يمثّل الرسم أسفله شبه منحرف $ABCD$ قائم في $A$ و $D$ حيث: $AD=3\text{ cm}$ و $CD=4\text{ cm}$ و $AB=5\text{ cm}$.
1)
أ) ما هو بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(DC)$؟ علّل جوابك.
ب) ما هو البعد بين المستقيمين $(AB)$ و $(CD)$؟ علّل جوابك.
2)
أ) ارسم الدائرة $(\zeta)$ التي مركزها $B$ وشعاعها $2\text{ cm}$.
ب) الدائرة $(\zeta)$ تقطع القطعة $[AB]$ في النقطة $I$. ما هي الوضعية النسبية للدائرة $(\zeta)$ والمستقيم $(AD)$؟ علّل جوابك.
3)
أ) ابن المستقيم $\Delta$ المماس للدائرة $(\zeta)$ في النقطة $I$.
ب) المستقيم $\Delta$ يقطع القطعة $[DC]$ في النقطة $M$. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $(AD)$؟ علّل جوابك.
ج) احسب مساحة المثلث $AMB$.
4)
أ) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $(CD)$؟ علّل جوابك.
ب) بيّن أنّ: $MD = AI$.
1) أ- بعد $A$ عن $(DC)$ : بما أن شبه المنحرف قائم في $D$، فإن $(AD) \perp (DC)$. إذن بعد النقطة $A$ عن $(DC)$ هو طول القطعة $[AD]$ ويساوي $3\text{ cm}$.
1) ب- البعد بين $(AB)$ و $(CD)$ : بما أن $(AD) \perp (AB)$ و $(AD) \perp (CD)$، فإن $(AB) \parallel (CD)$. البعد بينهما هو طول القطعة العمودية المشتركة $[AD]$ ويساوي $3\text{ cm}$.
2) ب- الوضعية النسبية لـ $(\zeta)$ و $(AD)$ : المسافة من المركز $B$ إلى المستقيم $(AD)$ هي طول القطعة $[AB]$ (لأن $(AB) \perp (AD)$) أي $5\text{ cm}$. بما أن البعد ($5\text{ cm}$) أكبر من الشعاع ($2\text{ cm}$)، فإن الدائرة والمستقيم منفصلان.
3) ب- الوضعية النسبية لـ $\Delta$ و $(AD)$ : $\Delta$ مماس للدائرة في $I$ إذن $\Delta \perp (AB)$. ولدينا $(AD) \perp (AB)$. مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن $\Delta \parallel (AD)$.
3) ج- مساحة المثلث $AMB$ : القاعدة هي $[AB]$ والارتفاع الموافق لها هو المسافة بين $M$ و $(AB)$. بما أن $\Delta \perp (AB)$ في $I$، فإن الارتفاع هو $MI$. بما أن الرباعي $ADMI$ مستطيل (لأنه يحتوي على 3 زوايا قائمة)، فإن $MI = AD = 3\text{ cm}$. مساحة المثلث = $\frac{5 \times 3}{2} = 7,5\text{ cm}^2$.
4) أ- الوضعية النسبية لـ $\Delta$ و $(CD)$ : لدينا $\Delta \parallel (AD)$ و $(AD) \perp (CD)$. كل مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر، إذن $\Delta \perp (CD)$.
4) ب- إثبات أن $MD = AI$ : الرباعي $ADMI$ زواياه في $A$ و $D$ و $I$ قائمة، فهو إذن مستطيل. في المستطيل كل ضلعين متقابلين متقايسان، بالتالي $MD = AI$.
تمرين 10 (المعين) واختبار من متعدد:
1) ارسم معينا $ABCD$ مركزه $K$ بحيث $AC=6\text{ cm}$ و $BD=8\text{ cm}$.
2)
أ) أرسم الدائرة $(\zeta)$ التي مركزها $A$ وشعاعها $3\text{ cm}$.
ب) اثبت أن المستقيم $(BD)$ مماس للدائرة $(\zeta)$ في النقطة $K$.
3) أرسم الدائرة $(\zeta')$ التي مركزها $B$ وشعاعها $4\text{ cm}$.
اثبت أنّ المستقيم $(AC)$ مماس للدائرة $(\zeta')$ في النقطة $K$.
تمارين الاختيار من متعدد
اختر الجواب الصحيح من بين الأجوبة المقترحة
I) ليكن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ بحيث $AC=3\text{ cm}$ و $AB=4\text{ cm}$ و $BC=5\text{ cm}$
تمرين 10: 2) ب- المعين قطراه متعامدان ويتقاطعان في المنتصف، إذن $(AC) \perp (BD)$ في $K$، و $AK = \frac{AC}{2} = 3\text{ cm}$. المسافة من $A$ إلى $(BD)$ هي $3\text{ cm}$ وهو نفس شعاع الدائرة $(\zeta)$، إذن $(BD)$ مماس للدائرة في النقطة $K$.
