيم (BC).

تمارين في الرياضيات (نسخة موسّعة — تحتوي سلسلتَي تمارين) c1705.html

ملاحظة

السلسلة الأولى من هذا الملف مطابقة حرفياً لتمارين c1704.html (التمارين 1، 3، 4) — غير معادة هنا لتفادي التكرار. السلسلة الثانية (تمارين 1 إلى 5) مغايرة، معادة بالكامل أدناه.

التمرين 4 (السلسلة الثانية)

في الرسم المرافق ABC مثلث قائم في A و I منتصف [AC] و E نقطة من [BC] حيث EA=EB=EC
1) أ - بين أنّ (EI) الموسط العمودي لـ [AC]
ب - بيّن أن المستقيمين (EI) و (AB) متوازیان
2) عين النقطة I' منتصف [AB] ثمّ ابن المستقيم Λ المار من I' والعمودي على (AB)
أ - بين أن Λ الموسط العمودي للقطعة [AB]
ب - بين أن النقطة E تنتمي للمستقيم Λ
ج - ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين (EI) و Λ. علل جوابك

التمرين 5 (السلسلة الثانية)

1) ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث AB=4cm و AC=2cm
أ) عين النقطة D بحيث يكون C هي منتصف [AD]
ب ابن النقطة I منتصف [BD]
2) أ) عين النقطة E حيث يكون I هي منتصف [AE]
ب بين أن (BI) هو الموسط العمودي لـ [AE]
ج) استنتج البعد BE
3) ابن المستقيم Λ المار من C والعمودي على (AC)
أ) ما هي الوضعية النسبية لـ Λ و (AB)
ب أحسب بعد A عن Λ معللا جوابك

تمارين رياضيات c1706.html

التمرين 1 (Q3)

أربط بسهم العبارات التالية بما يناسبها:
إذا كان Δ ∥ AB فإن المسافة بين Δ و AB ...
إذا كان Δ' ⊥ Δ ويمر من النقطة I فإن Δ' ...

التمرين 3 (هندسة)

شبه المنحرف ABCD حيث [AB] ∥ [CD] و I منتصف [BC]
1. ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على AB
2. بين أن Δ يمر من منتصف [AD]
3. بين أن Δ هو المتوسط العمودي لقطعة مستقيم محددة

التمرين 4 (متوازي الأضلاع)

ABCD متوازي أضلاع و E منتصف [AB] و F منتصف [CD]
1. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (AE) و (BD)؟
2. بين أن (EF) يوازي (AC) و (BD)
3. احسب طول EF بدلالة أضلاع متوازي الأضلاع

التمرين 5 (تطبيق شامل)

1. في المثلث ABC، إذا كان M منتصف [BC] و N منتصف [AC]، احسب MN بدلالة AB
2. احسب محيط المثلث MNC بدلالة محيط المثلث ABC

تمارين الرياضيات (بنك أسئلة) c1707.html

سؤال 1

حسب الرسم المرافق I منتصف [AC]. JA=JC و المار من I و العمودي على (BC). ما هو الموسّط العمودي للقطعة؟

سؤال 13

عين النقطة I منتصف قطعة المستقيم [BC]. بين أنّ المستقيم (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].

سؤال 14

ماهو بعد النقطة B عن المستقيم (AI) ؟ علل جوابك.

سؤال 17

أكمل بـ : صواب أو خطأ - (BC) و (AD) متقاطعان. (بفرض أننا نتحدث عن شبه المنحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD])

سؤال 26

في الرسم المرافق ABC مثلث قائم في A و I منتصف [AC] و E نقطة من [BC] حيث EA=EB=EC. بين أنّ (EI) الموسط العمودي لـ [AC].

سؤال 27

في الرسم المرافق ABC مثلث قائم في A و I منتصف [AC] و E نقطة من [BC] حيث EA=EB=EC. بيّن أن المستقيمين (EI) و (AB) متوازيان.

سؤال 28

ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث AB=4cm و AC=2cm. عين النقطة D بحيث يكون C هي منتصف [AD].

سؤال 41

ارسم مستقيم (D) عمودي على المستقيم (Δ) في النقطة I. أرسم دائرة مركزها I وشعاعها 4cm تقطع (Δ) في نقطتين A و B. ماذا تمثل النقطة I بالنسبة للقطعة [AB] ؟ علل جوابك.

سؤال 42

بين أن المستقيم (D) هو الموسط العمودي للقطعة [AB].

سؤال 43

عين النقطة M من المستقيم (D) بحيث IM=3cm. ما هي طبيعة المثلث MAB ؟ علل جوابك.

المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة — فرض مراقبة عدد 1 c1708.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد)

في الرسم المرافق لدينا:
D وموسط Δ' الموسط العمودي لـ [AB]
و Δ الموسط العمودي لـ [ID]
و D و Δ' ثلاث مستقيمات حيث Δ//Δ' و D//Δ إذن:
- أ) Δ' و D متقاطعان
- ب) D//Δ'
- ج) D ⊥ Δ'

فرض مراقبة رياضيات — مثال 11 c1709.html

التمرين 3 (هندسة)

يمثل الرسم المرافق مثلثاً EFG قائماً في E و I منتصف [EF]
1. ابن المستقيم (Δ) المار من I والعمودي على (EF). يقطع (GF) في نقطة J
أ - ماذا يمثل المستقيم (Δ) بالنسبة إلى قطعة المستقيم [EF]؟ علل جوابك
ب - ما هي طبيعة المثلث JEF؟ علل جوابك
2. بين أن المستقيمين (Δ) و (EG) متوازيان
3. الدائرة C مركزها E وشعاعها 2cm تقطع الدائرة C' مركزها G وشعاعها 1.5cm في نقطتين L و M
أ - بين أن المستقيم (EG) هو المتوسط العمودي لـ [LM]
ب - ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (Δ) و (LM)؟ علل جوابك

التمرين 4 (إنشاءات هندسية)

1. ارسم قطعة مستقيم [AB] طولها 8cm و E منتصف [AB] ثم ابن المستقيم (Δ) المتوسط العمودي لـ [AE]
2. المتوسط العمودي لـ [AE] يقطع (Δ) في F
أ( حدد المسقط العمودي لـ B على (Δ)
ب( حدد بعد النقطة B عن (Δ)
3. ابن (D) المار من E والعمودي على المستقيم (AB)
4. ماذا يمثل (D) بالنسبة لـ [AB]؟ علل جوابك
5. بين أن (D) ∥ (Δ)
6. أ( ابن الدائرة (C) مركزها B وشعاعها 5cm. ما هي الوضعية النسبية لـ (C) و (Δ)؟ علل جوابك
ت( الدائرة (C) تقطع المستقيم (D) في نقطتين M و N. أوجد MA معللاً جوابك

فرض مراقبة رياضيات عدد 1 c1710.html

التمرين 3

في الشكل التالي: (ξ) دائرة مركزها O وقطرها [AB] و C نقطة ثالثة منها و (Δ) مستقيم عمودي على AB في O
1. ماذا يمثل المستقيم (Δ) بالنسبة للقطعة [AB]؟ علل جوابك
2. أ\ ابن على الشكل المستقيم (Δ') المتوسط العمودي للقطعة [AC] (مع ترك آثار التكرار)
ب\ أثبت أن المستقيم (Δ') يمر من النقطة O
3. أ\ عين على نفس الشكل النقطة D من الدائرة (ξ) مخالفة للنقطة C بحيث: BC = BD
ب\ بين أن المستقيم (AB) هو المتوسط العمودي للقطعة [CD]
4. لتكن I نقطة تقاطع المستقيمين (AB) و (CD)
أ\ ماذا تمثل النقطة I بالنسبة للقطعة [CD]؟ علل جوابك
ب\ ماذا تمثل القطعة [AI] بالنسبة للمثلث ACD؟ علل جوابك

تصحيح فرض المراقبة عدد 1 — مثال 13 c1713.html

التمرين 1 (Q1-ج، اختيار من متعدد)

اذا كان ABCD مستطيل و المستقيم Δ الموسط العمودي للضلع [AB] فإن:
- Δ ⊥ (BC)
- Δ ⊥ (CD)
- Δ // (CD)

التمرين 3 (8 نقاط، هندسة)

يمثل الرسم المرافق مثلثاً ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف [AB] و J منتصف [BC]
1) أ - بيّن أن (AJ) الموسط العمودي لـ [BC]
ب - ماذا تمثل النقطة J بالنسبة إلى النقطة A ؟
2) ابن المستقيم Δ المار من I و العمودي على (AB). يقطع (AC) في نقطة E
أ - بيّن أن Δ الموسط العمودي لـ [AB]
ب - ارسم دائرة C مركزها E وتمر من A. بيّن أن النقطة B تنتمي إلى الدائرة C
3) ابن المستقيم Δ′ المار من A و العمودي على (AB)
أ - ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ و Δ′ ؟ علّل جوابك
ب - ابن المستقيم D المار من C و العمودي على Δ
ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين D و Δ′ ؟ علّل جوابك

تصحيح فرض المراقبة عدد 1 — مثال 15 c1715.html

التمرين 3 (هندسة — مثلث قائم)

في الرسم المرافق: مثلث ABC قائم في A حيث AB = 3cm و AC = 6cm
1) ابن المستقيم Δ الموسط العمودي لـ [AC] يقطع (AC) في نقطة I
أ - بيّن أن النقطة I منتصف القطعة [AC]
ب - بيّن أن Δ // (AB)
2) النقطة E منتصف [IB] و Δ و (AE) يتقاطعان في K
أ - بيّن أن (AE) الموسط العمودي لـ [IB]
ب - ارسم الدائرة C التي مركزها K وتمر من B. بيّن أن النقطة I تنتمي إلى الدائرة C
3) ابن المستقيم Δ′ المار من E و العمودي على (AB). ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ و Δ′ ؟ علّل جوابك

التمرين 4 (هندسة متقدمة)

