سلسلة تمارين: التوازي والتعامد

تمرين عدد 4:

ليكن $ABC$ مثلثاً.

(1) ابن الموسط العمودي لقطعة المستقيم $[AB]$ والذي يقطع $(AB)$ في $I$ و $(BC)$ في $J$.
(2) ابن المستقيم العمودي على المستقيم $(IJ)$ والمار من النقطة $J$ والذي يقطع $(AC)$ في $K$.
(3) اثبت أن المستقيمين $(AB)$ و $(IK)$ متوازيان.
3) إثبات أن $(AB) \parallel (IK)$ :
لدينا $(IJ)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$، إذن $(IJ) \perp (AB)$.
وبما أن المستقيم $(JK)$ عمودي على $(IJ)$، فإن $(JK) \perp (IJ)$.
وبما أن المستقيمين $(AB)$ و $(IK)$ عموديان على نفس المستقيم $(IJ)$، فإنهما متوازيان.
بالتالي $(AB) \parallel (IK)$.
تمرين عدد 5:

ليكن $ABC$ مثلثاً قائم الزاوية في $A$ حيث $I$ منتصف $[AB]$.

(1) أ) ابن المستقيم العمودي على $(AB)$ والمار من $I$ والذي يقطع $(BC)$ في النقطة $J$.
(1) ب) ابن المستقيم العمودي على $(IJ)$ في النقطة $J$ والذي يقطع $(AC)$ في النقطة $K$.
(2) أ) اثبت أن المستقيمين $(AB)$ و $(JK)$ متوازيان.
(2) ب) اثبت أن المستقيمين $(AK)$ و $(KJ)$ متعامدان.
(3) ما هو نوع الرباعي $AIJK$؟ علل جوابك.
2) أ- إثبات أن $(AB) \parallel (JK)$ :
لدينا $(IJ) \perp (AB)$ و $(JK) \perp (IJ)$.
مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان، إذن $(AB) \parallel (JK)$.
2) ب- إثبات أن $(AK) \perp (KJ)$ :
بما أن $K \in (AC)$ والمثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن $(AC) \perp (AB)$، أي $(AK) \perp (AB)$.
وبما أن $(AB) \parallel (JK)$، فإن $(AK) \perp (JK)$ (كل مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
3) نوع الرباعي $AIJK$ :
في الرباعي $AIJK$ :
$\widehat{IAK} = 90^\circ$ لأن المثلث قائم في $A$.
$\widehat{AIJ} = 90^\circ$ لأن $(IJ) \perp (AB)$.
$\widehat{IJK} = 90^\circ$ لأن $(JK) \perp (IJ)$.
رباعي يحتوي على 3 زوايا قائمة هو مستطيل، إذن $AIJK$ مستطيل.
تمرين عدد 6:

ليكن $ABCD$ مربّعاً مركزه $O$ وطول ضلعه $4\text{ cm}$.

أكمل :

* بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(BC)$ يساوي ..........
* بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(AC)$ يساوي ..........
* بعد النقطة $O$ عن المستقيم $(BC)$ يساوي ..........
* بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(BD)$ يساوي طول قطعة المستقيم ..........
* بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(BC)$ يساوي $AB = 4\text{ cm}$ (لأن $(AB) \perp (BC)$).
* بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(AC)$ يساوي $0$ (لأن $A \in (AC)$).
* بعد النقطة $O$ عن المستقيم $(BC)$ يساوي $2\text{ cm}$ (نصف طول الضلع).
* بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(BD)$ يساوي طول قطعة المستقيم $[AO]$ (لأن قطري المربع متعامدان في المركز $O$).
تمرين عدد 7:

لتكن $(\zeta)$ دائرة مركزها النقطة $O$ وليكن $[MN]$ قطراً لها.

(1) ابن المماسان $\Delta$ و $\Delta'$ للدائرة $(\zeta)$ في كل من النقطتين $M$ و $N$.
(2) أثبت أن $\Delta \parallel \Delta'$.
2) إثبات أن $\Delta \parallel \Delta'$ :
بما أن $\Delta$ مماس للدائرة $(\zeta)$ في $M$، فإن $\Delta \perp (MN)$.
وبما أن $\Delta'$ مماس للدائرة $(\zeta)$ في $N$، فإن $\Delta' \perp (MN)$.
المستقيمان $\Delta$ و $\Delta'$ عموديان على نفس المستقيم $(MN)$، إذن هما متوازيان ($\Delta \parallel \Delta'$).
تمرين عدد 8: (وحدة قيس الطول هي الصنتمتر)
(1) ارسم مثلثا $BUT$ قائم الزاوية في $B$ حيث $BT = 4\text{ cm}$ و $BU = 6\text{ cm}$.
عيّن النقطة $A$ من قطعة المستقيم $[BU]$ حيث $UA = 2,5\text{ cm}$.
(2) ابن المستقيم العمودي على المستقيم $(BU)$ والمار من النقطة $A$ والذي يقطع المستقيم $(UT)$ في النقطة $I$.
اثبت أن المستقيمين $(BT)$ و $(IA)$ متوازيان.
(3) ابن المستقيم العمودي على المستقيم $(BT)$ والمار من النقطة $I$ والذي يقطع المستقيم $(BT)$ في النقطة $E$.
أثبت أن المستقيمين $(IE)$ و $(IA)$ متعامدان.
ما هي طبيعة الرباعي $BAIE$؟ علل جوابك.
2) إثبات أن $(BT) \parallel (IA)$ :
المثلث $BUT$ قائم في $B$، إذن $(BT) \perp (BU)$.
لدينا حسب المعطيات $(IA) \perp (BU)$.
إذن $(BT) \parallel (IA)$ (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم).
3) إثبات أن $(IE) \perp (IA)$ :
لدينا $(IE) \perp (BT)$ و $(BT) \parallel (IA)$.
إذن $(IE) \perp (IA)$.
طبيعة الرباعي $BAIE$ :
الرباعي $BAIE$ فيه ثلاث زوايا قائمة: $\widehat{B} = 90^\circ$، $\widehat{A} = 90^\circ$، و $\widehat{E} = 90^\circ$.
إذن $BAIE$ مستطيل.
تمرين عدد 9: (وحدة قيس الطول هي الصنتمتر)
(1) ارسم مستطيلا $ABCD$ حيث $AB = 7\text{ cm}$ و $AD = 4\text{ cm}$.
(2) أ) ابن الموسط العمودي $\Delta$ لقطعة المستقيم $[AC]$.
(2) ب) ابن النقطة $F$ بحيث يكون المستقيم $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[BF]$ والنقطة $G$ بحيث يكون المستقيم $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[GD]$.
(3) أثبت أن المستقيمين $(BF)$ و $(DG)$ متوازيان.
3) إثبات أن $(BF) \parallel (DG)$ :
بما أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[BF]$، فإن $(BF) \perp \Delta$.
وبما أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[GD]$، فإن $(DG) \perp \Delta$.
المستقيمان $(BF)$ و $(DG)$ عموديان على نفس المستقيم $\Delta$، إذن هما متوازيان ($(BF) \parallel (DG)$).