تمرين 10: 3)- بنفس الطريقة، $BK = \frac{BD}{2} = 4\text{ cm}$. المسافة من المركز $B$ إلى $(AC)$ هي $4\text{ cm}$ وتساوي شعاع الدائرة $(\zeta')$، إذن $(AC)$ مماس للدائرة في $K$.
اختيار من متعدد:
1) بعد $B$ عن $(AC)$ هو $AB = 4\text{ cm}$ (لأن المثلث قائم في $A$).
2) بعد $A$ عن $(AB)$ هو $0\text{ cm}$ (لأن النقطة تنتمي للمستقيم).
3) منفصلان إذا كان البعد أكبر من الشعاع، أي $OA = 2,1\text{ cm}$.
4) يمر من $O$ إذا كان البعد يساوي صفر، أي $OA = 0\text{ cm}$.
التمرين الرابع (مثلث قائم الزاوية متقايس الضلعين):
ليكن $ABC$ مثلثا قائم الزاوية في $A$ حيث: $AB=5\text{ cm}$ و $AC=5\text{ cm}$.
1) ابن المستقيم $\Delta$ الموسط العمودي للقطعة $[BC]$.
أ- بيّن أنّ $\Delta$ يمرّ من النقطة $A$.
ب- ما هو بالـ cm بعد النقطة $B$ عن المستقيم $(AC)$ مع التبرير.
ج- ابن $\Delta'$ المار من $B$ والعمودي على $(AB)$. ما هو البعد بين $\Delta'$ و $(AC)$؟ علل جوابك.
2) ابن الدائرة $(\zeta)$ التي مركزها $B$ وشعاعها $2\text{ cm}$.
أ- ما هي الوضعية النسبية لـ $(AC)$ و $(\zeta)$؟ علّل جوابك.
ب- الدائرة $(\zeta)$ تقطع المستقيم $(AB)$ في نقطتين $E$ و $F$. ماذا يمثل المستقيم $\Delta'$ بالنسبة إلى القطعة $[EF]$؟ علّل جوابك.
3) ابن المستقيم $\Delta''$ المار من $F$ والموازي لـ $(AC)$ والذي يقطع $\Delta$ في $M$.
أ- بيّن أنّ $\Delta''$ مماس لـ $(\zeta)$ في $F$.
ب- مثّل لماذا $MBC$ مثلث متقايس الضلعين.
4) ابن النقطة $N$ من $(AC)$ مخالفة لـ $C$ حيث $BC = BN$.
بيّن أنّ $A$ منتصف $[CN]$.
1) أ- بما أن $AB=AC=5\text{ cm}$، فإن النقطة $A$ متساوية البعد عن طرفي القطعة $[BC]$، وبالتالي $A$ تنتمي حتماً إلى الموسط العمودي $\Delta$.
1) ب- بما أن المثلث قائم في $A$، فإن $(AB) \perp (AC)$. إذن بعد $B$ عن $(AC)$ هو طول القطعة $[AB]$ ويساوي $5\text{ cm}$.
1) ج- لدينا $\Delta' \perp (AB)$ و $(AC) \perp (AB)$، إذن $\Delta' \parallel (AC)$. البعد بينهما هو المسافة $AB$ ويساوي $5\text{ cm}$.
2) أ- المسافة من المركز $B$ إلى $(AC)$ هي $5\text{ cm}$. بما أن $5\text{ cm} > 2\text{ cm}$ (البعد أكبر من الشعاع)، فإن الدائرة والمستقيم منفصلان.
2) ب- النقطتان $E$ و $F$ تنتميان للدائرة و للمستقيم المار من المركز $B$، إذن $[EF]$ قطر والدائرة مركزه $B$. $\Delta'$ يمر من $B$ (المنتصف) وعمودي على حامل القطعة $(EF)$ (أي $(AB)$). إذن $\Delta'$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.
3) أ- لدينا $\Delta'' \parallel (AC)$ و $(AB) \perp (AC)$، إذن $\Delta'' \perp (AB)$ في $F$. بما أن $F$ نقطة من الدائرة والمستقيم عمودي على القطر، فإن $\Delta''$ مماس للدائرة في $F$.
3) ب- النقطة $M$ تنتمي إلى $\Delta$ وهو الموسط العمودي لـ $[BC]$. كل نقطة من الموسط العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة، إذن $MB = MC$ والمثلث متقايس الضلعين.
4)- لدينا المثلث $BCN$ متقايس الضلعين في $B$ ($BC=BN$). المستقيم $(BA)$ يمر من $B$ وعمودي على القاعدة $[CN]$ في $A$، فهو يمثل الارتفاع والموسط العمودي في نفس الوقت. إذن $A$ هي منتصف $[CN]$.