مثلث AIB قائم الزاوية في I حيث AB = 6cm و BI = 3cm
1) أ) ابن C بحيث I منتصف [BC]
ب) ماذا يمثل المستقيم (AI) بالنسبة لـ [BC]؟ علل جوابك
ج) استنتج أن ABC مثلث متقايس الأضلاع
2) أ) ابن المستقيم Δ العمودي على (BI) و المار من B
ب) ماهي الوضعية النسبية لـ Δ و (AI)
3) أ) ابن Δ′ الموسط العمودي لـ [AC]
ب) Δ′ يقطع (AI) في O. بيّن أن OA = OB
4) (OC) يقطع [AB] في J. بيّن أن J هي منتصف [AB]

تصحيح فرض المراقبة عدد 1 — مثال 16 c1716.html

التمرين 3 (هندسة — قطعة ودائرة)

لتكن [AB] قطعة مستقيم قيس طولها AB = 4cm
1) أ) ابن المستقيم Δ الموسط العمودي لـ [AB] والذي يقطعها في I و ابن المستقيم Δ′ العمودي على (AB) في B
ب) احسب البعد IB
ج) بيّن أن المستقيم Δ موازٍ للمستقيم Δ′
2) أ) ارسم الدائرة (ξ) مركزها A وشعاعها AB. المستقيم Δ يقطع الدائرة (ξ) في نقطتين E و F
ب) ماهو البعد بين النقطة E و المستقيم Δ′ ؟ علل جوابك
3) أ) ابن المستقيم D المار من E و العمودي على Δ
ب) ما هي الوضعية النسبية لـ D و Δ′ ؟ علّل جوابك
4) أ) بيّن أن AE = AB = BE = 4cm
ب) ليكن J منتصف القطعة [AE]. بيّن أن (AE) عمودي على (BJ)
ج) هل المستقيم (AB) يمثل الموسط العمودي لـ [EF] ؟ علّل جوابك

تصحيح فرض المراقبة عدد 1 — مثال 17 c1717.html

التمرين 1 (Q4)

Δ و Δ′ مستقيمان متوازيان و A نقطة إذن بالضرورة:
- A ∉ Δ′ إذا كان Δ و Δ′ منطبقان و A ∈ Δ′ إذا كان Δ و Δ′ منفصلان A ∉ Δ′
- A ∉ Δ′
- A ∈ Δ′

التمرين 3 (دائرة ومثلث)

في الرسم المرافق: C دائرة مركزها O و A و B نقطتين منها و IAB مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية I
1) المستقيم (OI) يقطع المستقيم (AB) في نقطة E
أ - بيّن أن المستقيم (OI) الموسط العمودي لـ [AB]
ب - ماذا تمثّل النقطة E بالنسبة إلى [AB] ؟ علّل جوابك
2) عيّن نقطتين F و G بحيث يكون الرباعي AEFG مربّع
أ - ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين (AG) و (OI) ؟ علّل جوابك
ب - بيّن أن النقاط O و I و E و F على استقامة واحدة
3) ابن المستقيم Δ العمودي على (OI) والمار من I
ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين (AG) و Δ ؟ علّل جوابك

تصحيح فرض المراقبة عدد 1 — مثال رقم 21 c1721.html

التمرين 1 (Q4)

لتكن الدائرتان (ξ) و (ξ') مركزيهما على التوالي O و O' ويتقاطعان في A و B
- (OO') هو الموسط العمودي لـ [AB]
- (AB) هو الموسط العمودي لـ [OO']
- (O'B) // (OA)

التمرين 3 (7 نقاط)

المعطيات: المثلث ABC متقايس الضلعين، قمته الرئيسية A / AB = 6 cm / المثلث BCD متقايس الأضلاع / DC = 4 cm / المستقيم (AD) هو الموسط العمودي لـ [BC]
1) المستقيم (AD) يقطع [BC] في I. احسب IC
2) أ) ابن المستقيم Δ العمودي على (BC) من B والمار بـ B
ب) بيّن أن Δ موازٍ لـ (AD)
3) أ) ابن المستقيم Δ₁ العمودي على Δ من A والمار بـ A
ب) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ₁ و (AD)؟
4) المستقيم Δ₁ يقطع Δ في نقطة E
أ) عيّن النقطة F من Δ حيث B منتصف [EF]
ب) بيّن أن المستقيم (BC) هو الموسط العمودي لـ [EF]

فرض مراقبة رياضيات — مثال 22 c1722.html

التمرين 1 (Q3، اختيار من متعدد)

يمثل الرسم المرافق شبه منحرف ABCD قائم في A و D والمستقيم (Δ) المتوسط العمودي للقطعة [AD] يقطع BC في I ويقطع AD في J
أكمل بصواب أو خطأ:
- J منتصف [AD]
- Δ المتوسط العمودي للقطعة [BC]
- JA = JD
- [AD] و [BC] متقاطعان

التمرين 3 (هندسة متقدمة)

التمرين 4 (مثلث متقايس الضلعين)

مثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث AB = AC = 5cm و BC = 4cm و O منتصف [BC]
1. ماذا يمثل المستقيم (OA) بالنسبة لـ [BC]؟ علل جوابك
2. أ( ابن المستقيم (Δ) المار من B والعمودي على (BC)
ب( حدد الوضعية النسبية لـ (Δ) و (OA) مع تعليل الجواب
ج( ما هو بُعد O عن (Δ)؟ علل جوابك
د( استنتج البُعد بين (Δ) و (OA)
3. أ( ابن المستقيم (Δ') المتوسط العمودي لـ [OA] الذي يقطع [AC] في I
ب( هل أن IA = IO؟ علل جوابك
ج( بين أن (BC) ∥ (Δ')
4. أ( ابن المستقيم (Δ'') المار من A والموازي لـ (BC)
ب( بين أن (Δ') ∥ (Δ'')

فرض مراقبة عدد 1 — مثال رقم 22 (نسخة ثانية) c17222.html

التمرين 1 (Q3، اختيار من متعدد)

يمثّل الرسم المرافق شبه منحرف ABCD قائم في A و D والمستقيم Δ العمودي للقطعة [AD] الذي يقطع [AD] في I ويقطع [BC] في J
أكمل بصواب أو خطأ:
- Δ الموسّط العمودي للقطعة [BC] ( )
- I منتصف [AD] ( )
- JA = JD ( )
- (AD) و (BC) متقاطعان ( )

التمرين 3

يمثّل الرسم المرافق مثلثاً EFG قائم في E و I منتصف [EF]
1) ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على (EF) يقطع (GF) في نقطة J
أ- ماذا يمثّل المستقيم Δ بالنسبة إلى قطعة المستقيم [EF]؟ علّل جوابك
ب- ماهي طبيعة المثلث JEF؟ علّل جوابك
2) بيّن أن المستقيمين Δ و (EG) متوازيان
3) الدائرة C مركزها E وشعاعها 2cm تقطع الدائرة C' مركزها G وشعاعها 1,5cm في نقطتين L و M
أ- بيّن أن المستقيم (EG) الموسّط العمودي لـ [LM]
ب- ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ و (LM)؟ علّل جوابك

التمرين 4

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث AB = AC = 5cm و BC = 4cm و O منتصف [BC]
1) ماذا يمثل المستقيم (OA) بالنسبة لـ [BC]؟ علل جوابك
2) أ) ابن المستقيم Δ المار من B والعمودي على (BC)
ب) حدد الوضعية النسبية لـ Δ و (OA) مع تعليل الجواب
ج) ما هو بعد O عن Δ؟ علل جوابك
د) استنتج البعد بين Δ و (OA)
3) أ) ابن المستقيم Δ' الموسط العمودي لـ [OA] الذي يقطع [AC] في I
ب) هل أن IA = IO؟ علل جوابك
ج) بين أن Δ' ∥ (BC)
4) أ) ابن المستقيم Δ'' المار من A والموازي لـ (BC)
ب) بين ان Δ' ∥ Δ''

③ فرض المراقبة عدد 2

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 1 c271.html

التمرين 1 (صواب/خطأ)

ضع علامة X في الخانة المناسبة:
كل مستقيمان مماسان لنفس الدائرة يكونان متوازيان

التمرين 5

[AB] قطعة مستقيم طولها 6 سنتمتر و I منتصف [AB]. الموسط العمودي Δ للقطعة [AB] و الدائرة (C) مركزها A و شعاعها 6cm يتقاطعان في نقطتين M و N.
1) أ) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم Δ و الدائرة (C)؟ علل جوابك
ب) ابن المماس Δ' للدائرة (C) في B
ج) بين أن Δ و Δ' متوازيان
2) أرسم الدائرة (C') مركزها A و شعاعها 3cm
أ) ما هي الوضعية النسبية ل (C') و Δ؟ علل جوابك
ب) ما هي الوضعية النسبية ل (C') و Δ'؟ علل جوابك
3) أ) بين أن EB = 3cm
ب) بين أن المثلث BEF متقايس الضلعين قمته الرئيسية B

التمرين 6

ABCD مستطيل و (C) دائرة مركزها B و تمر من A
1) بين أن المستقيم (AD) هو المماس لدائرة (C) في A
2) ابن المستقيم Δ المار من A و العمودي على [BD]. ما هي الوضعية النسبية للدائرة (C) و المستقيم Δ؟ علل جوابك
3) المستقيم (AB) يقطع الدائرة (C) في نقطة ثانية E مخالفة لـ A
أ) ابن المستقيم Δ' المماس للدائرة (C) في E
4) Δ و Δ' يتقاطعان في النقطة F. ما هي طبيعة المثلث AEF؟ علل جوابك

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 2 c272.html

التمرين 1 (صواب/خطأ)

أكمل بصواب أو خطأ:
كلّ مستقيم عمودي على شعاع دائرة هو مماس لها ....................
إذا كان ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] فإن المثلثين ACD و BCD لهما نفس المساحة....................

