📐 تعريف: الإسقاط العمودي للنقطة M على المستقيم (d) هو نقطة التقاء العمودي على (d) المار من M مع (d)
⭐ المستوى السهل - Easy▼
التمرين 1:
A نقطة خارج المستقيم (d). H هو الإسقاط العمودي للنقطة A على (d).
ما العلاقة بين (AH) و (d)؟
(AH) // (d)
(AH) ⊥ (d)
(AH) و (d) متطابقان
لا علاقة محددة
تلميح: الإسقاط العمودي يعني أن المستقيم (AH) عمودي على (d).
الشرح:
بحكم التعريف، الإسقاط العمودي للنقطة A على (d) هو النقطة H بحيث:
(AH) ⊥ (d)
التمرين 2:
M نقطة موجودة على المستقيم (∆). ما هو الإسقاط العمودي لـ M على (∆)؟
M نفسها
نقطة أخرى على (∆)
نقطة خارج (∆)
لا يوجد إسقاط
تلميح: إذا كانت النقطة موجودة على المستقيم، فإن المسافة بينها وبين المستقيم = 0.
الشرح:
إذا كانت M موجودة على (∆)، فإن الإسقاط العمودي لـ M على (∆) هو M نفسها.
التمرين 3:
B نقطة خارج المستقيم (L). K الإسقاط العمودي لـ B على (L).
في أي نقطة يتقاطع المستقيم (BK) مع (L)؟
في B
في K
لا يتقاطعان
في عدة نقاط
تلميح: K هو الإسقاط، أي النقطة الموجودة على (L).
الشرح:
K هو الإسقاط العمودي لـ B على (L)، أي أن K موجودة على (L).
المستقيم (BK) يمر من B و K، ويتقاطع مع (L) في K.
التمرين 4:
C نقطة خارج المستقيم (d). P الإسقاط العمودي لـ C على (d).
أي من المستقيمات التالية عمودي على (d)؟
(CP)
مستقيم موازٍ لـ (d)
أي مستقيم يمر من C
لا يوجد
تلميح: الإسقاط العمودي يعني أن (CP) عمودي على (d).
الشرح:
بحكم التعريف، (CP) ⊥ (d) لأن P هو الإسقاط العمودي لـ C على (d).
⭐⭐ المستوى المتوسط - Medium▼
التمرين 1:
ABC مثلث قائم في A. H الإسقاط العمودي لـ A على (BC).
ما العلاقة بين (AH) و (BC)؟
(AH) // (BC)
(AH) ⊥ (BC)
(AH) = (BC)
لا علاقة محددة
تلميح: H هو الإسقاط العمودي لـ A على (BC)، أي أن (AH) هو الارتفاع.
الشرح:
H هو الإسقاط العمودي لـ A على (BC)
بحكم التعريف: (AH) ⊥ (BC)
(AH) هو ارتفاع المثلث من A
التمرين 2:
A و B نقطتان خارج المستقيم (d). H₁ و H₂ إسقاطاهما على (d) على الترتيب.
إذا كان (AB) // (d)، فما العلاقة بين AH₁ و BH₂؟
AH₁ = BH₂
AH₁ < BH₂
AH₁ > BH₂
لا يمكن التحديد
تلميح: إذا كان (AB) // (d)، فالمسافة من A إلى (d) تساوي المسافة من B إلى (d).
الشرح:
إذا كان (AB) // (d)، فإن جميع نقاط (AB) على نفس المسافة من (d).
إذن AH₁ = BH₂ (المسافة من A إلى (d) = المسافة من B إلى (d))
التمرين 3:
ABCD مستطيل. E الإسقاط العمودي لـ A على (BD).
في أي مجموعة من النقاط تقع E؟
على (AB)
على (BD)
على (AC)
خارج المستطيل
تلميح: E هو الإسقاط العمودي لـ A على (BD)، أي أن E موجودة على (BD).
الشرح:
بحكم التعريف، الإسقاط العمودي لنقطة على مستقيم هو نقطة على هذا المستقيم.
إذن E موجودة على (BD).
التمرين 4:
M نقطة خارج المستقيم (d). H إسقاطها العمودي على (d). N نقطة على (d) مختلفة عن H.
قارن بين MH و MN.
MH < MN
MH = MN
MH > MN
يعتمد على موقع N
تلميح: الإسقاط العمودي يعطي أقصر مسافة بين النقطة والمستقيم.
الشرح:
خاصية أساسية: الإسقاط العمودي يعطي أقصر مسافة من النقطة إلى المستقيم.
إذن MH < MN لأي نقطة N على (d) مختلفة عن H.
⭐⭐⭐ المستوى الاحترافي - Pro▼
التمرين 1:
(d₁) و (d₂) مستقيمان متوازيان. M نقطة بين المستقيمين. H₁ و H₂ إسقاطاها على (d₁) و (d₂).
ما العلاقة بين (MH₁) و (MH₂)؟
(MH₁) // (MH₂)
M, H₁, H₂ على استقامة واحدة
(MH₁) ⊥ (MH₂)
لا علاقة محددة
تلميح: (MH₁) ⊥ (d₁) و (MH₂) ⊥ (d₂) و (d₁) // (d₂). ماذا يعني هذا؟
الشرح:
• (MH₁) ⊥ (d₁) و (d₁) // (d₂) ⟹ (MH₁) ⊥ (d₂)
• (MH₂) ⊥ (d₂)
• إذن (MH₁) و (MH₂) كلاهما عموديان على (d₂)
• حسب الخاصية: مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث إما متطابقان أو متوازيان
• هنا M نقطة مشتركة، إذن M, H₁, H₂ على استقامة واحدة
التمرين 2:
ABC مثلث. H₁, H₂, H₃ هي الإسقاطات العمودية لـ A, B, C على الأضلاع المقابلة.
ماذا تُسمى هذه المستقيمات (AH₁), (BH₂), (CH₃)؟
الوسيطات
الارتفاعات
المنصفات
المحاور
تلميح: المستقيمات العمودية على أضلاع المثلث والمارة من الرؤوس المقابلة تُسمى...
الشرح:
الإسقاطات العمودية من رؤوس المثلث على الأضلاع المقابلة هي ارتفاعات المثلث.
(AH₁), (BH₂), (CH₃) هي الارتفاعات الثلاثة للمثلث ABC.
التمرين 3:
(C) دائرة مركزها O ونصف قطرها r. M نقطة خارج الدائرة. H الإسقاط العمودي لـ O على (OM).
أين تقع H بالنسبة للدائرة؟
خارج الدائرة
على الدائرة
H تطابق O
داخل الدائرة
تلميح: الإسقاط العمودي لنقطة على مستقيم يمر من هذه النقطة هو...
الشرح:
O موجودة على المستقيم (OM).
الإسقاط العمودي لنقطة موجودة على مستقيم هو النقطة نفسها.
إذن H = O (تطابق)