التمرين الثالث (مثلث متقايس الأضلاع):
نعتبر الشكل حيث $ABC$ مثلث متقايس الأضلاع و $BCD$ مثلث متقايس الضلعين في $D$ علما أن : $BC=4\text{ cm}$ و $BD=5\text{ cm}$.
1)
أ) أثبت أن المستقيم $(AD)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BC]$.
ب) المستقيمان $(AD)$ و $(BC)$ يتقاطعان في النقطة $I$. احسب البعد $IB$ معللا جوابك.
ج) ما هو بعد النقطة $B$ عن المستقيم $(AD)$ بحساب الـ cm ؟ علّل جوابك.
2) ابن المستقيم $\Delta$ المار من $B$ والعمودي على $(BC)$.
ما هو البعد بين المستقيمين $\Delta$ و $(AD)$؟ علّل جوابك.
3) ابن النقطة $E$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على $\Delta$ ثمّ النقطة $F$ حيث $B$ منتصف $[EF]$.
أ) بيّن أنّ : $CE = CF$.
ب) بيّن أنّ : $AE = IB$.
4) ابن الدائرة $(\zeta)$ التي مركزها $B$ وتمرّ من $I$ والتي تقطع $(IB)$ في نقطة ثانية $H$ و $[BF]$ في نقطة $G$.
ما هي الوضعية النسبية لـ $(\zeta)$ و $(AD)$؟ علّل جوابك.
5) ابن النقطة $K$ خارج الدائرة $(\zeta)$ حيث $GHK$ متقايس الأضلاع ثمّ عيّن النقطة $M$ منتصف القطعة $[HG]$.
بيّن أنّ النقاط $B$ و $M$ و $K$ على استقامة واحدة.
1) أ- المثلث $ABC$ متقايس الأضلاع إذن $AB=AC$. المثلث $BCD$ متقايس الضلعين في $D$ إذن $DB=DC$. النقطتان $A$ و $D$ متساويتا البعد عن $B$ و $C$، إذن المستقيم $(AD)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BC]$.
1) ب- النقطة $I$ هي نقطة تقاطع الموسط العمودي $(AD)$ مع القطعة $[BC]$، إذن $I$ هي منتصف $[BC]$. بالتالي $IB = \frac{BC}{2} = 2\text{ cm}$.
1) ج- بما أن $(AD) \perp (BC)$ في $I$، فإن بعد $B$ عن $(AD)$ هو طول المسافة $BI$ ويساوي $2\text{ cm}$.
2)- لدينا $\Delta \perp (BC)$ و $(AD) \perp (BC)$، إذن $\Delta \parallel (AD)$. البعد بينهما هو المسافة الثابتة $BI$ ويساوي $2\text{ cm}$.
3) أ- إثبات $CE = CF$ : المستقيم $(BC)$ عمودي على $\Delta$ (الذي يحمل القطعة $[EF]$) في النقطة $B$. وحيث أن $B$ هي منتصف $[EF]$، فإن $(BC)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$. بما أن $C \in (BC)$، فهي متساوية البعد عن طرفيها، إذن $CE = CF$.
3) ب- إثبات $AE = IB$ : الرباعي $AIBE$ زواياه في $I$ و $B$ و $E$ قائمة (لأن $\Delta \perp (BC)$ و $(AD) \perp (BC)$ و $E$ مسقط $A$ على $\Delta$). إذن هو مستطيل. في المستطيل كل ضلعين متقابلين متقايسان، بالتالي $AE = IB$.
4)- الدائرة تمر من $I$ إذن شعاعها $r = BI = 2\text{ cm}$. المسافة من المركز $B$ إلى المستقيم $(AD)$ هي $BI = 2\text{ cm}$. بما أن المسافة تساوي الشعاع، فإن المستقيم $(AD)$ مماس للدائرة $(\zeta)$ في النقطة $I$.
5)- استقامة النقاط: في المثلث $HBG$، الضلعان $BH$ و $BG$ يمثلان شعاعين للدائرة، إذن $BH = BG$ والمثلث متقايس الضلعين في $B$. النقطة $M$ هي منتصف $[HG]$، إذن المستقيم $(BM)$ هو الموسط العمودي لـ $[HG]$. كذلك المثلث $GHK$ متقايس الأضلاع إذن $K$ متساوية البعد عن $H$ و $G$، فالمستقيم $(KM)$ هو الموسط العمودي لـ $[HG]$. بما أن من منتصف قطعة مستقيم يمر موسط عمودي وحيد، فإن $(BM)$ و $(KM)$ هما نفس المستقيم، بالتالي $B, M, K$ على استقامة واحدة.