التمرين 4

أنظر الشكل الموالي حيث AI = IJ = JB = 3cm
1) أ/ أرسم دائرة ℭ مركزها I و قطرها [AJ]. ثم ابن Δ المماس للدائرة ℭ في A و Δ' المماس للدائرة ℭ في J
ب/ بين أن Δ // Δ'
ج/ ماذا يمثل Δ' بالنسبة لـ [IB]؟ علل جوابك
2) أرسم دائرة ℭ' مركزها J و شعاعها [JB]
3) أ/ نعتبر E و F النقطتين حيث: ℭ' ∩ Δ = {E, F}
أذكر مع تعليل الجواب الوضعية النسبية لـ Δ و (AE)
ب/ حقق بواسطة الكوس أن EJ ⊥ (AE)
ثم استنتج، مع تعليل الجواب، الوضعية النسبية للدائرة ℭ' و المستقيم (AE)
ج/ بين أن (EF) هو الموسط العمودي لـ [IJ]

التمرين 5

لاحظ الرسم التالي حيث:
[AC] هو منصف الزاوية BAH
∠BCH = 120° و ∠BAE = ∠BAH = 60°
IH = 2.25cm و CH = CB = 1.5cm
1) أحسب ∠BAC ثم ∠ACB
2) بين أن AB = AH
3) بين أن (AH) مماس للدائرة (C) التي مركزها I و تمر من H
4) بين أن B و H متناظرتان بالنسبة لـ (AC)
5) استنتج أن (AE) // (BH)
6) أ) ابن N مناظرة E بالنسبة لـ (AC)
ب) بين أن N نقطة من المستقيم (CH)
ج) استنتج أن CN = 6cm
7) أ) ابن النقطة F بحيث يكون المثلث ANF متقايس الأضلاع و F ليست في نفس جهة I بالنسبة إلى (AN)
ب) بين أن (NF) مماس للدائرة (C) في N

فرض مراقبة عدد 1 (كذا في الملف) c273.html

التمرين 4

1) ارسم دائرة C مركزها O وشعاعها 3cm وعيّن عليها نقطة A.
أ- ابن المستقيم Δ المماس للدائرة C في النقطة A ثم عيّن عليه نقطة B بحيث AB = 4cm.
ب- ابن المستقيم Δ' الموسط العمودي لـ [AB] والذي يقطعها في I.
2) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ و (OA)؟ علل جوابك.
3) أ- حدد بعد النقطة O عن المستقيم Δ'. علل جوابك.
ب- بيّن أنّ الدائرة C والمستقيم Δ' متقاطعان.
4) المستقيم Δ' يقطع الدائرة C في نقطتين M و N. لتكن H منتصف [MN].
بيّن أن (OH) // Δ.

فرض مراقبة عدد 2 c274.html

التمرين 5 (هندسة)

في الرسم المرافق: (BE) // (AC)، ∠DAC = 55°، ∠BAF = 35°، AB = 3، EB = 2.
① أ- بيّن أنّ المستقيمين (AB) و (AC) متعامدان.
ب- استنتج أنّ المستقيمين (AB) و (BE) متعامدان.
② حدّد بعد النقطة E عن المستقيم (AC). علّل جوابك.
③ لتكن C دائرة مركزها E وتمر من B.
أ- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AC)؟ علّل جوابك.
ب- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AB)؟ علّل جوابك.
④ أكمل بما يناسب:
أ- الزاويتان ∠DAC و ∠BAF ..................
ب- الزاويتان ∠DAC و .................. متجاورتان ومتكاملتان.

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 5 c275.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد، سؤال 5)

(C) دائرة مركزها O و Δ و Δ' مماسان لـ (C) في نقطتين مختلفتين منها A و B وحيث: Δ // Δ'، إذن:
- (OA) ⊥ (OB)
- [AB] حبل لـ (C) لا يمثل قطرا لها
- [AB] قطر لـ (C)

التمرين 4 (شبه المنحرف)

يمثل الشكل التالي شبه منحرف ABCD قائما في A و D وحيث:
قيس الزاوية BCD = 50° و قيس الزاوية ABD = 40°
(1) أحسب كلا من قيس الزاوية BDC و قيس الزاوية ABC معللاً جوابك.
(2) استنتج أن المستقيم (DB) عمودي على المستقيم (BC).

التمرين 5 (هندسة الدائرة)

تأمل الشكل التالي حيث قيس الزاوية xOy = 37°
(1) أ- عين على نصف المستقيم [Ox) نقطة A بحيث OA = 4cm ثم ارسم دائرة (C) مركزها O و تمر من A.
ب- ابن المستقيم Δ المماس لـ (C) في A. يقطع [Oy) في B. أحسب قيس الزاوية OBA معللاً جوابك.
(2) ابن المستقيم Δ' الموسط العمودي لـ [OA] والذي يقطع [Oy) في I.
أ- حدد بعد النقطة O عن المستقيم Δ' معللاً جوابك.
ب- استنتج الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم Δ'.
(3) المستقيم Δ' يقطع الدائرة (C) في نقطتين إحداهما D. بيّن أن: AD = 4cm.

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 6 c276.html

التمرين 1 (تعاريف هندسية)

الزاويتان اللتان مجموعهما 90° هما زاويتان متتامتان.
الزاويتان اللتان مجموعهما 180° هما زاويتان متكاملتان.

التمرين 4 (5 نقاط، هندسة)

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف [BC].
حيث: BC=4cm و AI=6cm.
(1) أ) بيّن أن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].
ب) استنتج بعد النقطة A عن المستقيم (BC) معللاً جوابك.
(2) أ) ابن المستقيم دلتا العمودي على (AI) والمار من A.
ب) ما هو البعد بين المستقيمين دلتا و (BC)؟ علل جوابك.
(3) أ) عين النقطة O من القطعة [AI] حيث OI=2cm، ثم ابن الدائرة C التي مركزها O وشعاعها 2cm.
ب) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (BC) والدائرة C؟ علل جوابك.
(4) أ) حدد بعد النقطة O عن دلتا معللاً جوابك.
ب) استنتج الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم دلتا؟ علل جوابك.
(5) قطعة المستقيم [AI] تقطع الدائرة C في النقطة J.
أ) ابن المستقيم دلتا' المماس للدائرة C في J.
ب) بيّن أن دلتا' مواز لـ دلتا.

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 7 c277.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد، سؤال 3)

إذا كان شعاع دائرة يساوي 5cm وبعد مركزها عن مستقيم 10cm، فإنّ الدائرة والمستقيم:
منفصلان / متقاطعان / متماسان

التمرين 3 (هندسة)

(1) ارسم دائرة C مركزها O وشعاعها 4cm وعين عليها نقطتين A و B بحيث (OA) عمودي على (OB).
(2) أ- ابن المستقيم دلتا المماس للدائرة في A.
ب- بيّن أن (دلتا) يوازي (OB).
(3) أ- عين نقطتين E و F على دلتا بحيث A منتصف [EF].
ب- بيّن أن OE=OF.
(4) أ- ارسم دائرة C' قطرها [OB] و سم مركزها I.
ب- ماهي الوضعية النسبية للدائرة C' والمستقيم دلتا.

التمرين 4 (هندسة — غير مكتمل في الملف)

زاوية xOy تساوي 110 درجة و C دائرة مركزها O وشعاعها 3cm تقطع [Ox) في A و [Oy) في B.
(ملاحظة موجودة في الملف نفسه: هذا التمرين غير مكتمل — لا يوجد سؤال مطلوب)

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 8 c278.html

التمرين 1 (سؤال 3)

نعتبر الرسم التالي (دائرة مركزها I مماسّة لـ (Oy) في C وتقطع (Ox) في A و B):
أ- أرسم نصف المستقيم (Ot] إذا علمت أن ∠xOt و ∠xOy زاويتان متجاورتان ومتكاملتان.
ب- أرسم نصف المستقيم (Ou] إذا علمت أن ∠xOy و ∠yOu زاويتان متجاورتان ومتتامتان.
ج- عيّن النقطة I (مركز الدائرة) مع ترك أثر البركار.

التمرين 4 (5 نقاط، هندسة)

نعتبر الرسم التالي حيث B, A, C, H نقاط من مستقيم أفقي، BA ⊥ AC، MH ⊥ CH و MK ⊥ BC، حيث MH=4cm و ∠MCH = 25°.
(1) سم زاوية متممة لـ ∠ACB.
(2) سم زاوية مكملة لـ ∠CMH.
(3) أحسب ∠CMH معللاً جوابك.
(4) استنتج أن (CM] هو منصف الزاوية ∠KCH إذا علمت أن MK = 4cm.
(5) أحسب MK معللاً جوابك.

سلسلة للفرض عدد 2 — مثال رقم 9 c279.html

التمرين 5 (5 نقاط، هندسة)

يمثل الرسم المرافق مثلثا ABC قائم الزاوية في B حيث [BH] الارتفاع الصادر من B.
(1) ارسم دائرة C مركزها C وتمر من H:
أ- ماهي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (BH)؟ علل جوابك.
ب- ماهي الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم (AB)؟ علل جوابك.
(3) ابن Δ الموسط العمودي لقطعة المستقيم [BC] الذي يقطع الدائرة C في نقطتين لتكن إحداهما N. بيّن أن BN=CH.

التمرين 6 (4 نقاط، هندسة)

دائرة C مركزها O وشعاعها 3cm ونقطة A عليها.
(1) أ- ابن المستقيم Δ المماس للدائرة في A ثم عين عليه نقطة B بحيث AB=4cm.
ب- ابن المستقيم Δ' الموسط العمودي لـ [AB] والذي يقطعها في I.
(2) ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ' و (OA)؟ علل جوابك.
(3) أ- حدد بعد النقطة O عن المستقيم Δ'. علل جوابك.
ب- بيّن أنّ الدائرة C و المستقيم Δ' متقاطعان.
(4) المستقيم Δ' يقطع الدائرة C في نقطتين M و N. لتكن H منتصف [MN]. بيّن أن (OH) // Δ

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 10 c2710.html

التمرين 3 (هندسة)

ليكن ABCD شبه منحرف قائم في A و D حيث: AB = 5cm و AD=3cm و CD = 4cm.
(1) ابن Δ الموسط العمودي لقطعة [CD] الذي يقطعها في I ويقطع (AB) في E.
أ- ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين Δ و (AD)؟ علل جوابك.
ب- بيّن أن CI=2cm و حدد طول BE.
(2) ارسم الدائرة (C) التي مركزها I وتمر من D.
أ- بيّن أن E لا تنتمي للدائرة (C).
ب- استنتج أنّ المستقيم Δ لا يمكن أن يكون مماسّا للدائرة (C).
(3) أ- حدد بعد النقطة A عن المستقيم (BC).
ب- استنتج الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم (BC).
(4) المستقيم (AB) يقطع الدائرة (C) في نقطة ثانية F.
أ- ابن Δ' الموسط العمودي لـ [AF].
ب- حدد الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم Δ' معللا جوابك.

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 11 c2711.html

التمرين 3 (5 نقاط، هندسة)

تأمل الشكل التالي حيث O نقطة من (xy)، ∠xOz = 43° و ∠yOt = 47°.
(1) أ) اذكر زاويتين متتامتين.
ب) اذكر زاويتين متكاملتين.
ج) بيّن أن (Ot) عمودي على (Oz).
(2) عيّن I نقطة من [Oz) حيث OI=3cm و J نقطة من (OI) مخالفة لـ O حيث OJ=3cm.
أ) بيّن أن المستقيم (Ot) هو الموسط العمودي لـ [IJ].
ب) ارسم H المسقط العمودي لـ I على (xy).
ج) قارن بين OH و IO مع التعليل.
(3) ارسم دائرة (C) مركزها O و تمر من H.
أ) ما هي الوضعية النسبية لـ (C) و (IH)؟ علل جوابك.
ب) ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على (OI). ما هي الوضعية النسبية لـ (C) و Δ؟ علل جوابك.
ج) بيّن أن Δ مواز لـ (Ot).
(4) احسب ∠yOJ معللاً جوابك.
(5) الدائرة (C) تقطع [Ot) في نقطة M. بيّن أن IM = JM.

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 12 c2712.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد، سؤال 3)

دائرة (C) قطرها 10cm و بعد مركزها عن مستقيم Δ يساوي 5cm. إذن الدائرة (C) والمستقيم Δ:
منفصلان / متماسان / متقاطعان

التمرين 3 (5 نقاط، هندسة)

لتكن (C) دائرة مركزها I و A نقطة منها حيث IA = 3cm.
(1) أ- ابن نقطة B من الدائرة (C) بحيث ∠AIB=90°.
ب- ابن المستقيم Δ المماس للدائرة (C) في النقطة A.
ج- بين أن المستقيمين Δ و (IB) متوازيان.
(2) عين نقطة C من Δ بحيث AC=4cm وحيث تكون الزاويتان ∠AIC و ∠BIC متجاورتان.
(3) أ- ابن المستقيم Δ' المار من C و العمودي على المستقيم (IA).
ب- حدد الوضعية النسبية للمستقيمين Δ' و (IA). ثم استنتج بعد النقطة I عن Δ'.
ج- ماهي الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم Δ'؟ علل جوابك.
(4) المستقيمان (AI) و (CI) يقطعان الدائرة (C) على التوالي في النقطتين E و F.
(5) بقراءة للشكل:
أ- أوجد زاويتين متقابلتين بالرأس.
ب- أوجد زاويتين متكاملتين.
ت- أوجد زاويتين متتامتين و غير متجاورتين.

فرض مراقبة عدد 2 c2713.html

التمرين 4 (5 نقاط)

في الشكل التالي: ∠xOy=32° و الزاوية ∠xOv منبسطة ونصف المستقيم [Oy) منصف الزاوية ∠xOz. ∠yOv=180°
1) أ) أحسب القيس ∠zOy
ب) استنتج أن الزاويتين ∠yOt و ∠yOz متكاملتان
2) أ) ابن نصف المستقيم [Ou) منصف الزاوية ∠xOy
ب) أحسب القيس ∠uOz
ج) استنتج أن الزاويتين ∠xOy و ∠zOr متتامتان
3) أ) أرسم على الشكل نصف المستقيم [Or) بحيث: ∠yOr=180°
ب) بين أن (Or) ⊥ (Ou)
4) أرسم على نفس الشكل الدائرة التي قطرها [OB] حيث B نقطة من [Oy). هذه الدائرة تقطع [Ox) في A و تقطع [Oz) في C. إذا علمت أن (AB) ⊥ (Oy) و (BC) ⊥ (OC) وأن OA = OC
بين أن المستقيم (OB) هو الموسط العمودي للقطعة [AC]

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 14 c2714.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد، سؤال 5)

دائرتان (C) و (C') متقايستان مركزيهما على التوالي O و O' متقاطعتان في النقطتين A و B.
إذن (C) و (C') متناظرتان بالنسبة إلى:
المستقيم (AB) / المستقيم (OO') / النقطة O

التمرين 4 (6,5 نقاط)

تأمل الشكل التالي حيث (C) دائرة مركزها O وشعاعها 3cm و A و B نقطتان من (C) و C نقطة من [OA] حيث OC = 1cm. I منتصف [AB].
1) بين أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (OI)
2) أ- ابن L المماس للدائرة (C) في النقطة A. يقطع (OI) في نقطة J.
ب- بين أن OBJ مثلث قائم الزاوية في B
3) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى المستقيم (OI)
أ- بين أن النقاط O و D و B على استقامة واحدة.
ب- بين أن الرباعي ABDC شبه منحرف.
ج- بين أن BD=2cm
4) لتكن (C₁) دائرة مركزها A وشعاعها AC و (C₂) دائرة مركزها B وشعاعها BD.
بين أن (C₁) و (C₂) متناظرتان بالنسبة إلى (OI)

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 15 c2715.html

التمرين 1 (اختيار من متعدد، سؤال 5)

(C) دائرة مركزها O و Δ و Δ' مماسان لـ (C) في نقطتين مختلفتين A و B حيث: Δ // Δ'
إذن:
[AB] قطر لـ (C) / [AB] حبل لـ (C) لا يمثل قطراً لها / (OA) ⊥ (OB)

التمرين 3 (5 نقاط، هندسة)

نعتبر الرسم التالي: ABC مثلث قائم الزاوية في A وحيث ∠BCx = 130°
1) أ- بالإعتماد على الرسم أعط:
✓ مثالاً لزاويتين متتامتين
✓ مثالاً لزاويتين متقابلتين بالرأس
ب- احسب معللاً جوابك ∠xCy
2) أ- ابن منصف الزاوية ∠BCx وعين عليه نقطة I بحيث CI = 5cm
ب- ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على (Cx) والذي يقطعه في النقطة H. ماذا تمثل النقطة H بالنسبة إلى النقطة I؟
ج- ابن النقطة K المسقط العمودي للنقطة I على المستقيم (BC)
د- قارن معللاً جوابك البعدين: IH و IK
3) لتكن (C) دائرة مركزها النقطة O وقطرها [AB]. الدائرة (C) تقطع المستقيم (BC) في نقطة ثانية F.
أ- ماهي الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم (AC)؟ علل جوابك
ب- عين النقطة M المسقط العمودي لـ O على (BC)
ج- قارن معللاً جوابك البعدين: OM و OF
هـ- استنتج أن النقطة O لا تنتمي إلى منصف الزاوية ∠ACB

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 16 c2716.html

التمرين 1 (إنشاء)

نعتبر الرسم التالي:
أ- أرسم نصف المستقيم [Ot) إذا علمت أن ∠xOy و ∠xOt زاويتان متجاورتان و متكاملتان
ب- أرسم نصف المستقيم [Ou) إذا علمت أن ∠xOy و ∠yOu زاويتان متجاورتان و متتامتان
ج- في الرسم المرافق ينقص النقطة I مركز الدائرة المماسة لـ (Oy) في C والتي تقطع (Ox) في A و B. عيّن النقطة I مع ترك أثار البركار

التمرين 3 (8 نقاط، هندسة)

في الرسم المرافق ABCD شبه منحرف قائم في A و D. قاعدتاه [AB] و [CD] حيث BC=3 و AD=2 و CD=4.
(1) حدّد بعد النقطة B عن المستقيم (CD). علّل جوابك.
(2) لتكن دائرة (C) مركزها B وتمر من C. ما هي الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم (CD)؟ علّل جوابك.
(3) نصف المستقيم [AB) يقطع الدائرة (C) في نقطة E. ابن المستقيم Δ المار من E والعمودي على (CD). بيّن أن Δ مماس للدائرة (C) في E.
(4) المستقيم (AE) يقطع الدائرة (C) في نقطة ثانية F. ابن المستقيم Δ' المماس للدائرة (C) في النقطة F.
أ- بيّن أن المستقيمين Δ و Δ' متوازيان.
ب- حدّد البعد بين المستقيمين Δ و Δ'. علّل جوابك.

فرض مراقبة عدد 2 — مثال رقم 17 c2717.html

التمرين 3 (8 نقاط، هندسة)

في الرسم المرافق (BE) يوازي (AC) و ∠DAC=55° و EB=2 و AB=3 و ∠BAF=35° (النقط F و A و D على استقامة واحدة)
(1) أ- بيّن أن المستقيمين (AB) و (AC) متعامدان.
ب- استنتج أن المستقيمين (AB) و (BE) متعامدان.
(2) حدّد بعد النقطة E عن المستقيم (AC). علّل جوابك.
(3) لتكن C دائرة مركزها E وتمر من B.
أ- ماهي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AC)؟ علّل جوابك.
ب- ماهي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AB)؟ علّل جوابك.
(4) أكمل بما يناسب:
أ- الزاويتان ∠DAC و ∠BAF .....................................................

فرض مراقبة عدد 2 c2718.html

التمرين 1 (تعبير رمزي)

عبر بكلامك الخاص وبأكبر دقة ممكنة عن الجمل التالية:
(IJ) ∥ (KL)
(MN) ⊥ (PQ)

التمرين 3 (7 نقاط، هندسة)

ليكن ABCD شبه منحرف قائم في B و C حيث: AB = 5cm و BC = 3cm و AD = 3cm و CD = 4cm
(1) ابن D الموسط العمودي للقطعة [AB] و D' الموسط العمودي للقطعة [CD].
(2) المستقيم (D) يقطع [AD] في E. بين أن E هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
(3) لتكن C دائرة مركزها D ونصف قطرها DA.
أ- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (D')؟ علل جوابك.
ب- ما هي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AB)؟ علل جوابك.